加強(qiáng)變式探究，提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性

摘 要：新課改背景下，提高課堂教學(xué)有效性成為一項(xiàng)重要任務(wù)，其既要求提高“教”的有效性，也要求提高“學(xué)”的有效性。變式探究教學(xué)方法在數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)用廣泛，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的高階思維，提升課堂整體效率，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂中“教”與“學(xué)”的優(yōu)化開展。本文圍繞提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性這一目標(biāo)，分析了加強(qiáng)變式探究的具體實(shí)施路徑，以期培養(yǎng)學(xué)生的變通思維，使學(xué)生感知數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提高數(shù)學(xué)課堂有效性。

關(guān)鍵詞：初中；數(shù)學(xué)課堂；變式探究；有效性

作者簡介：郭曉梅（1980—），女，甘肅省金昌市龍門學(xué)校。

數(shù)學(xué)在學(xué)科領(lǐng)域與社會(huì)生活中扮演著極其重要的角色。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特性來看，它研究的是人類社會(huì)各種數(shù)量關(guān)系，對(duì)學(xué)習(xí)者的思維廣度與深度有一定的要求，倘若學(xué)習(xí)者不具備變通思維，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)便是“一汪死水”，無法做到融會(huì)貫通。在課程改革浪潮下，變式教學(xué)法在數(shù)學(xué)課堂上得到了廣泛應(yīng)用，其以“變式”引導(dǎo)學(xué)生變換學(xué)習(xí)視角，深入探究問題本質(zhì)，學(xué)會(huì)舉一反三，形成變通思維，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生了有利的影響。因此，初中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)加強(qiáng)變式探究教學(xué)，拓寬學(xué)習(xí)廣度，延展思維深度，積極構(gòu)建高質(zhì)量課堂。

一、變式探究在初中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用價(jià)值

（一）調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

變式探究可分為兩個(gè)層面去理解，一是“變”，二是“探”。所謂“變”是指改變題目關(guān)鍵條件或改變常規(guī)解題方法，“探”則是指基于變式觀察、分析、思考一題多變或一題多解的方法。這種教學(xué)方法改變了常規(guī)的死記硬背學(xué)習(xí)模式，強(qiáng)調(diào)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，在變式訓(xùn)練中讓學(xué)生對(duì)題目從表象認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樯钊氚盐?，透徹理解所學(xué)內(nèi)容，生成新的解題思路，直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙，感受數(shù)學(xué)的趣味，激活學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）發(fā)展學(xué)生的高階思維

變式探究強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，要求學(xué)生從不同視角去探究，以不同思維方式去辨析數(shù)學(xué)問題，或?qū)⒁咽炀氄莆盏慕忸}思路遷移運(yùn)用到不同題型之中，這個(gè)過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的變通思維，激發(fā)其思維活力［1］。在數(shù)學(xué)課堂上加強(qiáng)變式探究學(xué)習(xí)，圍繞核心概念、數(shù)學(xué)問題、解題方法進(jìn)行不同形式的變換，組織學(xué)生探究學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生從不同思維視角得到不同的認(rèn)識(shí)和理解，逐步理清數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，收獲不同的解題方法，有效建構(gòu)知識(shí)體系，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)思維進(jìn)階發(fā)展。

（三）提升課堂整體效率

在數(shù)學(xué)課堂上加強(qiáng)變式探究學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生從淺表性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)榭v深性學(xué)習(xí)，通過探究不同題型發(fā)現(xiàn)題目設(shè)計(jì)的本質(zhì)，理解相關(guān)概念、公式及定理，總結(jié)數(shù)學(xué)理論的變化規(guī)律，再通過變式訓(xùn)練舉一反三，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)觸類旁通，順利達(dá)成高效學(xué)習(xí)的目的［2］。另外，在對(duì)課堂進(jìn)行縱深延展時(shí)，要體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的主體地位，體現(xiàn)教師的科學(xué)引導(dǎo)作用，讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生在數(shù)學(xué)課堂之中，提升課堂整體效率。

二、初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)施變式探究的路徑

初中數(shù)學(xué)課程在小學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展提升，內(nèi)容設(shè)計(jì)有梯度，結(jié)構(gòu)安排有層次，數(shù)學(xué)理論知識(shí)、例題與習(xí)題的設(shè)置均經(jīng)過反復(fù)考量，整體上契合初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展要求。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要圍繞教材內(nèi)容展開，筆者從新知講授、習(xí)題訓(xùn)練、知識(shí)鞏固三個(gè)方面探索了變式探究的實(shí)施路徑，具體闡述如下。

（一）新知講授，利用變式探究夯實(shí)基礎(chǔ)

新知講授是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心任務(wù)。雖然初中數(shù)學(xué)教材安排的內(nèi)容難度適中，但對(duì)于從未接觸過相關(guān)知識(shí)的初中生而言，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新的知識(shí)時(shí)很難在短時(shí)間內(nèi)快速消化，且在課堂練習(xí)與課后作業(yè)中的出錯(cuò)率較高。針對(duì)這一問題，數(shù)學(xué)課程改革也在持續(xù)優(yōu)化，人教版教材在相關(guān)概念、法則和公式后設(shè)置了例題，這些例題有助于學(xué)生理解核心概念、定理和公式，在整體教學(xué)中發(fā)揮了重要作用。因此，教師在講授新知時(shí)，針對(duì)核心概念、定理和公式的講授應(yīng)發(fā)揮例題的教學(xué)功能，將例題作為變式探究的載體，設(shè)計(jì)層次分明、難度適中的變式訓(xùn)練，組織學(xué)生圍繞變式前后進(jìn)行對(duì)比分析，使其理清相似概念或類似題型的異同，進(jìn)而準(zhǔn)確把握核心理論知識(shí)，加深對(duì)新知的理解，在變式探究中夯實(shí)基礎(chǔ)［3］。

例如，在人教版八年級(jí)上冊(cè)“乘法公式”的教學(xué)中，本課重點(diǎn)在于講授平方差公式和完全平方公式，這兩個(gè)公式都是多項(xiàng)式乘法的特殊情形，可用于簡化運(yùn)算。在數(shù)學(xué)課堂上，為了幫助學(xué)生掌握平方差公式，理清平方差公式的運(yùn)用條件，教師可結(jié)合具體例題組織變式探究。

【例題】計(jì)算（3x+2）（3x-2）。

【變式1】計(jì)算（3x+2）（2-3x）。

【變式2】計(jì)算（3x+2）（-3x-2）。

【變式3】計(jì)算（-3x+2）（3x-2）。

通過對(duì)例題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，形成了三個(gè)相似題目，教師圍繞這四個(gè)題目組織學(xué)生探究辨析，即依據(jù)平方差公式明確其運(yùn)用條件，綜合對(duì)比例題與變式后的題目，排除干擾條件后根據(jù)題目條件判斷是否可以利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。

顯然，原例題（3x+2）（3x-2）結(jié)構(gòu)符合（a+b）（a-b）=a2-b2公式條件，因此，可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4。變式1和變式3均不符合平方差公式條件，只能根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算。雖然變式2也不符合平方差公式條件，但稍做變形就可以運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡化運(yùn)算，即（3x+2）（-3x-2）=-（3x+2）（3x+2）=-（3x+2）2。

在此基礎(chǔ)上，教師可進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生深入探究，發(fā)散思維，舉一反三，根據(jù)例題設(shè)計(jì)更多變式，得出（-3x-2）（3x-2）、（-3x-2）（-3x+2）等變式。師生圍繞這些變式繼續(xù)探究分析，結(jié)合教材內(nèi)容歸納總結(jié)：只有符合平方差公式條件的乘法，才能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡化計(jì)算，其他仍按照多項(xiàng)式x乘法法則進(jìn)行計(jì)算。

此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)以變式探究輔助對(duì)平方差公式的理解和運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生在變式探究中熟悉平方差公式及其運(yùn)用條件，領(lǐng)悟平方差公式是特殊多項(xiàng)式乘法的本質(zhì)，學(xué)會(huì)判斷題目條件，必要時(shí)適當(dāng)變形，在探究學(xué)習(xí)與拓展運(yùn)用中掌握平方差公式，學(xué)會(huì)簡化計(jì)算，順利完成新知學(xué)習(xí)。

（二）一題多變，利用變式探究積累經(jīng)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)課堂上，新知鞏固離不開習(xí)題訓(xùn)練，習(xí)題訓(xùn)練過程是對(duì)所學(xué)概念、公式、定理遷移運(yùn)用的過程，抓好習(xí)題訓(xùn)練相當(dāng)于拿到了拓展學(xué)生思維的鑰匙。在習(xí)題訓(xùn)練中幫助學(xué)生深化理解所學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)建構(gòu)知識(shí)體系，根據(jù)訓(xùn)練結(jié)果及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，明確掌握不到位的地方，不但能幫助學(xué)生及時(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生“學(xué)”的有效性，而且能優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高教師“教”的有效性。基于變式探究的習(xí)題訓(xùn)練可以理解為一種創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)，教師要加強(qiáng)變式探究引導(dǎo)，讓學(xué)生調(diào)取知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，拓寬解題思路，圍繞所學(xué)知識(shí)多角度練習(xí)，通過一題多變靈活掌握相關(guān)概念、公式和定理，并適當(dāng)向外延伸，充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性與實(shí)用性，在高效的習(xí)題訓(xùn)練中生成新的解題思路，積累不同的解題方法。當(dāng)然，數(shù)學(xué)課堂上的習(xí)題訓(xùn)練并不是多而廣的“題海式”訓(xùn)練，而須有目的、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練題目，遵循少而精的原則，切實(shí)提高習(xí)題訓(xùn)練的質(zhì)量，同步提升教與學(xué)的有效性［4］。

例如，在人教版八年級(jí)下冊(cè)“一次函數(shù)”的教學(xué)中，經(jīng)過課堂理論知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)生在習(xí)題訓(xùn)練中可以準(zhǔn)確解答見過的題型，但只要題型稍做變化，其解題思路便會(huì)受到干擾，無法準(zhǔn)確、快速地解決問題。為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，靈活掌握一次函數(shù)的概念，教師可以在課堂上運(yùn)用變式探究法展開教學(xué)，圍繞習(xí)題組織變式訓(xùn)練。

【原題】已知一個(gè)一次函數(shù)，當(dāng)自變量x=2時(shí)，函數(shù)值y=-1；當(dāng)x=5時(shí)，y=8。求這個(gè)函數(shù)的解析式。

【變式1】已知一個(gè)一次函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)（2，-1）和（5，8），求這個(gè)函數(shù)的解析式。

【變式2】已知一個(gè)一次函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），且截距是8，求這個(gè)函數(shù)的解析式。

【變式3】已知一個(gè)一次函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），且平行于直線y=3x+2，求這個(gè)函數(shù)的解析式。

【變式4】已知一個(gè)一次函數(shù)，平行于直線y=3x+2，且截距是8，求這個(gè)函數(shù)的解析式。

上述變式訓(xùn)練屬于“一題多變”，且“萬變不離其宗”，主要考查學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識(shí)。教師在課堂上組織學(xué)生探究原題和變式習(xí)題的異同點(diǎn)，對(duì)不同題目中的關(guān)鍵信息進(jìn)行提取轉(zhuǎn)化，將自變量與因變量、點(diǎn)（x，y）、截距等信息聯(lián)系起來，最終發(fā)現(xiàn)所有題目只是已知條件在變化，解題思路十分相似。解答此類題目可先設(shè)函數(shù)解析式為：y=kx+b，再根據(jù)變式后的已知條件依次確定解析式中未知的系數(shù)，進(jìn)而得出函數(shù)解析式。在此習(xí)題的變式訓(xùn)練中，教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞一個(gè)知識(shí)點(diǎn)接觸不同題型，通過解題總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，逐步形成解答此類題目的思路，掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的方法，既拓展了學(xué)生的思維寬度，又促進(jìn)了學(xué)生對(duì)本課核心知識(shí)點(diǎn)的透徹理解。

（三）一題多解，利用變式探究拓展思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同一類型的數(shù)學(xué)問題往往可以從不同角度進(jìn)行思考，通過探究分析形成不同的解題方法，再對(duì)不同解題方法進(jìn)行對(duì)比，確定最優(yōu)解法。一題多解的根本在于改變解題思維，以解決問題為目的，對(duì)數(shù)學(xué)問題的已知條件和本質(zhì)做出不同的理解，改變解題思維以探索新的解題方法，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，在深度探究中形成多個(gè)解題方法。為了提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性，在加強(qiáng)變式探究的要求下，教師應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的變通思維，引導(dǎo)他們?cè)诮忸}時(shí)學(xué)會(huì)運(yùn)用不同思路分析問題，運(yùn)用不同方法解決問題，經(jīng)歷對(duì)比、分析、歸納等過程，形成更完善的思維網(wǎng)絡(luò)，能夠從多個(gè)解題方法中找出最簡便、最適宜的那一個(gè)，并對(duì)解題方法進(jìn)行優(yōu)化。如此不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的思維活力，還可以促使學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)概念、定理、公式等理論知識(shí)，充分拓展解題思維［5］。

例如，在復(fù)習(xí)人教版九年級(jí)下冊(cè)“相似三角形”時(shí)，教師引入變式探究方法，組織學(xué)生強(qiáng)化練習(xí)，拓展解題思維。

第一步，利用“如何證明三角形相似”導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形相似的證明方法：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等；（2）三邊對(duì)應(yīng)成比例；（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等。

第二步，出示例題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。

【例題】如圖1，O為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，在OB上任取一點(diǎn)E，作EF∥AB交OA于點(diǎn)F，作DE∥BC交OC于點(diǎn)D，連接DF。求證：△DEF∽△CBA。

【思路1】利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等證明△DEF∽△CBA。由DE∥BC，EF∥AB可知∠DEO=∠CBO，∠FEO=∠ABO，所以∠FED=∠ABC。且EF∶AB=OE∶OB=DE∶CB。因此，△DEF∽△CBA。

【思路2】利用兩角對(duì)應(yīng)相等證明兩個(gè)三角形相似。由DE∥BC，EF∥AB可知OF∶OA= OE∶OB=OD∶OC，可知DF∥CA。由DE∥BC，EF∥AB可知∠FED=∠ABC，由DE∥BC，DF∥CA可知∠FDE=∠ACB。因此，△DEF∽△CBA。

【思路3】利用三邊對(duì)應(yīng)成比例證明兩個(gè)三角形相似。根據(jù)前面的解題思路得出EF∶AB=DE∶CB，同理有EF∶AB=DE∶CB=OD∶OC=DF∶AC。因此，△DEF∽△CBA。

學(xué)生圍繞題目提出了三種不同的解題思路，分別運(yùn)用兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等、兩角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例證明兩個(gè)三角形相似，思路不同但結(jié)果一致，均合理地證明了兩個(gè)三角形相似。對(duì)此，教師應(yīng)肯定學(xué)生的解題思維，鼓勵(lì)他們積極思考一題多解的方法，并組織變式拓展練習(xí)。

【變式1】如果把原題中“O為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)”改為“O為三角形ABC外一點(diǎn)”，在其他條件不變的情況下，求證：△DEF∽△CBA。

針對(duì)此題，依然利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等、兩角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例分別證明，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡單思考，自行說明解題思路，寫出解題過程。

【變式2】如果把原題中“O為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)”改為“O在AB邊上”，在其他條件不變的情況下，求證：△DEF∽△CBA。

針對(duì)此題，大多數(shù)學(xué)生運(yùn)用了兩角對(duì)應(yīng)相等、兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等這兩種方法進(jìn)行解答，極少數(shù)學(xué)生運(yùn)用三邊對(duì)應(yīng)成比例進(jìn)行解答，說明學(xué)生在解決問題時(shí)習(xí)慣性運(yùn)用簡單方法去解答，師生共同圍繞三邊對(duì)應(yīng)成比例的思路完成變式2的證明。

完成上述變式探究后，師生共同總結(jié)規(guī)律：很多數(shù)學(xué)問題可利用不同解題思路去解答，很多類似數(shù)學(xué)問題也可利用同一解題思路去解答。因此，我們?cè)诮獯鹨恍┫嗨祁}目時(shí)，可以把相關(guān)題目綜合在一起，對(duì)比分析其中的異同，運(yùn)用不同解題思維去解答一個(gè)題目，運(yùn)用同一解題思維去解答不同題目，如此才能真正做到舉一反三，促進(jìn)知識(shí)運(yùn)用，提高解題質(zhì)量和效率。變式探究學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生解題思維的靈活性和思考問題的深刻性，使其感受到數(shù)學(xué)的奧妙，形成進(jìn)一步探索的意識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，在一題多解中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固目標(biāo)。

結(jié)語

綜上所述，提高課堂有效性是數(shù)學(xué)教學(xué)始終不變的追求，變式探究教學(xué)方法在其廣泛運(yùn)用中表現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)變式探究教學(xué)，有目的、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，在新知講授、習(xí)題訓(xùn)練、知識(shí)鞏固等教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的變通思維，鍛煉其知識(shí)遷移運(yùn)用和解決問題的能力，幫助他們夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，拓展數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)成效，切實(shí)提高數(shù)學(xué)課堂有效性。

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