“橢圓及其標(biāo)準方程”（第1課時）教學(xué)設(shè)計

蔣振

摘? 要：在學(xué)生學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究直線與圓的定義與性質(zhì)之后，用坐標(biāo)法研究的又一種幾何圖形是橢圓.“橢圓及其標(biāo)準方程”一課引導(dǎo)學(xué)生通過實驗探究、定義生成、幾何定義代數(shù)化、代數(shù)方程的推導(dǎo)及代數(shù)量的幾何意義分析等過程完成教學(xué)任務(wù)，提升了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生堅韌不拔的意志品質(zhì)，在數(shù)學(xué)運算教學(xué)中滲透“立德樹人”的基本要求.

關(guān)鍵詞：橢圓；標(biāo)準方程；數(shù)學(xué)抽象；核心素養(yǎng)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第三章“圓錐曲線的方程”第一節(jié)“橢圓”中“橢圓及其標(biāo)準方程”（第1課時）的內(nèi)容. 在第二章“直線和圓的方程”中，學(xué)生學(xué)習(xí)了確定直線與圓的幾何特征：定點、定方向，以及定點、定長，并且在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)法給出了直線與圓的方程. 本節(jié)課中，我們將直線與圓的這種研究方法拓展到橢圓，確定橢圓的基本幾何量，并在平面直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準方程. 本課時內(nèi)容是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ). 橢圓是圓錐曲線中的代表性圖形，它與雙曲線、拋物線在概念與性質(zhì)上具有基本同構(gòu)特點. 橢圓相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)為后續(xù)研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ). 因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解橢圓的幾何特征，理解橢圓的幾何定義.

（2）能夠建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，會求橢圓的標(biāo)準方程.

（3）理解橢圓的標(biāo)準方程的代數(shù)特征及參數(shù)a，b，c的幾何意義.

2. 教學(xué)重點

類比圓的學(xué)習(xí)過程，通過畫圖總結(jié)橢圓的幾何特征，并準確給出橢圓的定義；利用坐標(biāo)法建立合理的平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準方程，理解坐標(biāo)法的基本思想.

3. 教學(xué)難點

理解并能準確刻畫橢圓的幾何特征，橢圓的標(biāo)準方程的正確推導(dǎo)（含有兩個根式的和的等式如何化簡）.

三、學(xué)生學(xué)情分析

四、教學(xué)策略分析

1. 教學(xué)策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)纳钋榫撑c數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，將其作為學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)創(chuàng)設(shè)及知識應(yīng)用的有效載體，從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科基本原理、概念、技能和思維方法的理解. 本節(jié)課依據(jù)課時內(nèi)容特點及學(xué)生思維發(fā)展特點設(shè)置了一系列的生活情境與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，促使學(xué)生順利完成“生活中的橢圓辨析—橢圓幾何特征的識別—橢圓幾何定義的生成—橢圓幾何定義代數(shù)化—橢圓代數(shù)方程的推導(dǎo)—橢圓方程中代數(shù)量的幾何意義—例題講解及技能提升”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，并掌握相關(guān)知識.

2. 教學(xué)方法

本節(jié)課采取問題引導(dǎo)的方式組織課堂教學(xué)，問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線進行自主探究，突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點.

3. 教學(xué)資源

平面截圓錐成曲線模型、裝水的圓柱形玻璃水杯、白色卡紙、細繩、幾何畫板軟件、多媒體課件.

4. 教學(xué)流程

五、教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

（1）了解圓錐曲線.

師生活動：教師展示平面截圓錐得橢圓、雙曲線、拋物線的實物模型；介紹圓錐曲線的簡單歷史及其在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用；介紹本章的學(xué)習(xí)任務(wù)，即用坐標(biāo)法研究圓錐曲線. 學(xué)生觀察實物模型，了解圓錐曲線的歷史背景和現(xiàn)實作用，明確本章的學(xué)習(xí)任務(wù).

【設(shè)計意圖】重現(xiàn)古希臘阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的過程，用數(shù)學(xué)文化滋養(yǎng)學(xué)生，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

（2）觀察實驗：將一個圓形玻璃杯稍微傾斜，杯中的水面是橢圓形嗎？雞蛋的外形是橢圓嗎？

師生活動：教師手拿一個盛有半杯水的圓柱形透明水杯讓學(xué)生觀察水杯平放及稍微傾斜放置時水面的形狀，利用PPT投影出雞蛋圖形讓學(xué)生識別雞蛋的外形是否為橢圓. 學(xué)生觀察、思考并給出自己的回答.

【設(shè)計意圖】通過觀察與辨析給出橢圓的樸素定義，讓學(xué)生對橢圓形成感性認識.

（3）師生共同回憶用坐標(biāo)法研究圓的方程的過程，重溫用坐標(biāo)法研究幾何圖形定義與性質(zhì)的方法和研究過程.

【設(shè)計意圖】再現(xiàn)圓的研究過程，為本節(jié)課類比圓的研究方法研究橢圓作好方法和心理上的鋪墊，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)新知識前的畏難心理.

2. 定義橢圓，實踐探究

3. 合理建系，推導(dǎo)方程

（1）合理建立平面直角坐標(biāo)系，為推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準方程作準備.

問題4：通過剛才的探究學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解了橢圓的幾何特征和幾何意義，應(yīng)該如何利用橢圓的這些幾何特征建立橢圓的方程呢？

經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生提出利用坐標(biāo)法建立橢圓的方程的方法. 隨后，教師讓學(xué)生嘗試在自己所畫的橢圓中建立平面直角坐標(biāo)系. 學(xué)生完成建立平面直角坐標(biāo)系的實踐操作并展示成果.

師生活動：師生共同觀察并分析學(xué)生展示的不同的建立平面直角坐標(biāo)系的方法，辨析并選擇以點[F1，F(xiàn)2]所在的直線為[x]軸，以線段[F1F2]的中點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系的方案來展開后續(xù)的探究活動.

【設(shè)計意圖】類比圓的方程的最簡形式和坐標(biāo)系的關(guān)系，根據(jù)橢圓的對稱性選擇最佳建系方法推導(dǎo)橢圓的方程. 通過引導(dǎo)學(xué)生自主建系并進行對比、識別，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對稱美.

（2）幾何意義代數(shù)化.

【設(shè)計意圖】將抽象的橢圓定義用簡潔的符號語言表達出來，使學(xué)生學(xué)會文字語言、圖形語言、符號語言相互轉(zhuǎn)化的方法，提升學(xué)生對三種語言的轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（3）化簡代數(shù)式

【設(shè)計意圖】在推導(dǎo)方程的過程中，利用兩種常用的平方法，引導(dǎo)學(xué)生在化簡時要注意分析式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇對應(yīng)的化簡方法，提高運算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生堅韌不拔的意志品質(zhì)，在數(shù)學(xué)運算教學(xué)中滲透“立德樹人”的基本要求. 同時，學(xué)生消化不同的化簡方法，并對比、分析各種化簡方法的優(yōu)劣，積累兩個根式和的等式化簡的經(jīng)驗，為推導(dǎo)雙曲線方程作好方法儲備.

（4）橢圓方程中代數(shù)量的幾何意義.

（5）辨析方程與橢圓圖形的關(guān)系.

（6）類比推理，完善方程形式.

4. 例題探究，深化理解

5. 小結(jié)提升，明晰重點

（1）橢圓的定義，焦點、焦距的概念.

（2）橢圓的兩種標(biāo)準方程形式.

參考文獻：

［1］汪曉勤，沈中宇. 數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實踐與案例［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

［2］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海： 華東師范大學(xué)出版社，2021.