復(fù)合應(yīng)用題的算術(shù)法解題策略

沈冬琴

摘 ?要：復(fù)合應(yīng)用題是由基本應(yīng)用題組成的，解決復(fù)合應(yīng)用題應(yīng)打好解決基本應(yīng)用題的基礎(chǔ)。分析復(fù)合應(yīng)用題的解法，應(yīng)根據(jù)題目條件尋找解題策略，數(shù)量關(guān)系分析法、線段圖法、轉(zhuǎn)化法、逆推法、假設(shè)法、比較法、設(shè)數(shù)法等解決復(fù)合應(yīng)用題的方法，各具特色，彼此間又互相交錯(cuò)。有時(shí)一個(gè)問題可以運(yùn)用多種策略解決，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視一題多解。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；復(fù)合應(yīng)用題；解題策略

一、數(shù)量關(guān)系分析法

（一）綜合法

運(yùn)用綜合法解復(fù)合應(yīng)用題，就是從題目的已知條件出發(fā)，解決一個(gè)易于解決的問題，再把得到的結(jié)論作為條件繼續(xù)解決下一個(gè)問題。

例１． 讀一本３２０頁的小說書，讀了７天，每天讀了３０頁。剩下的要在２天讀完，平均每天要讀多少頁書？

分析：在剩下的２天內(nèi)要讀完，就必須知道７天已經(jīng)讀了多少頁，還剩下多少頁沒讀。通過分析建立解題思路：先求出７天已讀的頁碼數(shù)，再求出剩下未讀的頁碼數(shù)，最后求出最后２天中平均每天要讀的頁碼數(shù)。（３２０－７×３０）÷２＝５５。平均每天要讀５５頁書。

（二）分析法

分析法，就是執(zhí)果索因，由未知追溯到已知。采用分析法解決問題，從題目中的問題入手，分析數(shù)量關(guān)系，找出解答問題的兩個(gè)條件，倘若這兩個(gè)條件有一個(gè)未知，那么就通過其他條件解決這個(gè)未知的事項(xiàng)。不斷推理，直到找出所需要的條件為已知條件為止。

例２． 甲、乙兩班車分別從興化的邊城車站和南京的江寧車站同時(shí)出發(fā)，甲車從邊城前往江寧，每小時(shí)８５千米，乙車從江寧前往邊城，每小時(shí)７５千米。兩車在途中相遇時(shí)，甲車比乙車多行了１５千米。興化的邊城車站與南京的江寧車站相距多遠(yuǎn)？

分析：欲求興化與南京相距多遠(yuǎn)，要么需要知道兩車各行了多少千米，要么需要知道兩車相遇時(shí)行駛了多長時(shí)間。可是兩個(gè)條件都不具備。繼續(xù)分析，當(dāng)他們相遇時(shí)，甲車比乙車多行了１５千米，這看似多余的條件，卻起著關(guān)鍵性的作用。正是由于有這個(gè)條件，才能判定兩車相遇時(shí)行走的時(shí)間。１５÷（８５－７５）＝１．５。兩車相遇時(shí)，都行駛了１．５小時(shí)。８５×１．５＋７５×１．５＝２４０（千米）。興化的邊城車站與南京的江寧車站相距２４０千米。

用分析法解復(fù)合應(yīng)用題，對(duì)提高學(xué)生分析問題解決問題的能力很有幫助。

（三）分析綜合法

分析綜合法就是解決問題時(shí)同時(shí)運(yùn)用分析法和綜合法，兩種方法交替運(yùn)用，有順?biāo)浦郏心媪鞫?，靈活多變，相輔相成。

例３． 合唱隊(duì)有６０名成員，因場地限制，只能派部分成員參加演出。選出了女生人數(shù)的 和８名男生組成新的演出隊(duì)伍，剩下的男生和女生人數(shù)恰好相等。合唱隊(duì)中的男生和女生人數(shù)各是多少？

分析：女生人數(shù)選出了 ，還有 ，男生選出８人后與女生剩下的人數(shù)相等，也是女生人數(shù)的 。接下來就要考慮具體數(shù)量與分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)男生選出８人后，總?cè)藬?shù)成了６0－８＝５２（人）。這５２人中包含了全體女生和部分男生人數(shù)相當(dāng)于女生的 。５２÷１＋ ＝４０（人）。合唱隊(duì)中女生有４０人，男生有２０人。

解題時(shí)，把可能得到的結(jié)果也落實(shí)下來，再從結(jié)論往前推，看需要求什么，從哪些地方著手。理清解題思路再落筆。

二、線段圖法

（一）利用線段圖幫助學(xué)生理清各部分?jǐn)?shù)量關(guān)系

小學(xué)生以形象思維為主，一些具體的數(shù)據(jù)和事物對(duì)他們比較敏感，做起來得心應(yīng)手。而復(fù)合應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系往往比較抽象，對(duì)小學(xué)生來說理解起來略有困難，阻礙著他們順利解題。線段圖能有效地幫助他們厘清題目中各數(shù)量之間的關(guān)系，達(dá)到解決問題的目的。

例４． 為了幫助政府控制疫情，減輕人民群眾的痛苦，為民口罩廠人停機(jī)不停，２４小時(shí)不停生產(chǎn)。上半年完成了全年計(jì)劃的 ，下半年完成了全年計(jì)劃的 ，結(jié)果全年超額生產(chǎn)了１２０箱口罩。為民口罩廠全年計(jì)劃生產(chǎn)多少箱口罩。

分析：解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，找出數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)分率很重要，用數(shù)據(jù)除以對(duì)應(yīng)的分率得到總數(shù)，可以進(jìn)一步解決題目中的其他問題。本題中已知的兩個(gè)分率與已知的數(shù)據(jù)都不對(duì)應(yīng)。畫出線段圖，如圖１。借助線段圖找出１２０這個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的分率。

由線段圖可以發(fā)現(xiàn)全年完成的比“單位１”多了 ＋ －１＝ 。這正是１２０箱所對(duì)應(yīng)的分率。所以全年計(jì)劃生產(chǎn)１２０÷ ＝２８８（箱）。為民口罩廠全年計(jì)劃生產(chǎn)２８８箱口罩。

（二）借助線段圖能形象直觀地描述數(shù)量關(guān)系

線段圖可以直觀地表示出物體運(yùn)行的軌跡，借助線段圖可以解決一些比較復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)行的問題。

例５． 甲、乙兩車同時(shí)從Ａ、Ｂ兩地相向而行，在距Ｂ地６４千米處相遇，兩車各自到達(dá)對(duì)方車站后，立即返回原地，途中又在距Ａ地４８千米處相遇。求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離。

分析：這是一道比較抽象的應(yīng)用題，很多學(xué)生拿到題目無從下手，從已知條件到問題的解答幾乎找不到關(guān)聯(lián)之處。倘若畫出線段圖演示出過程（如圖2）就能豁然開朗。

從線段圖可以看出，甲乙兩車第一次相遇時(shí)，兩車所行路程之和恰為Ａ、Ｂ兩地之間的距離，兩車相遇點(diǎn)距離Ｂ地６４千米，就是乙車行了６４千米；當(dāng)兩車第二次相遇時(shí)，兩車所行路程之和恰為Ａ、Ｂ兩地之間的距離的３倍。由此可以算出當(dāng)?shù)诙蝺绍囅嘤鰰r(shí)，乙車總共行駛了６４×３＝１９２（千米）。而兩車第二次相遇點(diǎn)距離Ａ地４８千米，可以知道Ａ、Ｂ兩地之間的距離為１９２－４８＝１４４（千米）。最終得出兩次相遇地點(diǎn)之間的距離為１４４－４８－６４＝３２（千米）。

三、轉(zhuǎn)化法

把不容易解決的問題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的問題，或者從另一個(gè)角度審視原來的問題，找到解決問題的突破口，這種解決問題的方法稱為轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化法是解決復(fù)合應(yīng)用題常用的方法之一。

例６． 小明和小紅分別從Ａ、Ｂ兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，小明行了全程的 與小紅相遇，小明每小時(shí)行９千米，小紅行完全程需要２．４小時(shí)。求Ａ、Ｂ兩地間的距離。

分析：小明和小紅同時(shí)出發(fā)相向而行，當(dāng)小明行了全程的 與小紅相遇時(shí)，小紅行了全程的 。可見小明行的路程與小紅行的路程之比為３∶５，在時(shí)間相同的情況下，說明小明的速度與小紅的速度之比亦為３∶５，而小明的速度是９千米／小時(shí)，所以小紅的速度是１５千米／小時(shí)。２．４×１５＝３６（千米），Ａ、Ｂ兩地間的距離是３６千米。

本題把小明和小紅兩人所行路程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成兩人的速度之間的關(guān)系，根據(jù)已知的小明的速度，求出小紅的速度，最后求出Ａ、Ｂ兩地的距離。也可以把小紅行完全程需要２．４小時(shí)，把同一時(shí)間兩人所行路程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為行完全程兩人所需時(shí)間的關(guān)系為５∶３．注意在路程不變的情況下，速度與時(shí)間成反比。小紅行完全程需要２．４小時(shí)，那么小明行完全程就需要４小時(shí)。９×４＝３６，得到兩地之間的距離為３６千米。

四、逆推法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，加法和減法、乘法和除法、乘方和開方之間都存在著逆運(yùn)算，利用它們之間的關(guān)系，在解決復(fù)合應(yīng)用題時(shí)，從最后的情況開始往前一步一步地逆推，得到初期的相關(guān)數(shù)據(jù)，這種方法稱為逆推法。常說的反過來想一想，其實(shí)就是運(yùn)用的逆推法。

例７． 疫情防控期間，李叔叔用拖拉機(jī)把Ａ地的蔬菜義務(wù)運(yùn)到Ｂ地。拖拉機(jī)裝滿油從Ａ地出發(fā)，到Ｂ地時(shí)油箱中的油用去了 ，加了１０升油返回。在從Ｂ地返回Ａ地的途中用去了Ｂ地加油后油箱中油的 。李叔叔再次加９升油從Ａ地啟程，此時(shí)油箱中有１３升油。該拖拉機(jī)油箱裝滿時(shí)有多少升油？

分析：從結(jié)果往前推，如果第三次不加油，油箱中應(yīng)存油１３－９＝４升，這４升是用去 后剩下的，那么在Ｂ地加油后，油箱中有油４÷１－ ＝１６（升）。在Ｂ地加油前，油箱中存油１６－１０＝６（升），這６升油是Ａ地加滿油箱用去 后剩下的。６÷１－ ＝１８（升）。拖拉機(jī)一開始裝滿油是１８升，也就是該拖拉機(jī)油箱裝滿時(shí)有１８升油。

五、假設(shè)法

根據(jù)題目的條件或結(jié)論，用假設(shè)的方法算出某種結(jié)果，將這個(gè)結(jié)果與實(shí)際情況做比較，找出其中的偏差，再分析出現(xiàn)偏差的原因，實(shí)施糾偏，達(dá)到解決問題的目的，這種方法稱為假設(shè)法。

例８． 甲、乙兩堆煤共重２４０噸，從甲堆煤調(diào)出 ，乙堆煤調(diào)出 ，共調(diào)出１２０噸。兩堆煤原來各有多少噸？

分析：假設(shè)從乙堆煤也調(diào)出的是 ，那么兩堆煤應(yīng)調(diào)出２４０× ＝９６（噸），與實(shí)際１２０噸相差２４噸，究其原因是實(shí)際從乙堆煤調(diào)出的是 。２４÷ － ＝１４０（噸），２４０－１４０＝１００。原來甲堆煤有１００噸，乙堆煤有１４０噸。

六、比較法

通過對(duì)應(yīng)用題條件之間的比較，或難與易題目的比較，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，分析測試聯(lián)系與區(qū)別的原因，從而確定解題思路的一種方法就是比較法。

例９． 用兩種卡車裝貨，８輛大卡車和５輛小卡車一次能裝貨１７０噸，７輛大卡車和６輛小卡車一次能裝貨１６５噸。每輛大卡車和小卡車一次能裝多少噸貨物？

分析：比較兩次裝貨的情況，第一次８輛大卡車和５輛小卡車，共裝貨１７０噸；第二次７輛大卡車和６輛小卡車，共裝貨１６５噸。第二次比第一次少裝１７０－１６５＝５（噸），究其原因是第一次與第二次相比，大卡車多８－７＝１（輛），小卡車少６－５＝１（輛）。

車輛總數(shù)不變，將其中一輛大卡車換成了一輛小卡車，結(jié)果就少裝了５噸貨，可見每輛大卡車比每輛小卡車多裝５噸貨?；氐降谝淮巍埃篙v大卡車和５輛小卡車一次能裝貨１７０噸”中，如果８輛大卡車換成８輛小卡車，則將會(huì)少裝８×５＝４０（噸），１７０－４０＝１３０（噸），１３０÷（８＋５）＝１０（噸），每輛小卡車一次能裝１０噸貨物，每輛大卡車一次能裝１５噸貨物。

七、設(shè)數(shù)法

小學(xué)數(shù)學(xué)中，有的應(yīng)用題看似缺乏一些關(guān)鍵數(shù)據(jù)，致使學(xué)生難以解答。其實(shí)類數(shù)的大小對(duì)解決問題的結(jié)果沒有影響，這時(shí)不妨對(duì)關(guān)鍵的數(shù)設(shè)一個(gè)具體的值。解答好了以后，鼓勵(lì)學(xué)生換一個(gè)數(shù)再試試，是否與剛才的結(jié)論一致，如果確實(shí)一致，說明解答正確。

例１０． 早晨，小剛從家到學(xué)校，平均速度是２６０米／分；晚上，小剛從學(xué)?；丶遥骄俣仁牵玻矗懊祝郑@天小剛往返一趟的平均速度是多少？

分析：本題中，既沒有小剛其中某次行駛的時(shí)間，也沒有小剛家與學(xué)校之間的距離，可謂是缺少關(guān)鍵數(shù)據(jù)。然而這些所謂的關(guān)鍵數(shù)據(jù)對(duì)解題的結(jié)果沒有絲毫影響。不妨設(shè)小剛上學(xué)時(shí)的時(shí)間是５分鐘，那么小剛放學(xué)回家的時(shí)間就是２６０×５÷２４０＝ 。小剛往返的平均速度是（２６０×５）÷５＋ ＝ 。

各種解題策略其實(shí)是針對(duì)不同類型的問題，解決問題之前，先審題，然后選擇確定用哪種策略，有些問題可以運(yùn)用不同的解題策略。指導(dǎo)學(xué)生學(xué)法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生盡可能多地用起來。

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（責(zé)任編輯：羅 ?欣）