例析幾何證明中邏輯推理的典型錯(cuò)誤

顏胤豪

【摘要】推理與證明是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的重要組成，也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要途徑.但由于受到多種因素的制約，學(xué)生在解決幾何證明題目時(shí)常面臨諸多邏輯推理典型錯(cuò)誤，阻礙學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng).本文結(jié)合全等三角形證明的題目，對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的探究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；全等三角形；幾何證明

在最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，不僅明確了“圖形與幾何”這一核心目標(biāo)，還明確了“培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力”要求.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，全等三角形的證明不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生推理與證明的典型內(nèi)容.但是學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，還存在不少問(wèn)題，不僅制約了學(xué)生的解題效率，也阻礙了學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展.鑒于此，本文以學(xué)生在全等三角形幾何證明中邏輯推理典型錯(cuò)誤作為課堂教學(xué)資源，分析其產(chǎn)生的原因，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略，旨在提升學(xué)生的解題能力，并在解題中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和素養(yǎng).

1 任意推理、引申定理

部分學(xué)生在“全等三角形”學(xué)習(xí)中，由于并未真正理解相關(guān)的幾何概念和定理，致使在證明相關(guān)題目的時(shí)候，對(duì)教材中的定理進(jìn)行任意引申、推廣，進(jìn)而得出“假判斷”，并將其作為證明的根據(jù).在這種情況下，學(xué)生在證明題目時(shí)，常常因?yàn)椤疤摷倮碛伞保霈F(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.

例1 已知：如圖1所示，已知△ABC，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，求證：AD為EF的垂直平分線.

學(xué)生在對(duì)這一題目進(jìn)行證明時(shí)，常常出現(xiàn)一定的錯(cuò)誤：因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF=DE（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等），因此得出AD為線段EF的中垂線.從表面上來(lái)說(shuō)，這一證明過(guò)程中則存在一定的錯(cuò)誤，結(jié)合所學(xué)的定理，只能證明D僅僅是EF垂直平分線上的一個(gè)點(diǎn)，而過(guò)點(diǎn)D則可做出無(wú)數(shù)條直線.因此，從這一方面上來(lái)說(shuō)，根本無(wú)法證明AD就是EF的垂直平分線.

在具體解題實(shí)踐中，這種錯(cuò)誤尤為常見.其主要原因就是學(xué)生在證明題目時(shí)，無(wú)法跨越虛假命題的現(xiàn)象.鑒于此，在日常教學(xué)中，必須要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何概念、定理解讀，真正將其“吃透、弄懂”，最大限度避免解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

2 未挖掘題目中蘊(yùn)含的條件

學(xué)生在對(duì)“全等三角形”相關(guān)題目進(jìn)行證明時(shí)，常常會(huì)陷入到循環(huán)論證中.在這種證明模式下，學(xué)生常常是利用需要證明的命題本身，或者等價(jià)命題作為證明的根據(jù)，但在證明中并未對(duì)命題進(jìn)行證明.

例2 如圖2所示，已知△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，且DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，AE=CE，AB與CF存在什么樣的位置關(guān)系？對(duì)其進(jìn)行判斷且證明.

學(xué)生在證明這一問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)進(jìn)入到循環(huán)論證中：因?yàn)镈E=FE，AE=CE，所以AD=CF，學(xué)生直接將其作為命題的已知條件；又因?yàn)锳D=CF，DE=FE，AE=CE，所以△AED≌△CEF；又因?yàn)椤螦ED與∠CEF為對(duì)頂角，所以AD∥CF，AB∥CF.這一證明題目雖然非常簡(jiǎn)單，并且證明的思路比較清晰，但部分學(xué)生在證明時(shí)，依然會(huì)進(jìn)入到上述的“循環(huán)論證”中，錯(cuò)誤地將AD=CF作為已知條件，將其作為證明的根據(jù)，忽視了題目中∠AED與∠CEF是對(duì)頂角的隱含條件.在這種情況下，學(xué)生在證明的時(shí)候，難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

在日常證明教學(xué)中，為了避免這一錯(cuò)誤，教師可充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，使學(xué)生在日常做題時(shí)逐漸養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，并結(jié)合典型的例題引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘其中的隱含條件，進(jìn)而順利解決幾何證明題目，降低錯(cuò)誤的發(fā)生率.

3 偷換命題，運(yùn)用特殊代替一般

部分學(xué)生在證明“全等三角形”時(shí)，為了降低證明的難度，常常會(huì)將“一般”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為“特殊”.但這就等于偷換了命題，違反了邏輯上的關(guān)系，致使學(xué)生在證明的時(shí)候，常常出現(xiàn)相關(guān)的錯(cuò)誤.

例3 求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半.

部分學(xué)生在證明時(shí)，如圖3所示，△ABC與△A′BC是全等三角形.在這一過(guò)程中，學(xué)生就偷換了概念，將題目中的三角形進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，使其成為全等三角形.之后，連接AA′，與BC相交于D點(diǎn)，則AA′=2AD.在這一步驟中，就將AA′和BC的交點(diǎn)D視為中點(diǎn)；之后，證明出△ABC≌△A′BC，所以AC=A′B.又因?yàn)锳A′＜AB+A′B，則AA′＜AB+AC，所以2AD＜AB+AC，即AD＜1／2（AB+AC）.學(xué)生在證明這一命題的過(guò)程中，雖然明確了運(yùn)用“三角形第三邊小于兩邊之和”的定理，但在具體證明的過(guò)程中，則出現(xiàn)了“偷換命題”的現(xiàn)象，即將三角形偷換為全等三角形，將AA′和BC的交點(diǎn)錯(cuò)誤地當(dāng)作中點(diǎn).在這種情況下，由于學(xué)生運(yùn)用特殊代替了一般情況，致使其在證明的過(guò)程中，極容易出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.

鑒于此，教師在日常幾何證明題教學(xué)時(shí)，就可充分借助一些典型的例題，使得學(xué)生在典型例題分析中，認(rèn)識(shí)到“偷換命題”的問(wèn)題，使其在日后做題訓(xùn)練中，能夠有效避免這一類的錯(cuò)誤.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在“全等三角形”的證明題中，學(xué)生在做題訓(xùn)練過(guò)程中，常常會(huì)因?yàn)樗烈庖甓ɡ?、忽視題目中的隱含條件、偷換命題等，致使解題中出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.鑒于此，在日常解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)通過(guò)日常教學(xué)引導(dǎo)、典型例題分析，使得學(xué)生逐漸掌握相關(guān)的解題技巧，并在解題訓(xùn)練的過(guò)程中，發(fā)展自身的邏輯推理能力和素養(yǎng).