提升推理能力 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

林森

［摘? 要］ 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)開(kāi)展直擊課程本質(zhì)的“深度教學(xué)”，以此讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 文章以問(wèn)題為主線，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比確定研究新知的基本方法和基本路徑，另外借助不同問(wèn)題引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，以此深化知識(shí)理解，有效提高學(xué)生的推理能力，促進(jìn)“教”與“學(xué)”的全面提升.

［關(guān)鍵詞］ 深度教學(xué)；深度思考；推理能力

推理是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的思維方式，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和保障. 在數(shù)學(xué)課堂上要重視學(xué)生推理能力的發(fā)展和提升，使其成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的“助推器”和落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的“穩(wěn)壓器”. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多教師也很關(guān)注學(xué)生推理能力的發(fā)展，只不過(guò)發(fā)展學(xué)生推理能力的主要途徑是“刷題”，從短期效果來(lái)看，學(xué)生可以通過(guò)模仿、復(fù)制的方法解決一些相似的問(wèn)題，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展來(lái)看，學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)能力并沒(méi)有得到“質(zhì)”的提升. 為了改變這一現(xiàn)狀，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)實(shí)施“深度教學(xué)”，教學(xué)中不要局限于單一知識(shí)的講解、單一問(wèn)題的解決，應(yīng)從整體和全局的角度去思考問(wèn)題，建構(gòu)認(rèn)知體系，引導(dǎo)學(xué)生從特殊中抽象出一般數(shù)學(xué)思維和策略，這樣學(xué)生不再是數(shù)學(xué)教學(xué)的盲從者，而是高質(zhì)課堂的建設(shè)者，以此提高學(xué)習(xí)積極性，提升思維品質(zhì)［1］.

教學(xué)“直角三角形斜邊中線的性質(zhì)”時(shí)，筆者以學(xué)生已有認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，借助層層遞進(jìn)的問(wèn)題來(lái)誘發(fā)學(xué)生深度思考，提升教學(xué)品質(zhì).

教學(xué)分析

本章節(jié)教學(xué)目標(biāo)是在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的空間觀念. 學(xué)習(xí)本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)和判斷定理，以及研究幾何圖形的基本方法，這為本節(jié)課開(kāi)展自主探究活動(dòng)提供了知識(shí)儲(chǔ)備和方法保障. 教學(xué)中教師要改變“以教為主”的教學(xué)方式，通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同問(wèn)題來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生應(yīng)用已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，用“聯(lián)系類(lèi)比”和“問(wèn)題引領(lǐng)”的方式讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)抽象，發(fā)展學(xué)生推理能力［2］.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 回顧思考

師：等腰三角形是什么圖形呢？

生齊聲答：軸對(duì)稱圖形.

師：很好，現(xiàn)在我們結(jié)合下面兩個(gè)問(wèn)題回顧一下研究等腰三角形的基本方法，得到了哪些結(jié)論. （教師用PPT給出問(wèn)題）

問(wèn)題1：說(shuō)一說(shuō)等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理分別是什么.

問(wèn)題2：回顧一下研究性質(zhì)定理的主要步驟是什么，研究方法是什么.

對(duì)于問(wèn)題1，其涉及的內(nèi)容在課堂教學(xué)中重點(diǎn)研究過(guò)，在練習(xí)中靈活應(yīng)用過(guò)，教師也讓學(xué)生熟練記憶過(guò)，因此學(xué)生很快就給出了準(zhǔn)確的答案. 對(duì)于問(wèn)題2，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行溝通交流，一致認(rèn)為研究定理主要經(jīng)歷了四個(gè)步驟，分別是操作、探究、歸納、證明. 研究方法：通過(guò)動(dòng)手操作（折疊），引導(dǎo)學(xué)生觀察頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線的關(guān)系，從而引發(fā)數(shù)學(xué)猜想；接下來(lái)通過(guò)合情推理和演繹推理相結(jié)合的方式進(jìn)行推理驗(yàn)證，得到了等腰三角形的性質(zhì)定理；同時(shí)又構(gòu)造逆命題，運(yùn)用演繹推理進(jìn)行驗(yàn)證，得到了等腰三角形的判定定理.

設(shè)計(jì)意圖 在問(wèn)題的引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生回顧具體知識(shí)的研究方法，從而推廣為研究幾何圖形的基本方法，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)方法策略的認(rèn)識(shí)，為研究新的幾何圖形做好了鋪墊. 同時(shí)在教學(xué)中與舊知相關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生用“聯(lián)系類(lèi)比”的方法思考問(wèn)題、分析問(wèn)題，使學(xué)生的思維更具邏輯性，有助于學(xué)生認(rèn)知體系的建構(gòu). 另外，借助“聯(lián)系類(lèi)比”更易于引發(fā)學(xué)生的情感共鳴，是“深度教學(xué)”的重要環(huán)節(jié)，更易于學(xué)生理解和接受.

2. 探索新知

環(huán)節(jié)1：合情推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

合情推理是基于已有認(rèn)知水平的一種推理，其本質(zhì)是利用已經(jīng)驗(yàn)證過(guò)的知識(shí)或方法去推理和驗(yàn)證那些未驗(yàn)證過(guò)的知識(shí)和方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維策略，展現(xiàn)了深度教學(xué)的一般過(guò)程.

師：通過(guò)剛剛的回顧，我們已經(jīng)總結(jié)和歸納了研究幾何圖形的基本思想方法，今天我們就來(lái)應(yīng)用它來(lái)研究直角三角形的斜邊上的中線.

師：現(xiàn)在就利用我們課前準(zhǔn)備的直角三角形，開(kāi)啟我們的探究之旅.

師：結(jié)合研究等腰三角形的基本方法，你認(rèn)為我們的第一步應(yīng)該做什么呢？

生1：動(dòng)手操作. 先通過(guò)“折一折”得到中線，然后再“量一量”，看看它與哪條邊存在什么樣的數(shù)量關(guān)系.

師：很好，現(xiàn)在請(qǐng)大家動(dòng)手做一做、看一看，猜想一下這條斜邊中線會(huì)與哪條邊存在一定的數(shù)量關(guān)系呢.

生2：折疊后感覺(jué)斜邊的中線與斜邊應(yīng)該存在著數(shù)量關(guān)系.

師：很好，現(xiàn)在我們就動(dòng)手“量一量”，看看有什么發(fā)現(xiàn).

生3：經(jīng)過(guò)測(cè)量我發(fā)現(xiàn)斜邊的中線正好是斜邊的一半.

師：現(xiàn)在我們不用折疊法了，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、量一量，看看能否得到相同的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖 合情推理是基于已有現(xiàn)實(shí)的一種推理，其本質(zhì)是利用已經(jīng)驗(yàn)證過(guò)的知識(shí)或方法去推理和驗(yàn)證那些未驗(yàn)證過(guò)的知識(shí)和方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維策略，展現(xiàn)了深度教學(xué)的一般過(guò)程. 教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“畫(huà)”“折”“量”等操作活動(dòng)，提出了猜想，并應(yīng)用不同方法進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)了學(xué)生合情推理能力，同時(shí)又為后面的演繹推理做好了鋪墊. 在折紙、測(cè)量等實(shí)踐活動(dòng)中，教師為學(xué)生提供了自由的、廣闊的探索空間，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)折疊發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生在“做”的過(guò)程中逐漸發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力［3］.

環(huán)節(jié)2：演繹推理，驗(yàn)證結(jié)論.

師：剛剛通過(guò)測(cè)量和折疊我們發(fā)現(xiàn)了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，接下來(lái)我們需要做什么呢？

生齊聲答：驗(yàn)證.

師：很好，判斷一個(gè)命題是否為真命題需要進(jìn)一步驗(yàn)證，那么如何用已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行證明呢？

師：根據(jù)以上結(jié)論，你認(rèn)為其本質(zhì)是證明什么？

生齊聲答：線段相等.

師：那么有哪些方法可以證明線段相等呢？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生回顧、交流）

生4：等腰三角形中等角對(duì)等邊.

生5：還可以利用全等三角形.

師：很好. 如圖1所示，我們先嘗試用生4的方法證明，看看這個(gè)方法是否行得通. （證明略）

師：如圖2所示，你是否能通過(guò)生5的思路，利用“全等三角形”的思路證明以上結(jié)論成立？（證明略）

以上證明對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)講可謂輕車(chē)熟路，不過(guò)也有個(gè)別學(xué)生一時(shí)沒(méi)有找到解題的突破口，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，很快大家完成了證明. 證明結(jié)束后教師引導(dǎo)學(xué)生分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言總結(jié)歸納出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理，教師詳細(xì)板書(shū).

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師將證明過(guò)程拆分成了若干小問(wèn)題，在問(wèn)題的引領(lǐng)下從不同角度探索論證了結(jié)論. 這樣將合情推理的探索活動(dòng)與演繹推理的驗(yàn)證活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合在一起，體驗(yàn)了研究幾何圖形的基本方法，讓學(xué)生知道證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)，是必不可少的一環(huán). 教學(xué)中教師并沒(méi)有讓學(xué)生急于證明，而是借助問(wèn)題讓學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)，即證明線段相等，這樣巧妙地將證明性質(zhì)轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的證明線段相等的問(wèn)題，這樣從已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為演繹推理提供了知識(shí)保障，符合演繹推理的特點(diǎn). 通過(guò)前面問(wèn)題的鋪墊，學(xué)生給出了不同的證明線段相等的方法，接下來(lái)教師讓學(xué)生運(yùn)用不同的方法進(jìn)行證明，這樣既順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展，又豐富了學(xué)生的解題思路，為學(xué)生的全面發(fā)展創(chuàng)造了良好的契機(jī). 同時(shí)，教學(xué)中教師改變了傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)，通過(guò)師生和生生互動(dòng)交流的方式，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線，學(xué)生通過(guò)互動(dòng)交流順利地找到了問(wèn)題的突破口，有效地提升了學(xué)生的演繹推理能力. 可見(jiàn)，“刷題”并不是提升學(xué)生演繹推理能力的唯一途徑，還可以滲透于公式、定理的證明活動(dòng)中. 這樣以問(wèn)題為導(dǎo)向，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流，體現(xiàn)了深度教學(xué)的教學(xué)理念，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 同時(shí)，教學(xué)中教師鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同的策略進(jìn)行證明，通過(guò)對(duì)已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的遷移和重組，不僅鞏固了學(xué)生原認(rèn)知，而且探索學(xué)習(xí)了新知，提升了學(xué)生的解題技能.

環(huán)節(jié)3：逆向推理，完善認(rèn)知.

師：在學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)，學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理后，接下來(lái)研究的是什么問(wèn)題呢？

生齊聲答：判定定理.

師：很好，那么以上命題的逆命題應(yīng)該是什么呢？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考，學(xué)生順利地給出了逆命題.

師：這個(gè)逆命題是否成立呢？你能將逆命題轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言并證明嗎？

生6：如圖1所示，在△ABC中，AD=BD，BD=CD，求證：∠ACB=90°.

這樣通過(guò)文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的互化，深化了學(xué)生對(duì)逆命題的理解. 轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言后，問(wèn)題更加直觀，更易于學(xué)生理解，學(xué)生順利地應(yīng)用已有知識(shí)證明了給出的逆命題.

設(shè)計(jì)意圖 在研究線段、角、等腰三角形等平面幾何圖形時(shí)，學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理后會(huì)對(duì)知識(shí)繼續(xù)拓展，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究它的判定定理，以此深化理解，提升學(xué)生的演繹推理能力. 另外，經(jīng)歷命題的正逆互化有效地發(fā)展了學(xué)生逆向思維. 眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)是靈活多變的，有時(shí)候一個(gè)問(wèn)題稍加改動(dòng)就變成了另一個(gè)全新的問(wèn)題，那么在面對(duì)這些靈活多變的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生難免會(huì)出現(xiàn)思維障礙，苦思冥想也不能獲解，此時(shí)若從反面出發(fā)可能會(huì)有一些意外的收獲. 從實(shí)踐反饋來(lái)看，大多學(xué)生在思考和解決問(wèn)題時(shí)主要依賴的是正向思維，學(xué)生的逆向思維意識(shí)淡薄，這就要求在平時(shí)教學(xué)中多關(guān)注逆向思維的發(fā)展. 如在證明了命題后，引導(dǎo)學(xué)生思考逆命題，這樣不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，而且可以有效提升學(xué)生的推理能力，有利于“深度教學(xué)”目標(biāo)的達(dá)成.

這樣在探索中，將命題與逆命題聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)性質(zhì)定理的記憶更加深刻，有助于學(xué)生完成認(rèn)知體系的建構(gòu). 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)多為學(xué)生營(yíng)造一些機(jī)會(huì)進(jìn)行探索和驗(yàn)證，以此豐富深度教學(xué)的內(nèi)容，助力學(xué)生推理能力的提升.

3. 應(yīng)用新知

習(xí)題訓(xùn)練在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是必不可少的一環(huán)，能起到深化知識(shí)的理解、鞏固和內(nèi)化的作用. 那么為了發(fā)揮習(xí)題訓(xùn)練的價(jià)值，教學(xué)中要少一些“就題論題”，應(yīng)將知識(shí)和問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合在一起，注重培養(yǎng)思維的邏輯性和縝密性.

例1 如圖3所示，在△ABC中，AD是高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，若AC=8，AB=10，求四邊形AEDF的周長(zhǎng).

在解題前，教師沒(méi)有讓學(xué)生直接證明，而是給出了如下問(wèn)題.

問(wèn)題1：圖3中你是否發(fā)現(xiàn)了本節(jié)課的新知呢？

問(wèn)題2：根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，在Rt△ABD中，你能得到哪些線段間的數(shù)量關(guān)系？在Rt△ADC中，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

例2 如圖4所示，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn). 求證：MN⊥BD.

同樣，在解答例2前，教師先讓學(xué)生思考如下問(wèn)題.

問(wèn)題1：如圖4所示，你能找到直角三角形的斜邊中線嗎？如果找不到是否能夠通過(guò)構(gòu)造的方法得到呢？

問(wèn)題2：運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的定理，在Rt△ABC中，你能得到什么結(jié)論？在Rt△ADC中呢？

問(wèn)題3：在圖4中，除了Rt△ABC和Rt△ADC，還有其他的特殊三角形嗎？

問(wèn)題4：回顧特殊三角形的性質(zhì)，可以得到哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖 例1較為簡(jiǎn)單，直接應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)定理就能輕松地證明結(jié)論. 例2具有一定的綜合性，既考查了本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，又考查了等腰三角形的性質(zhì). 在例2的證明過(guò)程中，教師沒(méi)有直接給出輔助線，而且借助問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自己添加輔助線，繼而得到“直角三角形斜邊中線”的基本圖形. 接下來(lái)又引導(dǎo)學(xué)生尋找其他特殊三角形，學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)了等腰三角形，最后應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解決了問(wèn)題. 在應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師既通過(guò)問(wèn)題為學(xué)生指引了方向，又提供了適宜的空間讓學(xué)生獨(dú)立思考，這樣借助層疊的問(wèn)題將相關(guān)知識(shí)有效地串聯(lián)在了一起，讓學(xué)生的思維更有邏輯性.

教學(xué)反思

無(wú)論是學(xué)習(xí)還是生活，推理都有著重要的應(yīng)用，那么數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，要充分發(fā)揮其學(xué)科價(jià)值，關(guān)注學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和提升. 教師要認(rèn)識(shí)到，學(xué)生推理能力的提升是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，需要滲透于課堂教學(xué)中，并貫穿始終，進(jìn)而通過(guò)潛移默化的引導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，提高學(xué)生綜合素養(yǎng).

教學(xué)中教師借助不同的問(wèn)題，誘發(fā)學(xué)生深度思考，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探索、分析、交流，找到解決問(wèn)題的突破口，以此樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 此外，教學(xué)中教師應(yīng)放手讓學(xué)生去探索和驗(yàn)證，讓學(xué)生真正地參與到課堂教學(xué)中來(lái)，充分展示學(xué)生的思維過(guò)程，巧妙地借助問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之美.

總之，實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生推理能力的思想融于課堂教學(xué)，通過(guò)“由淺入深”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，從而將知識(shí)和技能內(nèi)化為能力，助力學(xué)生綜合素質(zhì)提升.

參考文獻(xiàn)：

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