微元法在物理解題教學(xué)中的使用

摘 要：在高中物理教學(xué)中，微元法是一種較為關(guān)鍵的解題法.在某些物理問(wèn)題解析的過(guò)程中能夠起到化繁為簡(jiǎn)的作用，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.在文章闡述中以微元法為研究對(duì)象，旨在能夠優(yōu)化高中物理教學(xué)方法，為后續(xù)教學(xué)研究提供有效參考.

關(guān)鍵詞：微元法；高中物理；解題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）06-0091-03

在涉及到變化物理量的研究中，我們通常是將全過(guò)程分為若干短暫小過(guò)程，或者是將整體分解為微小的局部，亦或者是曲線看作是一小段一小段的直線展開(kāi)研究，進(jìn)而歸納出適合全過(guò)程或整體的結(jié)論.這種微小的過(guò)程或局部被稱(chēng)之為微元，這種方法也被稱(chēng)之為微元法.目前在高中物理教學(xué)中，微元法較為常見(jiàn)，能夠化抽象為具體.因此文章以微元法為例，探討高中物理解題教學(xué)中此種方法的具體應(yīng)用策略.

1 微元法概述

在高中物理題目解析的過(guò)程中，微元法并不常用，但是起到的作用較大，其在運(yùn)動(dòng)類(lèi)和電磁場(chǎng)類(lèi)物理問(wèn)題解析的過(guò)程中，能夠化繁為簡(jiǎn)，為學(xué)生提供解題的技巧和思路.微元法中的“微”表示瞬間的物理過(guò)程或短暫過(guò)程，“元”表示相對(duì)獨(dú)立.微元法表示從整體中選擇一個(gè)微小過(guò)程，通過(guò)內(nèi)外之間的聯(lián)系和規(guī)律來(lái)對(duì)整個(gè)物理過(guò)程進(jìn)行了解和掌握.從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析微元法，即表示微元法類(lèi)似于積分或者是極限過(guò)程，通過(guò)疊加即可以得出最終的結(jié)果和結(jié)論.一般來(lái)說(shuō)，在微元法實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中主要分為以下幾個(gè)步驟：首先確定研究對(duì)象；其次選擇微元法；再次借助物理規(guī)律對(duì)元的過(guò)程進(jìn)行表達(dá)；最后通過(guò)疊加求解得出最后的答案.

2 運(yùn)動(dòng)類(lèi)物理解題教學(xué)中微元法的應(yīng)用

運(yùn)動(dòng)類(lèi)物理在高中物理教學(xué)中較為常見(jiàn)，包含勻速、勻變速運(yùn)動(dòng)等等，如果采用常規(guī)思想和思維進(jìn)行解析，較為抽象.通過(guò)微元法的應(yīng)用能夠?qū)⒊橄筠D(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，即在運(yùn)動(dòng)類(lèi)物理問(wèn)題解題的過(guò)程中，選取微小的時(shí)間，確保在一定范圍內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)較大的變化，通過(guò)對(duì)路程或位移的求解得出最后的結(jié)果.盡管對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了分割，但是分割之后的各個(gè)元之間仍然具有一定的規(guī)律性，因此在解析的過(guò)程中只需要對(duì)相應(yīng)的元過(guò)程疊加計(jì)算就能夠解決物理問(wèn)題，較為便捷.

例1 水平的湖面上停著一艘船，船重記為M，船長(zhǎng)記為L(zhǎng)，船員的重量為m，現(xiàn)在船員站在船頭的位置，現(xiàn)接到指令，需要船員從船頭走到船尾，在忽略船只阻力的情況下該船員從船頭到船尾行走過(guò)程中船只的位移是多少？

解析 在本道物理題目解析的過(guò)程中，如果運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解的難度較大，因此可以利用微元法，配合整體思維，從而降低求解難度，解決物理問(wèn)題.

解答 將船只與船員看作研究對(duì)象，根據(jù)題目中忽略船員走動(dòng)期間所受到的船只阻力，整體的系統(tǒng)滿(mǎn)足動(dòng)量守恒的基本條件.在本道題目解析的過(guò)程中對(duì)過(guò)程進(jìn)行無(wú)限的分割，在較小的時(shí)間范圍內(nèi)人的運(yùn)動(dòng)可以看作是勻速運(yùn)動(dòng)，船只和人在任意時(shí)刻的速度可以將其記為v1和v2，通過(guò)動(dòng)量守恒定律，從而得出mv1=Mv2，此時(shí)公式兩邊同乘Δt，可得出mv1Δt=Mv2Δt.

因Δt較小，因此可以近似地將船只與船員的運(yùn)動(dòng)看作是勻速運(yùn)動(dòng)，那么船只和船員位移大小則分別記為Δs1=v1Δt和Δs2=v2Δt.

根據(jù)上述可知mΔs1=MΔs2.

通過(guò)對(duì)上述劃分的元位移進(jìn)行疊加，可知mΣΔs1=

MΣΔs2，即m s1=Ms2，因s1和s2為船只和船員在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的具體大小值，根據(jù)物理規(guī)律L= s1+s2，由此求出s1=mL/（M+m）.

在位移問(wèn)題解析的過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)被題目的表象蒙蔽，從而找不到解題技巧陷入解題誤區(qū).如果利用微元法解決位移問(wèn)題，能夠有效避免此種情況，使得題型變得簡(jiǎn)單便捷.

例2 將一個(gè)物體豎直向上拋出，物體本身的質(zhì)量記為m，拋出的速度記為v0，已知該物體的運(yùn)行速度與自身受到的空氣阻力成正比，求：

（1）在物體拋出到落地，空氣阻力做了多少功，物體的瞬時(shí)加速度是多少？

（2）物體在t1時(shí)間點(diǎn)的時(shí)候，高度是多少？解析 根據(jù)題目中已知條件，可看出物體所做的運(yùn)動(dòng)均為變速運(yùn)動(dòng).物體在下落的時(shí)候速率為v1，此時(shí)可以采用微元法來(lái)解決物理問(wèn)題.

解答

（1）根據(jù)動(dòng)能定理W=12mv21-12mv20，空氣阻力做的功為Wf=12mv21-12mv20，因?yàn)榭諝庾枇閒=kv，物體下落最后的運(yùn)動(dòng)可以看作是勻速運(yùn)動(dòng)，由此得出以mg=kv1，在被拋出的時(shí)候物體產(chǎn)生了加速度，記為a0，由此可知ma0=mg+kv0.

（2）物體在上升的過(guò)程中速度為v，加速度為a，則-（mg+kv）=ma，則a=-g-vg/v1.利用微元法將物體在空中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程劃分為多個(gè)步驟，由此可知Δv=gΔt=-gΔt-vΔtg/v1，由此得出0-v0=-gt-（g/v1）H，因此在t1時(shí)間點(diǎn)時(shí)，H=v1v0/g-v1t.

在上述實(shí)例解析的過(guò)程中可以看出，微元法將物體在運(yùn)動(dòng)中的過(guò)程看作是一個(gè)整體，并分解成多個(gè)單元，通過(guò)拆解的方式幫助學(xué)生更好的理解，從而

使解題的過(guò)程也變得更加得簡(jiǎn)單和高效，久而久之學(xué)生便逐漸掌握了解題的技巧.

3 電磁場(chǎng)物理解題中微元法的應(yīng)用

在高中物理教學(xué)的過(guò)程中，微元法不僅幫助學(xué)生形成了較為便捷的解題技巧，還有效地拓展了學(xué)生的知識(shí)視野，形成了較為清晰的解題思路.尤其是面對(duì)高中物理教學(xué)中的電磁場(chǎng)問(wèn)題，導(dǎo)體在實(shí)際運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中會(huì)受到安倍力作用，相應(yīng)作用力大小也會(huì)因此發(fā)生一定的改變，從而導(dǎo)致導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化.在此類(lèi)問(wèn)題解析的過(guò)程中，不能直接應(yīng)用勻速或者是勻變速的物理規(guī)律對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.因此，在電磁場(chǎng)問(wèn)題解析的過(guò)程中可以利用微元法，將導(dǎo)體在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)限的分割，并選取其中較小的單元，將在此時(shí)間的運(yùn)動(dòng)看作是勻速運(yùn)動(dòng)，借助物理的勻速或勻變速規(guī)律進(jìn)行疊加計(jì)算，從而求解物理問(wèn)題.

例3 豎直平面中有一個(gè)正方形線框，電阻為R，質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，平面內(nèi)包括垂直向里的磁場(chǎng)，線框以v0的初速度水平拋出，其方向與磁場(chǎng)方向始終保持垂直.已知磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度滿(mǎn)足B=B0+kz，Z軸保持豎直向下，重力加速度為g，求：

（1）線框豎直方向速度為v1，求其中瞬時(shí)電流值？

（2）復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)期間線框的最大電功率是多少？

（3）線框從開(kāi)始到瞬時(shí)速度為v2時(shí)候的耗時(shí)為t，線框的總位移值是多少？

解析 在上述題目解析中，首先要考慮在電磁場(chǎng)中導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)并非是均勻變化，因此不能利用勻速或勻變速的物理規(guī)律進(jìn)行求解.所以在本道題目中采用微元法對(duì)題目進(jìn)行分析，將導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程進(jìn)行無(wú)限的分解，選取其中較小的微元進(jìn)行求解.

解答

（1）結(jié)合磁場(chǎng)中磁感強(qiáng)度的規(guī)律和正方向線框的規(guī)則特征，求出感應(yīng)電流為：

i=eR=B2-B1Lv1R=kL2Rv1；

（2）在線框內(nèi)所受安培力等于重力的時(shí)候，豎直速度和功率達(dá)到了最大值，采用平衡條件得出：

mg=（B2-B1）2L2vmR=k2L4vmR

從而求出vm=mgRk2L4

因此Pm= mgvm=m2g2Rk2L4；

（3）正方形線框?qū)嶋H運(yùn)行的過(guò)程中，主要涉及到安培力和重力，大小分別是（B2-B1）2L2v2R=k2L4v2R和mg，對(duì)線框在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行劃分，從而確定受到重力和安培力作用的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.在單純受到重力的時(shí)候，t時(shí)間內(nèi)線框的速度增加記為（Δv）1＝gt，同樣時(shí)間內(nèi)安培力作用下線框增加的速度為（Δv）2.在解析的過(guò)程中，如果采用常規(guī)的方法將難以求解，因此需要采用微元法對(duì)題目進(jìn)行解析，將受到的安培力無(wú)限分割，那么在所選時(shí)間內(nèi)安培力可以看作是不變的恒力，根據(jù)牛頓第二定律和勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)對(duì)相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行求解.問(wèn)題中對(duì)應(yīng)的加速度表示為a=k2L4v2mR，在Δt時(shí)間內(nèi)速度發(fā)生了變化，其增加值為（Δv）2=-k2L4v2ΔtmR=

k2L4zmR，在時(shí)間t內(nèi)，安培力逐漸的增加，速度隨之減少.結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求出增加的速度為Δv=（Δv）1+（Δv）2，其對(duì)應(yīng)的增加值為（Δv）=v22-v20，通過(guò)求解進(jìn)而得出時(shí)間t內(nèi)線框的數(shù)值方向位移為z=mg（gt-v22-v20）k2L4，進(jìn)而得出水平方向?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方向，求出本段時(shí)間線框的總位移為S= z2+（v0t）2，之后將t帶入到式子中就可求出本道題的最終結(jié)果.

在上述案例解析的過(guò)程中，微元法的應(yīng)用至關(guān)重要.面對(duì)較為復(fù)雜的題型，微元法的應(yīng)用不僅為學(xué)生提供了解題思路，簡(jiǎn)化了解題的過(guò)程，并且在微元法實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中一定程度上拓展了學(xué)生的學(xué)科視野，為之后的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

綜上所述，在高中物理教學(xué)的過(guò)程中，微元法為運(yùn)動(dòng)類(lèi)和電場(chǎng)磁場(chǎng)類(lèi)物理問(wèn)題的解析提供了新的思路和方向，能夠化抽象為具體，應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)較為明顯.因此，在高中物理解題教學(xué)的過(guò)程中，教師要結(jié)合例題的實(shí)際情況加強(qiáng)學(xué)生對(duì)微元法的認(rèn)知，從而幫助學(xué)生掌握微元法應(yīng)用的解題技巧，促使學(xué)生的解題能力得到不斷的提升.

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者簡(jiǎn)介：亞娟（1981.8-），女，中學(xué)一級(jí)教師，從事物理教學(xué)研究.