一種基于伸展線法的小孔徑四極磁鐵測(cè)量方法

劉 嬋 張繼東 周巧根,3

1（中國(guó)科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

2（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

3（中國(guó)科學(xué)院上海高等研究院 上海 201204）

基于電子儲(chǔ)存環(huán)的同步輻射光源經(jīng)歷了三代的發(fā)展，為生命科學(xué)、材料科學(xué)等前沿基礎(chǔ)研究提供了有利的實(shí)驗(yàn)手段［1］。近十年來(lái)，世界各地又紛紛開(kāi)始研究或建造第四代同步輻射光源，以及基于超低發(fā)射度電子儲(chǔ)存環(huán)的衍射極限儲(chǔ)存環(huán)（Diffraction Limited Storage Ring，DLSR）光源。衍射極限儲(chǔ)存環(huán)光源相比第三代同步輻射光源具有更低束流發(fā)射度、更高亮度和更強(qiáng)橫向相干性，其核心的要點(diǎn)在于要提供比現(xiàn)存大部分加速器強(qiáng)得多的橫向聚焦，這意味著磁場(chǎng)梯度可能是三代光源同類磁鐵的2～4倍［2］。為提高磁場(chǎng)梯度，當(dāng)前多極磁鐵正朝著孔徑越來(lái)越小的方向發(fā)展［1，3］。另一方面，由于多極磁鐵在安裝到粒子加速器（Particle accelerator）或儲(chǔ)存環(huán)（Storage ring）之前都要對(duì)其磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，以表征磁鐵在設(shè)計(jì)和制造過(guò)程中的誤差［4］。而小孔徑多極磁鐵的出現(xiàn)使得很多傳統(tǒng)的測(cè)量方法受到限制，因此當(dāng)前同步輻射光源的發(fā)展也對(duì)磁場(chǎng)測(cè)量方法提出了更高的要求。研究一種適用于小孔徑磁鐵的磁場(chǎng)測(cè)量方法對(duì)于下一代同步輻射光源的發(fā)展具有重要意義。

常用的磁場(chǎng)測(cè)量方法有霍爾探頭點(diǎn)測(cè)法（Hall Probes）、旋轉(zhuǎn)線圈法（Rotating coil）、平移線圈法（Translation coil）、翻轉(zhuǎn)線圈法（Flipping coil）以及伸展線法（Stretched wire）［5-7］。其中，測(cè)量時(shí)僅使用單根金屬線的單根伸展線法（Single Stretched Wire Method，SSWM）因其在測(cè)量域所需空間小，故非常適合小孔徑磁鐵的磁場(chǎng)測(cè)量。同時(shí)，SSWM 還具有運(yùn)動(dòng)模式靈活的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)控制處在磁場(chǎng)中的單根伸展線（Single Stretched Wire，SSW）沿任意軌跡運(yùn)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)不同位置磁場(chǎng)的測(cè)量。但由于測(cè)量過(guò)程中僅有單根金屬線處于磁場(chǎng)中，因此這種測(cè)量方式產(chǎn)生的感應(yīng)電壓信號(hào)較弱，并且極易受外界噪聲干擾，導(dǎo)致信噪比較低，故SSWM 對(duì)測(cè)量方式和測(cè)量環(huán)境都有很高的要求。SSWM的上述缺陷使得目前使用SSWM系統(tǒng)測(cè)得的高階場(chǎng)誤差準(zhǔn)確性較低，這也導(dǎo)致其當(dāng)前的應(yīng)用受到限制。為順應(yīng)多極磁鐵孔徑越來(lái)越小的發(fā)展趨勢(shì)，本文研究了一種基于SSWM 的小孔徑多極磁鐵磁測(cè)系統(tǒng)，并且針對(duì)當(dāng)前SSWM 測(cè)得高階場(chǎng)誤差準(zhǔn)確性較低這一缺點(diǎn)，探究了一種新的高階場(chǎng)誤差測(cè)量和數(shù)據(jù)分析方法。將該方法運(yùn)用到一塊高梯度小孔徑四極磁鐵的磁場(chǎng)測(cè)量中，該四極磁鐵的主要物理參數(shù)如表1所示。

表1 四極磁鐵物理參數(shù)Table 1 Quadrupole magnet parameters

1 SSWM磁測(cè)系統(tǒng)的搭建

本系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1 所示，整個(gè)裝置主要由兩個(gè)三維直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、伺服電機(jī)、3458A數(shù)字萬(wàn)用表、運(yùn)動(dòng)控制器、工控機(jī)、磁鐵調(diào)節(jié)平臺(tái)組成。將整個(gè)磁測(cè)裝置放置在減震大理石臺(tái)面上，以減小地面震動(dòng)對(duì)測(cè)量過(guò)程的影響。

圖1 SSWM測(cè)量系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)照片F(xiàn)ig.1 Snapshot of experimental platform for the SSWM measurement system

系統(tǒng)的整體布局如圖2所示，主要參數(shù)如表2所示。整個(gè)系統(tǒng)由三部分組成：機(jī)械運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)、磁測(cè)線圈系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。測(cè)量時(shí)將SSW置于磁場(chǎng)中，線的兩端通過(guò)低通濾波器連接至數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，處在磁場(chǎng)中的SSW在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的帶動(dòng)下在磁場(chǎng)中做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，SSW產(chǎn)生的感應(yīng)電壓V對(duì)時(shí)間的積分值正比于線圈所包圍的有效面積內(nèi)磁通量的變化量ΔΦ［8-10］，對(duì)采集到的電壓信號(hào)進(jìn)行分析可得到相應(yīng)的磁場(chǎng)信息。

圖2 SSWM系統(tǒng)整體布局示意圖Fig.2 Overall layout diagram of the SSWM measurement system

表2 SSWM系統(tǒng)主要參數(shù)Table 2 Main parameters of the SSWM system

機(jī)械運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)采用兩個(gè)三維（x，y，z）直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，其中x，y方向用來(lái)定位SSW，z方向用來(lái)拉伸SSW以控制線張力，測(cè)量過(guò)程將運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行接地處理以免引入噪聲干擾。當(dāng)SSW 沿某一段曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先計(jì)算該段曲線的總長(zhǎng)度，然后將其分為相等的N段，每一段即為一步，根據(jù)起始點(diǎn)位置坐標(biāo)(x0，y0)和步長(zhǎng)Δl，通過(guò)LabVIEW 程序迭代計(jì)算第i步（i=1，2，3，…，N）終點(diǎn)的絕對(duì)位置坐標(biāo)(xi，yi)，控制兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的x軸和y軸運(yùn)動(dòng)到(xi，yi)，這樣SSW 經(jīng)過(guò)N步運(yùn)動(dòng)后完成一次完整的測(cè)量。對(duì)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的控制通過(guò)LabVIEW 運(yùn)動(dòng)控制程序完成。

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采用KEYSIGHT3458A數(shù)字萬(wàn)用表，通過(guò)通用接口總線（General-Purpose Interface Bus，GPIB）實(shí)現(xiàn)對(duì)萬(wàn)用表的遠(yuǎn)程控制。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)主要分為三個(gè)部分：直流電壓（DC）檔基本配置、觸發(fā)采數(shù)、數(shù)據(jù)讀取與存儲(chǔ)，系統(tǒng)的控制通過(guò)LabVIEW完成。在本系統(tǒng)中，SSW每運(yùn)動(dòng)一步觸發(fā)萬(wàn)用表采集一個(gè)讀數(shù)，該讀數(shù)為每步運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電壓Vi對(duì)該段時(shí)間的積分值∫Vidt，一次完整的測(cè)量共采集N個(gè)讀數(shù)。

2 坐標(biāo)系建立

在開(kāi)展后續(xù)測(cè)量之前，首先建立SSW運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，將SSW運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的（0，0）點(diǎn)校準(zhǔn)到磁中心上，以便后續(xù)對(duì)SSW 運(yùn)動(dòng)位置進(jìn)行定位。采用一種磁中心校準(zhǔn)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程［11］，如圖3 所示，(x，y)為校準(zhǔn)前的坐標(biāo)系，(γ，β)為四極磁鐵磁中心實(shí)際所在坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系的位移偏差為(x0，y0)。

圖3 磁中心偏差Fig.3 Deviation of the magnetic center

現(xiàn)讓SSW 在(x，y)中沿8 條直線軌跡運(yùn)動(dòng)以校準(zhǔn)磁中心，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4 所示，在每種軌跡下，通過(guò)SSW 所包圍的閉合線圈有效面積內(nèi)的磁通量變化量為圖中Φ（±ii=1，2，3，4），最終可得出角度偏差α如式（1）所示，位移偏差(x0，y0)如式（2）所示。

圖4 用于磁中心校準(zhǔn)的SSW運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 Movement trajectory of the SSW used for the magnetic center calibration

現(xiàn)在該四極磁鐵額定工作電流（I=135 A）下對(duì)磁中心進(jìn)行校準(zhǔn)。取l=5 mm，d=5 mm，控制SSW沿圖5 中8 條直線軌跡運(yùn)動(dòng)，計(jì)算此時(shí)的磁中心偏差(x1，y1，α)為：

圖5 使用SSWM在極頭1～4上測(cè)得的AL曲線Fig.5 AL curve of Pole1～4 measured by SSWM

根據(jù)(x1，y1，α)調(diào)整SSW 的位置，調(diào)整后控制SSW 以同樣的方式運(yùn)動(dòng)，計(jì)算此時(shí)的磁中心偏(x0，y0，α)，三次重復(fù)測(cè)量結(jié)果如表3所示。

表3 磁中心偏差測(cè)量結(jié)果Table 3 Measurement results of magnetic center deviation

由表3可知，調(diào)整后水平位置偏差x0小于8 μm，三次測(cè)量重復(fù)性好于±3 μm；垂直位置偏差y0小于4.5 μm，三次測(cè)量重復(fù)性好于±1.5 μm；角度偏差小于0.001 2 rad，三次測(cè)量重復(fù)性好于±0.000 15 rad。至此磁中心校準(zhǔn)結(jié)束，將校準(zhǔn)后的磁中心設(shè)置為SSW運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的（0，0）點(diǎn)，完成坐標(biāo)系的建立。

3 測(cè)量原理和方法

將多極磁鐵孔徑內(nèi)的磁場(chǎng)表示為復(fù)數(shù)形式B=Bx+ iBy，則其共軛為B*=Bx- iBy，其復(fù)勢(shì)F可表示為級(jí)數(shù)形式如式（3），其中：F的實(shí)部為矢勢(shì)A，如公式（4），虛部為標(biāo)勢(shì)V；Cn為歸一化半徑r0處的高次諧 波 系 數(shù)，Cn=bn+ ian；z=x+ iy=r(cosθ+i sinθ)，(x，y)為場(chǎng)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)，(r，θ)為極坐標(biāo)。根據(jù)B*和F的關(guān)系B*= iF′，n階磁場(chǎng)高階分量可表示為式（5）。對(duì)于四極磁鐵，其梯度和磁場(chǎng)高階分量系數(shù)分別為式（6）和式（7）［12］。

磁鐵的磁場(chǎng)質(zhì)量主要由設(shè)計(jì)、加工和裝配誤差等決定。磁場(chǎng)的高階場(chǎng)誤差是衡量磁鐵磁場(chǎng)質(zhì)量的關(guān)鍵指標(biāo)，對(duì)高階場(chǎng)誤差的評(píng)估通常表示為好場(chǎng)區(qū)內(nèi)高階分量占主磁場(chǎng)的相對(duì)含量，稱為高階分量系數(shù)。磁場(chǎng)誤差分為兩部分：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差主要是由磁極面設(shè)計(jì)決定的，對(duì)于四極磁鐵，系統(tǒng)性差對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)高階分量為B6、B10、B14、B18等；隨機(jī)誤差主要是加工誤差和裝配誤差產(chǎn)生的磁場(chǎng)高階分量［13］。因SSWM自身的缺陷，如線圈匝數(shù)少，易受測(cè)量環(huán)境的干擾，最終導(dǎo)致測(cè)量產(chǎn)生的感應(yīng)電壓信號(hào)信噪比較低，故使用SSWM測(cè)得的高階場(chǎng)誤差與目前已發(fā)展成熟的磁測(cè)方法相比誤差較大。由式（5）可知，r越大，|Bn|越大，故在離磁中心越遠(yuǎn)處，高階分量對(duì)磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)越明顯。根據(jù)多極磁鐵中磁場(chǎng)的上述分布特點(diǎn)，嘗試?yán)肧SWM運(yùn)動(dòng)模式靈活、在測(cè)量域所需空間小的優(yōu)勢(shì)，對(duì)離磁中心更遠(yuǎn)、磁場(chǎng)更強(qiáng)的極頭處進(jìn)行了測(cè)量，以求一種新的分析高階場(chǎng)誤差的方式。

將四極磁鐵的4 個(gè)極頭按直角坐標(biāo)系中的1～4象限分為極頭1～4（Pole1～4）。4 個(gè)極面曲線方程為xy= ±R2/2，其中R為磁鐵孔半徑。根據(jù)表1，磁鐵的孔半徑R= 11 mm，歸一化半徑r0= 5 mm。在激磁電流I=135 A 下，控制SSW 沿xy= ±102/2 的雙曲線軌跡運(yùn)動(dòng)。測(cè)量初始位置點(diǎn)坐標(biāo)x0= ±5.084 mm，采樣個(gè)數(shù)N=31。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，當(dāng)SSW 在磁鐵孔徑內(nèi)切割磁力線運(yùn)動(dòng)時(shí)，感應(yīng)電壓的時(shí)間積分等于矢勢(shì)A沿磁鐵長(zhǎng)度積分AL（矢勢(shì)積分）的變化量ΔAL，即∫Vdt= ΔAL，因此，從測(cè)量采集到的電壓積分可以得到極頭表面處雙曲面上的矢勢(shì)積分分布，從而得到積分場(chǎng)的各階分量。

4 測(cè)量結(jié)果和分析

4.1 積分場(chǎng)梯度

四極磁鐵的磁場(chǎng)梯度可按式（8）估算，其中R為磁鐵孔半徑；NI為每極安匝數(shù)；μ0為磁導(dǎo)率；η為磁效率。按照磁鐵的有效長(zhǎng)度0.205 5 m、磁效率為1估算，當(dāng)NI=5 400 AT 時(shí)，四極磁鐵的梯度積分理論值為(GL)0= 230 494 Gs，對(duì)應(yīng)的在歸一化半徑5 mm處的二階諧波系數(shù)為C2L= 28 812 Gs · cm2。

使用SSWM 系統(tǒng)在四極頭表面處雙曲線上測(cè)得的AL曲線分布如圖5所示，其中橫坐標(biāo)為上述估算得到的梯度積分對(duì)應(yīng)的矢勢(shì)積分(AL)0。理想情況下，如果不存在高階場(chǎng)誤差，則測(cè)得的AL和估算得到的(AL)0有固定的線性關(guān)系A(chǔ)L=k(AL)0+b，故圖5 中4 條曲線應(yīng)為重合的直線。分別對(duì)這4 條曲線做線性擬合，將4條曲線擬合得到的系數(shù)k取平均記為ˉk，則四極場(chǎng)積分對(duì)應(yīng)的矢勢(shì)積分為ˉk(AL)0，梯度積分值為ˉk(GL)0。將4 條曲線分別減去ˉk(AL)0，由此得到殘差即為高階場(chǎng)誤差對(duì)應(yīng)的矢勢(shì)積分誤差。在不同時(shí)間重復(fù)三次測(cè)量，得到的梯度積 分 值 分 別 為 195 600 Gs、195 700 Gs 和195 564 Gs，重復(fù)性好于0.1%。

4.2 積分場(chǎng)高階分量

如前所述，圖5中的4條曲線做線性擬合后得到的殘差部分即為高階場(chǎng)誤差對(duì)應(yīng)的矢勢(shì)積分誤差，圖6 為三次測(cè)量得到的4 個(gè)極頭表面處雙曲線上的矢勢(shì)積分誤差曲線，可以看出，測(cè)量重復(fù)性較好。下面將根據(jù)這些曲線擬合得到各積分場(chǎng)高階分量。

為方便擬合計(jì)算，先分析一下各階分量的對(duì)稱性。根據(jù)式（4）：當(dāng)僅存在斜分量即Cn= ian時(shí)，矢勢(shì)A關(guān)于x軸反對(duì)稱（上下反對(duì)稱），并且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A同時(shí)關(guān)于y軸對(duì)稱（左右對(duì)稱），而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A同時(shí)關(guān)于y軸反對(duì)稱（左右反對(duì)稱）；當(dāng)僅存在正分量即Cn=bn時(shí)，矢勢(shì)A關(guān)于x軸對(duì)稱（上下對(duì)稱），并且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A同時(shí)關(guān)于y軸反對(duì)稱（左右反對(duì)稱），而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A同時(shí)關(guān)于y軸對(duì)稱（左右對(duì)稱）。將圖6 中4 個(gè)極頭表面處測(cè)得的矢勢(shì)積分誤差曲線別記為(AL)pole-i(i= 1，2，3，4)，根據(jù)上述分析，可以把誤差曲線拆分成4部分：偶數(shù)階斜分量、奇數(shù)階斜分量、奇數(shù)階正分量和偶數(shù)階正分量，拆分方法為：

圖7 （a～d）是其中一次測(cè)量得到的4條曲線拆分后的4個(gè)部分。下面利用式（4）分別對(duì)這4個(gè)部分做多變量線性擬合，以得到各個(gè)積分場(chǎng)高階分量bn和an。偶數(shù)階斜分量用n=4，6，8，10 擬合，可得到a4、a6、a8、a10；奇數(shù)階斜分量用n=3，5 擬合，可得到a3、a5；奇數(shù)階正分量用n=3，5，7，9，11 擬合，可得到b3、b5、b7、b9、b11；偶數(shù)階正分量用n=4，6，8，10，12，14，18 擬合，可得到b4、b6、b8、b10、b12、b14、b18。表4 中給出了三次測(cè)量的擬合結(jié)果，可以看出，三次測(cè)量的重復(fù)性好于±1.5 × 10-4，該值小于表1 中高階場(chǎng)誤差最大值5 × 10-4的三分之一，因此能滿足測(cè)量要求。

圖7 實(shí)測(cè)與擬合得到的四部分矢勢(shì)積分誤差曲線Fig.7 Curves of four-part AL error obtained by measurement and fitting

表4 三次測(cè)量擬合得到的高階分量系數(shù)Table 4 Multipole component values obtained through three measurement fittings

運(yùn)用PCB（Printed Circuit Board）旋轉(zhuǎn)線圈法對(duì)該四極磁鐵在相同激磁電流下的磁場(chǎng)高階場(chǎng)誤差進(jìn)行測(cè)量，將上述分析得到的高階分量系數(shù)（三次取平均）與旋測(cè)法得到的高階分量系數(shù)列于表5［14］。由表5可知，兩種方法測(cè)得的高階分量系數(shù)，除斜六極分量（n=3）外，其余均小于表1中高階場(chǎng)誤差最大值5 × 10-4。斜六極分量可以通過(guò)微調(diào)磁極的位置予以補(bǔ)償［14］。

表5 SSWM和旋測(cè)法測(cè)得的高階分量系數(shù)Table 5 Multipole component values measured by SSWM and rotating coil method

5 結(jié)語(yǔ)

本文搭建了一種適合測(cè)量小孔徑磁鐵的單根伸展線法（SSWM）磁測(cè)系統(tǒng)，并提出了一種新的磁場(chǎng)測(cè)量和數(shù)據(jù)分析方法，以提高SSWM測(cè)量高階場(chǎng)誤差的準(zhǔn)確性。將該系統(tǒng)運(yùn)用到一孔半徑為11 mm的正四極磁鐵的測(cè)量中，在對(duì)該四極磁鐵的4 個(gè)極頭處進(jìn)行測(cè)量后，根據(jù)測(cè)量結(jié)果分別對(duì)其梯度積分、斜高階分量和正高階分量進(jìn)行了分析，并將結(jié)果與旋測(cè)法測(cè)得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的可行性。綜上所述，本文為小孔徑多極磁鐵的磁場(chǎng)測(cè)量提供了一種可行的方案，為今后使用SSWM測(cè)量高階場(chǎng)誤差提供了一種新的思路。為方便與旋測(cè)法進(jìn)行對(duì)比，本文選用的測(cè)量對(duì)象為一孔半徑為11 mm 的四極磁鐵，今后還可將此系統(tǒng)運(yùn)用到常規(guī)磁測(cè)方式無(wú)法測(cè)量的更小孔徑的多極磁鐵中。

作者貢獻(xiàn)聲明劉嬋負(fù)責(zé)硬件和軟件系統(tǒng)的搭建，實(shí)驗(yàn)研究，數(shù)據(jù)分析整理，撰寫(xiě)論文并完成后續(xù)修訂；張繼東指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)與系統(tǒng)搭建；周巧根指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析，指導(dǎo)并協(xié)助論文寫(xiě)作與修改。