DOK視角下的余弦定理、正弦定理復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐與思考

【摘要】DOK理論指導(dǎo)下的復(fù)習(xí)課教學(xué)通過教學(xué)活動和任務(wù)的設(shè)計(jì)，推動學(xué)生深度學(xué)習(xí)和積極參與，培養(yǎng)學(xué)生高階思維和綜合能力.本文以余弦定理、正弦定理復(fù)習(xí)課為例，依據(jù)DOK的4個層級水平制定學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動，讓學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)方法、思維與思想，挖掘數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)精神與文化價值，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】DOK理論；正弦定理；余弦定理；復(fù)習(xí)課

1基于DOK理論的復(fù)習(xí)課教學(xué)分析

1997年，美國學(xué)者諾曼·韋伯博士提出DOK（Depth of Knowledge）理論.在美國課堂聚焦學(xué)生思維和能力的改革推進(jìn)中，DOK逐漸從評價領(lǐng)域中延伸和拓展到課堂教學(xué)領(lǐng)域，成為美國課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的重要理論和方法[1].DOK理論和方法主要指向教學(xué)任務(wù)、活動和任務(wù)的設(shè)計(jì)，是推動學(xué)生深度學(xué)習(xí)和積極參與的學(xué)習(xí)工具，成為培養(yǎng)學(xué)生高階思維的教學(xué)設(shè)計(jì)工具[2].

DOK通過不同的活動、任務(wù)和問題檢測學(xué)生的認(rèn)知水平，強(qiáng)調(diào)的不是內(nèi)容的難度，而是學(xué)習(xí)的復(fù)雜度 [2].DOK將學(xué)生的認(rèn)識水平分成：回憶與重現(xiàn)、技能與概念、策略性思維和拓展性思維四個等級，具體每個等級的認(rèn)知水平如表1[1].

從DOK理論和活動看，教學(xué)活動的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的高階思維和綜合能力.實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)需要教師從教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合學(xué)科內(nèi)容本身梯度設(shè)計(jì)具有不同認(rèn)知水平要求的活動，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用知識解決問題的能力[3].用全面的、聯(lián)系的、整體的眼光處理數(shù)學(xué)知識，學(xué)生在充分參與學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)的過程和數(shù)學(xué)再創(chuàng)造過程.積極建構(gòu)與遷移運(yùn)用，深入了解數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)方法、思維與思想，體會數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)精神與文化價值，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這體現(xiàn)出DOK理論指導(dǎo)復(fù)習(xí)課教學(xué)是可行的，也是具有重要意義的.

2教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)與核心素養(yǎng)分析

余弦定理、正弦定理是2019版人教A版教材必修第二冊第六章第6.4.3節(jié)的內(nèi)容，是平面向量應(yīng)用的呈現(xiàn)和示范.學(xué)生通過余弦定理、正弦定理的學(xué)習(xí)進(jìn)一步領(lǐng)悟向量法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想（教材中余弦定理、正弦定理的證明都運(yùn)用了向量方法），掌握用向量運(yùn)算解決幾何問題的基本要領(lǐng)和方法的同時，完善三角形的認(rèn)知結(jié)構(gòu).余弦定理和正弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系最為重要的兩個定理，本節(jié)復(fù)習(xí)課旨在學(xué)生初步掌握余弦定理和正弦定理的基礎(chǔ)上完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成整體性知識體系，提升分析問題和解決問題的能力，獲得思維發(fā)展.

本節(jié)課旨在通過4個教學(xué)環(huán)節(jié)（如表2）實(shí)現(xiàn)如下目標(biāo)：（1）掌握余弦定理、正弦定理；（2）從余弦定理、正弦定理互相推導(dǎo)的過程中建立學(xué)生研究幾何問題的認(rèn)知系統(tǒng)，使學(xué)生逐步形成解決問題的基本方向和視角；（3）回歸數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和本質(zhì)，把握知識本質(zhì)，構(gòu)建知識體系，思考深層結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，著眼于學(xué)生的長期發(fā)展.

學(xué)生通過理解和掌握余弦、正弦定理，獲得“四基”，增強(qiáng)“四能”，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

3教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1DOK1（回憶與再現(xiàn)）

情境1在三角形中，給出哪幾個條件（邊、角），可以唯一確定三角形的形狀？如何確定？

任務(wù)1敘述余弦定理、正弦定理.余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

a2=b2+c2－2bccosA，

b2=c2+a2－2accosB，

c2=a2+b2－2abcosC.

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.

asinA=bsinB=csinC=2R（R為△ABC外接圓半徑）.

任務(wù)2結(jié)合已知條件如何選擇定理？

學(xué)生討論得出結(jié)論.

任務(wù)3短平快練習(xí).

例1△ABC的三邊分別為a，b，c，試解決下面的問題：

（1）cosC=15，a=1，b=5，求c；

（2）a=7，b=2，A=60°，求sinB和c；

（3）a=4，b=5，c=6，求cosA.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)對應(yīng)的是 DOK1 層級水平.通過情境一“在三角形中，給出哪幾個條件 （邊、角），可以唯一確定三角形的形狀？如何確定？”和任務(wù)1“敘述余弦定理、正弦定理”，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧余弦定理和正弦定理定義，從數(shù)學(xué)語言到符號語言，梳理總結(jié)方法，幫助學(xué)生重塑知識框架，實(shí)現(xiàn)知識回憶與重現(xiàn)．教師提出任務(wù)2“結(jié)合已知條件如何選擇定理？”，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考，進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí).進(jìn)一步使用任務(wù)3例1的短平快練習(xí)，有助于學(xué)生對定理進(jìn)行簡單直接的應(yīng)用，形成掌握基礎(chǔ)知識和方法的普通思維．

3.2DOK2（技能與概念）

情境2回顧用向量法證明余弦定理、正弦定理.

設(shè)計(jì)意圖教師在學(xué)生回顧用向量法證明后，總結(jié)在1981年全國卷和2011年陜西卷都考查了余弦定理的證明，余弦定理、正弦定理的證明可謂是“歷史名題”，歷史上，各個年代、各個國家的數(shù)學(xué)家對正余弦定理的證明展開了不懈地研究，證法多達(dá)幾十種.余弦定理、正弦定理的歷史（包括不同的證明方法、科學(xué)家的創(chuàng)新精神和思維方法）為教學(xué)提供了豐富的教學(xué)素材和思想養(yǎng)料.

任務(wù)4用正弦定理能證明余弦定理嗎？

解析以證明a2=b2+c2－2bccosA為例，即證sin2A=sin2B+sin2C－2sinBsinCcosA，而sin2B+sin2C－2sinBsinCcosA=sin2B+sin2C+2sinBsinCcos（B+C）=sin2B+sin2C+2sinBsinC（cosBcosC－sinBsinC）=sin2B+sin2C+2sinBsinCcosBcosC－2sin2Bsin2C=sin2B（1－sin2C）+sin2C（1－sin2B）+2sinBsinCcosBcosC=（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2A，得證.

任務(wù)5用余弦定理能證明正弦定理嗎？

解析以證明asinA=bsinB為例，即證a2sin2A=b2sin2B，即證a21－cos2A=b21－cos2B，即證a21－b2+c2－a22bc2=b21－a2+c2－b22ac2，即證4b2c2－（b2+c2－a2）2=4a2c2－（a2+c2－b2）2，即證4b2c2－4a2c2=（b2+c2－a2）2－（a2+c2－b2）2，成立，此式顯然成立，原命題得證.

任務(wù)6兩個定理可以有哪些變形？

學(xué)生討論得出結(jié)論如下.

任務(wù)7可以有哪些化簡方法？

學(xué)生總結(jié)有三角恒等變換、平方、降次、因式分解等方法.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)對應(yīng)是DOK2層級，學(xué)生能通過任務(wù)4“用正弦定理能證明余弦定理嗎？”和任務(wù)5“用余弦定理能證明正弦定理嗎？”這個余弦定理和正弦定理的互推過程中，深入理解正弦定理和余弦定理的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)，更好地實(shí)現(xiàn)三角形邊角互化．用不同的思路和方法證明正弦定理與余弦定理，能更好地體會聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，能激發(fā)研究與探索的樂趣.正弦定理和余弦定理不僅可以相互導(dǎo)出，并且各自的三個關(guān)系式中的任何兩個都可以推出第三個[4].從這兩個定理與相關(guān)知識的聯(lián)系來看，可以解釋有些題目可以用兩個定理分別求解，不僅解決了學(xué)生的疑惑，也能促使學(xué)生更深入地思考.通過任務(wù)6“兩個定理可以有哪些變形？”和任務(wù)7“可以有哪些化簡方法？”，超越知識回憶和重現(xiàn)的思考、觀察深度，升華了對知識和方法的認(rèn)識，提升了技能.

3.3DOK3（策略性思維）

例2△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C；（2）若a+b=5，△ABC的面積為332，求c.

解析（1）視角1：正弦定理；由2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=2cosCsin（A+B）=2cosCsinC=sinC，得cosC=12.視角2：余弦定理；由2cosC·aa2+c2－b22ac+bb2+c2－a22bc=2cosC·2c22c=2c·cosC=c，得cosC=12.

視角3：射影定理，可得cosC=12；

由acosB+bcosA=c，得cosC=12.

（2）由余弦定理和正弦定理，得c2=a2+b2－2abcosC=a2+b2－ab，c=3.S=12absinπ3=3ab4=332，c2=（a+b）2－3ab，ab=6.

設(shè)計(jì)意圖例2一題多解，從不同的角度入手，有不同的研究方法和證明方法.

探究1△ABC中，若（1）C=π3；（2）a+b=5；（3）ab=6，三角形確定了嗎？

若分別減少（1），（2），（3），△ABC還能確定嗎？減少（1），即知a+b=5，ab=6，可求嗎？

減少（2），即知C=π3，ab=6，可求嗎？

減少（3），即知C=π3，a+b=5，可求嗎？

本探究以學(xué)生為主體，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，讓基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)過程中得到有效運(yùn)用；以問題為主線，提出問題展開研究，讓基本知識和技能在學(xué)習(xí)過程中自然凸顯；以討論為引導(dǎo)，給學(xué)生思考的空間，讓基本數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)過程中融會貫通.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)對應(yīng)的是 DOK3 層級，學(xué)生從例2到探究1，開啟學(xué)生對題目的加工和改編，學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)生在問題的分析與解決過程中進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，觸碰問題本質(zhì)，發(fā)展科學(xué)思維[5].這一環(huán)節(jié)中學(xué)生運(yùn)用策略性思考和推理，包括復(fù)雜和抽象、邏輯推理，激發(fā)了連續(xù)多步的思維過程.引導(dǎo)學(xué)生深化數(shù)學(xué)思想方法，形成知識網(wǎng)絡(luò)體系，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

3.4DOK4（拓展性思維）

探究2△ABC中，若已知C=π3，c=7，求a+2b的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)對應(yīng)的是 DOK4 層級，探究2中非對稱結(jié)構(gòu)的研究性任務(wù)，需要學(xué)生分析、綜合、反思，對學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力提出更高要求．學(xué)生在抽象概括所求結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和尋找解決方案的過程中能夠提高分析綜合能力，有效訓(xùn)練學(xué)生抽象概括及科學(xué)推理能力，激發(fā)學(xué)生探究熱情并引起學(xué)生思維活動，開展拓展性思考，逐步升華到高階的認(rèn)知行為.

4教學(xué)反思

本節(jié)復(fù)習(xí)課依據(jù) DOK理論將學(xué)生的認(rèn)識水平分成四個等級，根據(jù)其不同等級的思維要求設(shè)計(jì)和開發(fā)相應(yīng)的活動、任務(wù)和問題.在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的7個任務(wù)和2個探究，積極參與、體驗(yàn)探究、獲得發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).教師通過4個層級的活動設(shè)計(jì)將學(xué)生的思維一步步引向縱深，助推學(xué)生從普通思維→技能性思維→策略性思維→拓展性思維，促進(jìn)學(xué)生高階思維和綜合能力的提升，助力教師改進(jìn)教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，領(lǐng)略方法之妙，拓展數(shù)學(xué)思維，感受數(shù)學(xué)文化，落實(shí)立德樹人，培育學(xué)生核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］王雪.基于DOK理論的高中化學(xué)隱性分層教學(xué)實(shí)踐研究［D］．延吉：延邊大學(xué)，2020：7．

［2］安續(xù)續(xù).基于互動理論的小學(xué)生深度學(xué)習(xí)評價指標(biāo)體系研究[D] .武漢：華中科技大學(xué)，2019：4-5.

［3］李桂旺.基于DOK理論的單元目標(biāo)水平分級的嘗試 ——以人教版“牛頓運(yùn)動定律”單元為例[J].物理教學(xué)探討，2018（10）：14-16.

［4］李昌官.“正弦定理和余弦定理”單元教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（09）：11-15.

［5］汪生，余建國.正余弦定理復(fù)習(xí)課教學(xué)新視角[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（05）：4-6.

作者簡介

龐海燕（1981—），女，四川廣元人，中學(xué)高級教師；市教壇新秀，區(qū)骨干教師，獲省教學(xué)論壇一等獎、省優(yōu)質(zhì)課二等獎；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教育教學(xué).