借助問題解決 優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

樊春健

［摘? 要］ 隨著新課改的推進(jìn)，對提高學(xué)生邏輯思維水平的要求越來越高. 執(zhí)教過程中，教師可借助解決問題的過程，逐步深化學(xué)生對知識(shí)的理解. 文章以“二元一次方程”的教學(xué)為例，從課前分析、教學(xué)簡錄以及教學(xué)思考三方面，對“如何借助問題驅(qū)動(dòng)并深化學(xué)生對知識(shí)的理解”展開闡述.

［關(guān)鍵詞］ 解決問題；知識(shí)理解；二元一次方程

數(shù)學(xué)是邏輯的起點(diǎn)，是學(xué)生形成良好認(rèn)知的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)生涯中占有重要地位. 知識(shí)的產(chǎn)生與世間萬物一樣具有一定的自然性與發(fā)展性，每個(gè)知識(shí)的形成都經(jīng)歷了無數(shù)問題的論證［1］. 然而，教材所呈現(xiàn)的很多內(nèi)容是簡單直接的，掩蓋了其發(fā)展過程，不利于學(xué)生的理解與應(yīng)用. 因此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，嘗試通過問題解決的方式，幫助學(xué)生還原知識(shí)的形成過程，獲得了一定的成效.

課前分析

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

不論是一元一次方程還是二元一次方程，都屬于方程的范疇，可見兩者之間存在一定的聯(lián)系. 教學(xué)時(shí)，借助兩者之間的聯(lián)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想與遷移法實(shí)現(xiàn)重難點(diǎn)突破. 類比兩者的解，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在從屬關(guān)系，因此可沿用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念. 而兩者間的主要區(qū)別：從名稱上就能看出，元的個(gè)數(shù)與解的個(gè)數(shù)不一樣；二元一次方程的求解方法更加復(fù)雜一些，它們的數(shù)學(xué)模型也有所差別.

2. 教學(xué)重點(diǎn)分析

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)主要有：①用類比法，通過一元一次方程的概念抽象出二元一次方程的概念；②深化學(xué)生對方程解的理解，且能完整地表達(dá)；③從實(shí)際問題出發(fā)，理解二元一次方程的基本模型，感知該方程的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

3. 學(xué)情分析

學(xué)生之前已經(jīng)接觸過代數(shù)式、方程等內(nèi)容，對“解、元、次”的含義有所認(rèn)識(shí)，基本了解方程、等式的性質(zhì). 鑒于此，本節(jié)課關(guān)鍵是讓學(xué)生在自主探究中獲得二元一次方程的概念、解以及基本模型特征等. 解二元一次方程的步驟，學(xué)生從未接觸過，這是本節(jié)課學(xué)生待突破的難點(diǎn). 在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過類比、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，這對突破本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)具有重要意義.

4. 教學(xué)方法分析

一旦確定了教學(xué)目標(biāo)，我們就可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，將目標(biāo)進(jìn)行分解，借助問題串驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生合作交流，讓學(xué)生在交流中取長補(bǔ)短，完善認(rèn)知，建構(gòu)新知. 如本課教學(xué)中，筆者就緊緊圍繞“3x+2y=20”這個(gè)方程精心設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中不斷類比、轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

教學(xué)簡錄評析

問題1：方程2x+1=3，這是一個(gè)什么方程？

設(shè)計(jì)意圖 低起點(diǎn)的問題，讓學(xué)生回顧舊知，激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為類比導(dǎo)出新知作鋪墊.

生1：這是一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程.

師：為什么這么肯定？

生2：從一元一次方程的定義出發(fā)，只要滿足以下三個(gè)條件即可確定其為一元一次方程：①等式的兩邊均為整式；②存在一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)為1次. 其中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)對應(yīng)“元”，未知數(shù)的次數(shù)對應(yīng)“次”.

問題2：已知3x+2y=20，這是一元一次方程嗎？說明理由.

設(shè)計(jì)意圖 啟發(fā)學(xué)生理解“元”和“未知數(shù)”，通過與一元一次方程的類比，為學(xué)生自主抽象出二元一次方程的概念奠定基礎(chǔ).

生3：不是，這是一個(gè)方程無疑，但存在兩個(gè)未知數(shù)，這可能是一個(gè)二元一次方程.

師：大家覺得有沒有道理？

（學(xué)生紛紛表達(dá)觀點(diǎn)，確定該生的回答是正確的）

師生共同總結(jié)：

（1）如果方程中的x，y均為未知數(shù)，結(jié)合一元一次方程的構(gòu)成條件，不能滿足“一個(gè)未知數(shù)”的條件，因而可否定其為一元一次方程. 從“元、次”的角度來分析，可以確定這是一個(gè)與x、y有關(guān)的二元一次方程.

（2）如果x、y中，有一個(gè)字母表示常數(shù)，那么另一個(gè)字母則為未知數(shù)，我們可以認(rèn)為這是一個(gè)關(guān)于x或y的一元一次方程.

（3）想要判斷一個(gè)式子是什么方程，關(guān)鍵要從概念出發(fā).

（4）若沒有明確說明，那么x，y都可以表示未知數(shù).

評析 從以上教學(xué)過程來看，遵循了學(xué)生先行、交流展示與教師點(diǎn)評總結(jié)的教學(xué)模式. 當(dāng)學(xué)生的思維被激活后，教師結(jié)合學(xué)生的觀點(diǎn)，與學(xué)生共同交流，獲得相應(yīng)的結(jié)論，既體現(xiàn)了學(xué)生的主體性地位，又凸顯了教師的引導(dǎo)作用，這是現(xiàn)代化數(shù)學(xué)課堂重要的模式之一［2］.

問題3：參考一元一次方程的判定條件，寫出二元一次方程的主要特征.

設(shè)計(jì)意圖 鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用類比思想，結(jié)合原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自主建構(gòu)完整的二元一次方程概念.

學(xué)生經(jīng)思考后，獲得以下結(jié)論：①方程的兩邊均為整式；②方程中存在兩個(gè)未知數(shù)；③兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)均為1次.

在學(xué)生的結(jié)論基礎(chǔ)上，教師將二元一次方程完整的概念投影在電子白板上，以強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識(shí).

問題4：（1）觀察下列各式，其中二元一次方程是（? ? ）

通過以上交流，學(xué)生對解二元一次方程的基本解法已經(jīng)有了一定的了解，大部分學(xué)生也能用這種方程來解決實(shí)際問題. 求解實(shí)際問題遇到求整數(shù)解時(shí)，學(xué)生呈現(xiàn)出兩種重要的思路：①取任意值，逐一驗(yàn)證；②分析方程特點(diǎn)，根據(jù)條件獲得取值規(guī)律與范圍，從而獲得問題的解.

問題12：球迷俱樂部組織64人乘坐汽車趕往賽場觀賽，租賃了兩類汽車，分別可乘坐10人與4人.

（1）若要求既不留空座，也不超載，可設(shè)計(jì)哪些租車方案？

（2）在（1）的條件下，如果10座車的租金為300元/天，4座車的租金為150元/天，怎樣的租賃方案最劃算？

設(shè)計(jì)意圖 檢查學(xué)生對本節(jié)課知識(shí)的理解與掌握程度，起到總結(jié)、鞏固與提煉的作用.

教學(xué)思考

本節(jié)課教師通過對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)重點(diǎn)以及學(xué)情的分析. 由淺入深地設(shè)計(jì)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在自主探究過程中，不斷地嘗試、類比、思考與反思，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，將傳統(tǒng)的接受式教學(xué)模式轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)發(fā)現(xiàn)與探索的模式，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

教學(xué)過程結(jié)合學(xué)生的思維方式與元認(rèn)知，有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究欲，激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生親歷了知識(shí)產(chǎn)生及發(fā)展的過程，積累了良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

想讓學(xué)生習(xí)得并應(yīng)用概念，前提要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì). 數(shù)學(xué)知識(shí)間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知與知識(shí)間的聯(lián)系，通過類比、從屬或共同的數(shù)學(xué)思想方法等，建構(gòu)新知.

本節(jié)課，教師采取了“學(xué)生先行——交流呈現(xiàn)——教師評析總結(jié)”的模式. 在學(xué)生先行環(huán)節(jié)中，學(xué)生對問題產(chǎn)生了自己獨(dú)有的感悟與體驗(yàn)，為學(xué)生對知識(shí)的理解打開通道，而交流呈現(xiàn)過程則能讓學(xué)生在互補(bǔ)中獲得認(rèn)知，教師評析總結(jié)的過程即根據(jù)教學(xué)目標(biāo)揭露問題本質(zhì)，提煉總結(jié)，深化學(xué)生對知識(shí)的理解.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 涂榮豹. 數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識(shí)論［M］. 南京：南京師范大學(xué)出版社，2003.

［2］ 張奠宙. 中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)［M］. 上海：上海教育出版社，2006.