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    數(shù)學(xué)建模方法在高中數(shù)學(xué)解題中的探究

    2023-06-09 09:37:29李俊錚
    數(shù)理天地(高中版) 2023年7期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模高中數(shù)學(xué)解題

    李俊錚

    【摘要】隨著教育改革的深入推進(jìn),高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動較之以往有了很大改變.在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,受諸多因素的影響,教師過于看重理論內(nèi)容、知識點(diǎn)的傳授,忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)知識實際應(yīng)用能力的提升.而數(shù)學(xué)建模是解決數(shù)學(xué)問題的很重要路徑,也是學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn),在近幾年的高考試題中,越來越注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力考查,而學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法,可以在很大程度上提高自身的數(shù)學(xué)問題處理水平,對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升具有良好幫助.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;高中數(shù)學(xué);解題

    在新課標(biāo)準(zhǔn)中提出,數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好方式,其可以為學(xué)生學(xué)習(xí)提供更加自主的空間,能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)體驗中意識到數(shù)學(xué)在處理現(xiàn)實問題中的作用,可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科與學(xué)生實際生活之間的關(guān)聯(lián)[1].在高中數(shù)學(xué)解題中,通過數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用,能在極大程度上強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,更容易增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,能實現(xiàn)對學(xué)生實踐能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng),促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

    1 數(shù)學(xué)建模方法的相關(guān)概述

    數(shù)學(xué)建模方法簡單來說就是利用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法來解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的一個過程,簡單來說數(shù)學(xué)建模方法主要是針對實際中的數(shù)學(xué)問題,對其進(jìn)行提煉,抽象出特定的數(shù)學(xué)模型,然后完成模型求解,并對數(shù)學(xué)模型本身的合理性進(jìn)行驗證分析,通過模型求解得出數(shù)學(xué)問題的答案[2].數(shù)學(xué)建模的方法主要包含了以下幾個步驟:

    (1)問題分析,主要是充分理解問題的實際意義,對題目中的各項信息進(jìn)行收集整理分析,通過數(shù)學(xué)語言描述這些信息.

    (2)模型假設(shè),結(jié)合問題分析中的信息,簡化數(shù)學(xué)語言,抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上完成相關(guān)條件、符號的假設(shè).

    (3)建立模型,結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行抽象處理,利用假設(shè)條件、符號構(gòu)建出特定的數(shù)學(xué)模型.

    (4)模型求解,引導(dǎo)學(xué)生用自己學(xué)到的知識、題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)求解出相應(yīng)的模型參數(shù)解.

    (5)模型分析,對模型求解的結(jié)果進(jìn)行分析.

    (6)模型檢驗,指引學(xué)生將求解的結(jié)果放到實際問題中,如果符合實際問題中的相關(guān)信息要求,證明模型分析是正確的;如果不符合實際情況,則表明模型需要進(jìn)一步改進(jìn),應(yīng)該重新構(gòu)建模型進(jìn)行分析.

    從實際生活看,有很多問題都與數(shù)學(xué)模型相關(guān),如果學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中可以靈活地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,借助數(shù)學(xué)模型的方法解決,往往能獲得事半功倍的效果[3].從數(shù)學(xué)模型的整體發(fā)展情況看,在高中數(shù)學(xué)階段涉及的模型包含了以下幾類:

    (1)與數(shù)量相關(guān)的模型:主要包括函數(shù)模型、不等式模型、方程模型、數(shù)列模型、概率模型等.

    (2)與形狀相關(guān)的模型:主要包括平面幾何模型、立體幾何模型.

    (3)與位置相關(guān)的模型:主要包括極坐標(biāo)模型、幾何模型.

    (4)與最值相關(guān)的模型,主要有線性規(guī)劃模型.

    2 數(shù)學(xué)模型方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用要點(diǎn)

    2.1 與傳統(tǒng)解題方法的差異

    數(shù)學(xué)建模方法主要是將數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)學(xué)建?;顒尤谌氲綌?shù)學(xué)問題處理中的一種方式,與傳統(tǒng)的解題方法相比較,數(shù)學(xué)建模方法的特點(diǎn)在于:一是數(shù)學(xué)建模需要從題目全局入手,整體分析題目信息,并且要充分了解問題的背景;二是學(xué)生需要全程參與到題目分析中,探索問題的解決路徑,同時數(shù)學(xué)建模方法具有良好的解決策略時,往往會出現(xiàn)一題多模的情況;三是數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問題的一個工具,更加關(guān)注數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用性,同時在數(shù)學(xué)建模方法有特定的步驟,其結(jié)構(gòu)十分清晰[4].

    數(shù)學(xué)建模方法在培養(yǎng)學(xué)生的建模意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識等方面具有良好作用,在新課標(biāo)中提出教師在日常教學(xué)中組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?;顒樱P(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng),并且在新高考中,也更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力考查,出現(xiàn)了很多開放性的問題,更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.因此為了滿足學(xué)生的綜合發(fā)展所需,教師在平常教學(xué)中就需要特別注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識培養(yǎng),引領(lǐng)學(xué)生能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題.

    2.2 關(guān)注數(shù)學(xué)建模思維的滲透

    在教學(xué)改革不斷深入的今天,教師在日常教學(xué)中必須轉(zhuǎn)變自身的教學(xué)思維觀念,要結(jié)合時代特征更新自身的教學(xué)理念,提升自身對數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)知,靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維來引領(lǐng)學(xué)生處理問題.

    同時,在平常教學(xué)中,教師需要在潛移默化中融入數(shù)學(xué)建模思想,關(guān)注學(xué)生的建模方法解題能力的培養(yǎng),教師在課堂上需要轉(zhuǎn)變自身過去的以“教材為核心”觀點(diǎn),靈活地引入生活化內(nèi)容,讓學(xué)生能通過建模思想來處理生活中的實際問題,并且要關(guān)注學(xué)生的獨(dú)立思考,讓學(xué)生能充分意識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值[5].

    此外,教師還可以專門組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練活動,讓學(xué)生在獨(dú)立思考、合作討論中充分掌握數(shù)學(xué)建模知識,熟悉數(shù)學(xué)建模方法的運(yùn)用,促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展.

    3 數(shù)學(xué)建模方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    3.1 函數(shù)模型

    函數(shù)模型簡單來說就是讓學(xué)生用自己學(xué)到的數(shù)學(xué)知識,對實際問題進(jìn)行歸納、分析,然后進(jìn)行加工,建立函數(shù)關(guān)系后,實現(xiàn)對問題的處理.在高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容中,函數(shù)屬于最重要的知識之一,而關(guān)于函數(shù)的問題類型十分豐富,背景知識也特別廣泛,解題技巧更是豐富多樣,一直是高考的重難點(diǎn).同時在學(xué)生的現(xiàn)實生活中,關(guān)于函數(shù)的知識也比較廣泛,如最低成本、最高利潤等,都是用到了函數(shù)求最值的思想方法,因此在實際教學(xué)中,教師可以結(jié)合學(xué)生的實際狀況,引領(lǐng)學(xué)生能靈活地運(yùn)用函數(shù)模型來解決實際問題.

    例1 在十一黃金周前期,某海洋館決定將水池中的水全部放掉,清洗水池,在清洗完以后,重新注入干凈的水.現(xiàn)有一個長、寬、高分別是30m、25m、5m的水池,工作人員將注水時間與注水量變化記錄了下來,詳見下表1.

    結(jié)合上表1思考,在該水池中注水100min時,水池中的水有多少?列出水池中注水量與時間的關(guān)系式,思考多長時間能將水池注滿?

    結(jié)合題目的信息可以知道,本題與長方體的體積相關(guān),結(jié)合表1可以得出在注水時,每隔10min水池中的水會增加250m3,時間間隔相同下,水池中注水量的增加是一樣的,并且這一變量處于連續(xù)狀態(tài),具備構(gòu)建一次函數(shù)的特征.學(xué)生在解題時可以結(jié)合表1中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律,開展圖像分析,得出更加直觀的結(jié)論,假設(shè)注水時間為x,水池中注水量為y,畫出相應(yīng)的圖像,可以看出y與x的變化滿足一次函數(shù)條件,因此學(xué)生在解題中就可以構(gòu)建一次函數(shù)模型y=ax+b,其中a、b都是常數(shù).

    為了求出a、b的值,可以結(jié)合表1給出的數(shù)值,通過待定系數(shù)法,得到二元一次方程組,解方程得到a、b值.如10a+b=250,20a+b=500,得出a=25,b=0,得到一次函數(shù)模型y=25x,隨后將(30,750)、(40,1000)代入一次函數(shù)模型中,驗證模型的合理性,從而得出水池中注水量與時間的關(guān)系式.

    接下來是解答實際問題,當(dāng)注水100min時,y=2500,也就是水池中的水量是2500m3;水池注滿水時,水池中的注水量達(dá)到最大,水池的體積是3750m3,即y=3750時,x所對應(yīng)的值是150.因此150分鐘后水池會注滿干凈水,從而停止注水.最后對一次函數(shù)模型進(jìn)行修正,y=25x(0<x ≤150).

    3.2 三角模型

    在處理一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時,教師可以指引學(xué)生嘗試將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變成示意圖,如果示意圖可以與三角形產(chǎn)生關(guān)系,就可以構(gòu)建相應(yīng)的三角模型,通過三角模型來完成問題的處理.在高中數(shù)學(xué)教材中,三角模型屬于幾何模型中最重要的模型之一,學(xué)生在初中階段就學(xué)習(xí)過很多關(guān)于三角形的模型,而在高中階段,不僅涉及各種基本三角模型的應(yīng)用,還有更加復(fù)雜的三角模型,學(xué)生在求解三角模型時可以通過正余弦定理、勾股定理等知識完成.

    從高中數(shù)學(xué)的整體情況看,三角模型在解題中的應(yīng)用是很廣泛的,其包含了距離、路程、高度等測量問題,學(xué)生在求解三角模型的相關(guān)問題時,往往會涉及一些專業(yè)的術(shù)語,如仰角、俯角等,下面結(jié)合具體例題分析三角模型解決數(shù)學(xué)問題的方法.

    例2 A觀察哨在上午11點(diǎn)收到通知,正西方向突發(fā)風(fēng)暴,朝著正東方移動,預(yù)計在2小時來到觀察哨,并繼續(xù)向前移動.同時觀察哨發(fā)現(xiàn)有一艘輪船在A北偏西60°的B點(diǎn),一段時間后輪船來到A觀察哨北偏東60°的C點(diǎn),并且輪船保持93km/h的速度勻速前行,最后達(dá)到A觀察哨正東方5km的小島E點(diǎn).如果該輪船在BC段的時間是CE段的4倍,問輪船能否在風(fēng)暴達(dá)到A點(diǎn)前回到E?

    在本題中,結(jié)合題目可以知道B、C、E三點(diǎn)共線,然后結(jié)合題目畫出示意圖,如下圖1所示,結(jié)合示意圖抽象出三角模型,然后計算出BE長度.

    結(jié)合題目信息可以得出BC=4CE,設(shè)CE=x,

    則BC=4x,BE=5x,

    △ABE中,∠EAB=150°,

    根據(jù)正弦定理得出sinBAE=sin∠EABBE,

    sinB=12x.

    在△ABC中,∠CAB=120°,

    根據(jù)正弦定理得出sinBAC=sin∠CABBC,

    AC=433.

    在△ACE中,∠CAE=30°,AE=5,

    AC=433,

    依據(jù)余弦定理可以得出CE2=AE2+AC2-2AE·AC·cos∠30°,

    因此得出CE=933,BE=5EC=5933,

    得出航行時間t=53h,也就是輪船經(jīng)過53h后來到小島E點(diǎn),由于53<2,從而得出輪船在風(fēng)暴達(dá)到A點(diǎn)之前就可以回到E點(diǎn).

    高中學(xué)生在利用三角模型處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時,需要不斷地用到正弦定理、余弦定理等知識點(diǎn),所以學(xué)生自身必須對這些知識有深層次的認(rèn)知.

    4 結(jié)語

    總而言之,在高中數(shù)學(xué)解題中,通過數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用,可以讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)知識在實踐生產(chǎn)生活中的運(yùn)用價值,更容易幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論知識,解決數(shù)學(xué)實際問題,對學(xué)生綜合發(fā)展尤為有利.在今后的高中數(shù)學(xué)解題中,教師要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng),引領(lǐng)學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法來處理各項數(shù)學(xué)問題,推動學(xué)生的綜合成長.

    參考文獻(xiàn):

    [1]余金通.數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐與探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué):高中版,2021(8):90-91.

    [2]蒲朝云.關(guān)于數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐與探索[J].數(shù)理化解題研究,2022(12):29-31.

    [3]劉洋,劉春紅.高中數(shù)學(xué)建?;顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動的實踐路徑[J].天津教育,2022(2):16-18.

    [4]張芝悅.基于數(shù)學(xué)建模的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略探究——以《三角函數(shù)的應(yīng)用》為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2021(24):25-26.

    [5]張興力.如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力[J].魅力中國,2021(10):83.

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