大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)

徐偉東 呂增鋒

摘要：大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)以培養(yǎng)專家思維為終極目標(biāo)，以數(shù)學(xué)概念的再認(rèn)知為生長點(diǎn)，以鼓勵提出問題為驅(qū)動力。其教學(xué)步驟一般包括多角度提取大概念、基于大概念創(chuàng)設(shè)問題情境、圍繞大概念設(shè)計(jì)探究活動、在大概念應(yīng)用中提升數(shù)學(xué)思維等。它不僅可以很好地克服傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的諸多弊端，而且可以有效地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；大概念；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)探究；切線不等式

*

本文系浙江省寧波市2021年教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“大概念視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的研究”（編號：2021YZD079）的階段性研究成果。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)一直飽受訓(xùn)練強(qiáng)度大、效果持續(xù)時間短、問題難度把握失控、過度依賴記憶與模仿等弊病的困擾。因此，重塑數(shù)學(xué)解題教學(xué)的理念、改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的方式是中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的重要任務(wù)之一。2017年版的普通高中課程方案和各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)首次提到“大概念”一詞：在前言中指出，本次（相比于2003年的“實(shí)驗(yàn)稿”）學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)“修訂的主要內(nèi)容和變化”其中一條是“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”。這不僅在政策上確立了大概念在高中課程改革中的重要地位，而且暗含了大概念與核心素養(yǎng)的關(guān)系：大概念是一個多層次的體系（才能“使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”），核心素養(yǎng)是一種層次較高的大概念。因此，大概念是核心素養(yǎng)的載體，以大概念引領(lǐng)教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的應(yīng)然路徑。大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，能夠起到補(bǔ)偏救弊、正本清源的作用。

一、大概念及其引領(lǐng)下的教學(xué)

大概念是一個以主體為中心的意義體世界。它是概念關(guān)系的集合體，兼具知識論意義、方法論意義與價值論意義，具有結(jié)構(gòu)性、發(fā)展性、靈活性。同時，它起到了“組織者”的作用，以大概念為核心對知識進(jìn)行解構(gòu)與重組，可以形成一個囊括無數(shù)相互聯(lián)系的小概念與大量相關(guān)事實(shí)、范例的知識體，從而促成人們對世界的深度理解、持久建構(gòu)以及價值觀念的形成。

大概念的“大”不是指“龐大”，而是指“核心”“高位”或“上位”，即學(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價值的核心內(nèi)容。大概念一般表現(xiàn)為三種形式：“概念”“觀念”與“論題”。［1］因此，數(shù)學(xué)中的核心概念、中心問題和主要思想方法也都屬于大概念的范疇。例如，“函數(shù)”本身就是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，當(dāng)然也是大概念；“函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要模型”，表達(dá)的是人們對函數(shù)功能與地位認(rèn)知的一般“觀念”，也可以看作大概念。

按照大概念所在的層級，從高到低依次分為：課程大概念、單元大概念、課時大概念。課程大概念處于頂尖位置，下面的兩個“大概念”相對于它來說，就成了“小概念”或“次要概念”；同樣，課時大概念相對于單元大概念來說，也是“小概念”“次要概念”。也就是說，大概念的“大”具有相對性，在每個層級中都有處于統(tǒng)攝地位的“大”概念。

大概念引領(lǐng)下的教學(xué)是以大概念為錨點(diǎn)組織教學(xué)的一種方式。具體地說，就是從學(xué)科知識體系和邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，提取大概念；然后，圍繞大概念搭建核心觀點(diǎn)框架；最后，將大概念細(xì)化為次級概念，成為課時教學(xué)的立意或主題，來統(tǒng)攝整節(jié)課的教學(xué)，從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生能力與素養(yǎng)的目的。這樣教學(xué)的優(yōu)勢在于引導(dǎo)學(xué)生超越對知識和技能的學(xué)習(xí)，走向那些超越時空和情境所存在的、可遷移的觀點(diǎn)和思想，從而讓學(xué)生對什么是數(shù)學(xué)、如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一個深刻的認(rèn)知。

二、大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)理念

（一）以培養(yǎng)專家思維為終極目標(biāo)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)以讓學(xué)生掌握更多的解題技巧為目的，這使傳授現(xiàn)成的、有用的數(shù)學(xué)結(jié)論成為課堂教學(xué)的首要任務(wù)。很多教師為了提升學(xué)生的解題能力，更是熱衷于傳授各種巧法、妙法。例如，解圓錐曲線綜合題，必然使用二級結(jié)論；講導(dǎo)數(shù)問題，必然不離泰勒展開，等等。這些更高更妙的“專家結(jié)論”雖然能夠在短時間內(nèi)提升考試成績，但并不能被學(xué)生真正理解與掌握，反而會造成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的形式化、淺表化、碎片化。美國社會學(xué)家蘭德爾·柯林斯就明確指出：“在工業(yè)時代，大部分工作對人的要求并不高，可以到崗位上現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，從而掩蓋了‘學(xué)校教授專家結(jié)論的教育’是低效乃至無效的這一事實(shí)?！倍嘣悄芾碚撎岢稣呒拥录{認(rèn)為，學(xué)生只有超越具體的事實(shí)和信息，理解學(xué)科思考世界的獨(dú)特方式，未來才有可能像一個科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家、歷史學(xué)家一樣去創(chuàng)造性地思維與行動。因此，大概念引領(lǐng)下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的目標(biāo)定位是讓學(xué)生成為專家，像專家那樣思考，即以大概念來組織與關(guān)聯(lián)知識，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，能根據(jù)任務(wù)需求提出解決問題的方案，熟練調(diào)用相關(guān)知識來解決問題。

（二）以數(shù)學(xué)概念的再認(rèn)知為生長點(diǎn)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師認(rèn)為考試只考數(shù)學(xué)解題，不直接考數(shù)學(xué)概念。因此，很少會把時間花在對數(shù)學(xué)概念的理解上，最多以知識梳理的形式一筆帶過；而把大量的時間花在解題、講題、訓(xùn)練上，希望學(xué)生在有限的時間內(nèi)掌握更多的解題技巧與方法。但事實(shí)上，數(shù)學(xué)概念才是數(shù)學(xué)的核心，解題充其量只是概念的衍生與應(yīng)用；若沒有數(shù)學(xué)概念作為基礎(chǔ)，解題與解題教學(xué)就無從談起。不僅如此，數(shù)學(xué)概念的復(fù)雜性和發(fā)展性決定了其需要經(jīng)歷認(rèn)知、再認(rèn)知的過程，因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終：不僅要在概念課中認(rèn)知數(shù)學(xué)概念，而且要在習(xí)題課中對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行再認(rèn)知?；谏鲜稣J(rèn)識，大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是以數(shù)學(xué)核心概念為錨點(diǎn)對數(shù)學(xué)知識與思想方法進(jìn)行精煉與整合，把對解題方法的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)概念再認(rèn)知的過程有機(jī)地融合在一起，即以深化數(shù)學(xué)概念的理解來引領(lǐng)解題的行為，幫助學(xué)生在認(rèn)清數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的同時收獲新的解題方法，從而在潛移默化中提升解題能力。

（三）以鼓勵提出問題為驅(qū)動力

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)基本上遵循的是“教師給出問題，學(xué)生解決問題，或師生共同解決問題”的套路。一個問題解決，教師馬上又拋出新的問題，這樣的過程不斷被重復(fù)，學(xué)生很少有主動提出問題的機(jī)會。教師將大量的精力投入對現(xiàn)有問題的解決，“很少對有關(guān)數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生、表達(dá)以及知識獲取的過程給予直接的關(guān)注”。事實(shí)上，提出問題比解決問題更重要，因?yàn)榻忸}教學(xué)要針對的恰恰是學(xué)生存在的真實(shí)問題，而不是教師提供的現(xiàn)成問題。學(xué)生只有具備了與已有概念相對應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維形式，才會出現(xiàn)“為什么”“是什么”“怎么辦”的想法，才會有提出問題的渴望；而這種渴望越強(qiáng)烈，越能激發(fā)學(xué)生解決問題的動機(jī)。在大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師不斷地鼓勵學(xué)生圍繞大概念提出問題，學(xué)生全身心地投入問題的解決過程，形成“提出問題→解決問題→提出較高層次的問題→解決較高層次的問題→提出更高層次的問題→……”的解題教學(xué)新樣態(tài)。

三、大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)步驟

（一）多角度提取大概念

大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)的第一步，就是提取大概念。因此，在明確解題教學(xué)的主題后，就需要對教學(xué)主題所涉及的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、思想方法及其相互關(guān)系進(jìn)行多視角的分析，進(jìn)而提取該主題中的大概念。

“第三屆國際數(shù)學(xué)及科學(xué)研究”（TIMSS）的結(jié)果表明，亞洲華人地區(qū)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績通常比較優(yōu)異，但對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度卻相對負(fù)面。［5］造成這種現(xiàn)象的一個主要原因，張奠宙先生早已指出過，那就是“為了應(yīng)付考試而整天做題”。而改變這種現(xiàn)象的一個有效方法，就是讓傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)轉(zhuǎn)向以大概念為引領(lǐng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學(xué)構(gòu)型——兼論素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂變革［J］.教育研究，2020（6）：68.

［2］趙楠.大概念課程如何落地？——以加拿大不列顛哥倫比亞省的課程改革為例［J］.現(xiàn)代教育技術(shù)，2020（11）：42.

［3］張輝蓉.數(shù)學(xué)解題教學(xué)是非之爭及思考［J］.中國教育學(xué)刊，2010（5）：42.

［4］劉徽，徐玲玲.大概念和大概念教學(xué)［J］.上海教育，2020（11）：3132.

［5］鞏子坤，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育研究中值得關(guān)注的問題——熱點(diǎn)與反思［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008（1）：78.