以實證分析促進(jìn)概念的深度理解
——“有余數(shù)的除法”的教學(xué)重構(gòu)

□ 張優(yōu)幼

教師教學(xué)行為的改進(jìn)，要從經(jīng)驗觀察走向事實分析，從感性思考走向理性研判。通過實證分析，獲得最佳研究證據(jù)，能幫助教師理解學(xué)生的認(rèn)知差異，對學(xué)材組織、學(xué)習(xí)方式和評價反饋等作出合理的調(diào)整。如何通過實證數(shù)據(jù)，凸顯事實分析，關(guān)注過程反饋，以達(dá)成概念的深度理解呢？筆者以“有余數(shù)的除法”教學(xué)為例，進(jìn)行了如下探索與思考。

一、緣起學(xué)生“猶豫不決”的答題

在“有余數(shù)的除法”教學(xué)后，學(xué)生在看圖寫算式時出現(xiàn)了圖1的結(jié)果。如圖所示，學(xué)生寫好算式后又進(jìn)行了修改，先寫的是正確的算式“10÷4=2……2”，后改成錯誤的算式“10÷2=4……2”。這一修改過程能展現(xiàn)出學(xué)生答題時的猶豫不決。

圖1

這種“猶豫不決”是緣于學(xué)生對“有余數(shù)的除法”含義的不理解嗎？還是緣于對“等分除”和“包含除”的混淆？或是對“余數(shù)要比除數(shù)小”這個規(guī)律的感知不夠深入，從而不能進(jìn)行遷移應(yīng)用？為解決這一問題，教師需要分析學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。

二、基于學(xué)生經(jīng)驗的實證分析

實證分析不是簡單地為解決一節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，而是指向?qū)W生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動態(tài)發(fā)展過程。因此，教師要把一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容放在一個教學(xué)單元甚至一個學(xué)段的知識結(jié)構(gòu)中進(jìn)行實證，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而從內(nèi)容割裂走向教學(xué)整合。

（一）明確實證內(nèi)容的關(guān)鍵

各版本教材通常在二年級下冊安排有余數(shù)的除法的教學(xué)。人教版教材把它安排在了平均分、除法含義和用乘法口訣求商的教學(xué)內(nèi)容之后（如圖2）。

圖2

人教版教材在編排“有余數(shù)的除法”的含義時，是從“剛好分完”的除法算式遷移到“均分后有剩余”的除法算式的。有余數(shù)的除法算式通常由教師借助情境和圖式直接告知學(xué)生（如圖3）?？蛇@樣的告知符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律嗎？這就需要教師進(jìn)一步思考以下三個問題。

圖3

1.平均分的意義需要擴(kuò)展嗎

學(xué)生會認(rèn)可“均分后有剩余”也是平均分嗎？從整體上看，建構(gòu)除法概念需要經(jīng)歷兩個不同階段，即“表內(nèi)除法”和“有余數(shù)的除法”，分別對應(yīng)“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況。除法的本質(zhì)是平均分。為了建立“平均分”和“除法”之間的聯(lián)系，第一階段的學(xué)習(xí)重點聚焦于“剛好分完”的情況，從而建立“平均分”與“剛好均分”的強(qiáng)關(guān)聯(lián)。那么，“平均分”與“均分后有剩余”的關(guān)聯(lián)是怎樣的呢？對于例題中首次出現(xiàn)的“擺3個，還剩1根”的結(jié)果，學(xué)生是否會認(rèn)可這也是平均分，可以用除法表示呢？

2.會用除法算式嗎

如果學(xué)生認(rèn)可“均分后有剩余”也是平均分，那么他們會用除法算式表示嗎？如果不會，那會用什么算式表示？

3.對除法算式的理解會受影響嗎

平均分有兩種不同的情況，一種是等分，一種是包含。與之相關(guān)的，基于不同的均分過程，除法算式含義可分為“等分除”和“包含除”。那么，在有余數(shù)的除法算式中，學(xué)生能對其進(jìn)行辨認(rèn)嗎？

針對這三個問題，筆者用測試和訪談的方式，對城區(qū)某校二年級272 名學(xué)生進(jìn)行了課前和課后的實證。

（二）分析實證數(shù)據(jù)的表現(xiàn)

1.“均分后有剩余”與“平均分”的弱關(guān)聯(lián)

用圖4對學(xué)生進(jìn)行課前測試，結(jié)果顯示，測試中沒有學(xué)生把題③看作平均分；題②增加了3個圈作為固定份數(shù)，只有約5.15%的學(xué)生認(rèn)為是平均分。在訪談中，有學(xué)生認(rèn)為：“第②幅圖表示的是有3份，每份同樣多，所以也是平均分，剩下的那顆糖就不管了。”

圖4

思考：如果學(xué)生不認(rèn)為均分后有剩余是平均分，那么就很難理解用除法算式來表示均分后有剩余。因此，教師要先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識平均分，再幫助他們進(jìn)一步理解“有余數(shù)的除法”的含義。那為什么有些學(xué)生認(rèn)為題②也是平均分呢？因為固定了份數(shù)，就能直觀地看到每份同樣多。

啟示：在教學(xué)中，對于靜態(tài)的圖，首先要理清份數(shù)，在份數(shù)的基礎(chǔ)上識別每份都同樣多的結(jié)果。在動態(tài)操作的過程中，則要先確定每份數(shù)，再與份數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)。教學(xué)中，教師要結(jié)合動作、圖式、語言和算式等進(jìn)行多元表征。

2.“均分后有剩余”與除法算式的陌生感

教學(xué)前，對于“均分后有剩余”的情況，學(xué)生能用有余數(shù)的除法算式來表示嗎？有多少學(xué)生已經(jīng)能遷移應(yīng)用？如果不用除法算式，學(xué)生又會用怎樣的算式表示“均分后有剩余”呢？針對這個問題，筆者采用單個情境操作后列算式（如圖5）和同個情境不同均分結(jié)果操作后列算式（如圖6）兩種方式對學(xué)生進(jìn)行課前測試。

圖5

圖6

在單個情境操作后列算式的測試中，用連加、乘加算式表示的學(xué)生約占12.87%，用連減、乘減算式表示的學(xué)生約占69.12%，用除法算式表示的學(xué)生約占18.01%。從數(shù)據(jù)中可以看出，相對于除法算式，學(xué)生更喜歡用乘加、乘減的方式表示均分后有剩余的結(jié)果，如3×2+1=7、7-2×3=1等。

在同個情境不同均分結(jié)果操作后列算式的測試中，學(xué)生用除法算式表示的約占39.71%。從數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)，以對比的方式呈現(xiàn)“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況，用除法算式表示的學(xué)生人數(shù)顯著增加，從18.01%左右上升到了39.71%左右。有意思的是，部分學(xué)生雖然不能正確地書寫有余數(shù)的除法算式，但已經(jīng)有了用除法算式表示的意識（如圖6右圖）。然而即便有強(qiáng)暗示的情境對比，大部分學(xué)生仍對除法算式感到陌生。

啟示：用“剛好分完”和“均分后有剩余”的對比情境導(dǎo)入，讓學(xué)生感受到為合理清晰地表達(dá)均分結(jié)果，用除法算式進(jìn)行表征很有必要；但不能否認(rèn)學(xué)生的原有認(rèn)知經(jīng)驗，要讓學(xué)生在多個不同算式的表征中進(jìn)行比較辨析，進(jìn)一步理解有余數(shù)的除法算式表示的含義。

3.“包含除”與“等分除”對理解除法算式的難易不同

把一些物品按指定的份數(shù)進(jìn)行平均分，可以一個一個地分，也可以幾個幾個地分，直到分完為止，即等分除；把一些物品按每份個數(shù)一份一份地分，即包含除。這兩種分法，在理解除法算式的難易度上是否有偏差？針對這個問題，筆者對學(xué)生進(jìn)行了課后測試。

（1）對比一：把分的結(jié)果畫一畫，再填一填，并用算式進(jìn)行表示。

①9 支鉛筆，每人分2 支，可以分給（ ）人，還剩（ ）支；

②9支鉛筆平均分給4人，每人分（ ）支，還剩（ ）支。

第一種分法是按每份的個數(shù)進(jìn)行均分，學(xué)生能在給定9支鉛筆的圖上，按每份2個圈一圈，并且列出正確算式；第二種分法給定4 個框，讓學(xué)生按份數(shù)一一等分，在這個過程中，幾乎學(xué)生沒有添畫上4個框外那1根剩余的小棒。

（2）對比二：“10÷4=2……2”表示什么？請用畫圖的方式表示你的想法。

根據(jù)有余數(shù)的除法算式畫圖時，學(xué)生習(xí)慣用“包含除”來理解“均分后有剩余”的結(jié)果，而用“等分除”來解釋除法算式含義的學(xué)生非常少。這說明學(xué)生能理解有余數(shù)的除法算式的含義，他們的認(rèn)知表象建立在“包含除”的均分之上。

就有余數(shù)的除法概念的認(rèn)識而言，“等分除”的均分方法確實不像“包含除”那樣，能清晰地看到圈后余下的結(jié)果。因為“等分除”的操作過程是一一均分，無論是操作還是想象都比較麻煩，且容易受表內(nèi)乘法口訣的影響，從結(jié)果出發(fā)而忽略一一均分的過程。然而，從對后續(xù)學(xué)習(xí)的價值來說，等分后有余的均分過程和方法是不可忽視的，如解決抽屜問題時，就是先用一一等分的方法建構(gòu)抽屜，再將余數(shù)裝入其中一個抽屜來建立模型的。

啟示：要建立完整的有余數(shù)的除法的含義，必須感知兩種不同分法的均分過程。雖然從“包含除”導(dǎo)入更容易理解，但如果僅關(guān)注“包含除”而忽略“等分除”，則會在后續(xù)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生認(rèn)識上的偏差。為此，需要借助觀察演示、動手操作、感知對比等方式，感知“等分除”后有剩余的均分過程。

三、探尋基于實證的教學(xué)重構(gòu)

基于實證分析，筆者對“有余數(shù)的除法”進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，在問題的引領(lǐng)下，尋找證據(jù)，分析證據(jù)，應(yīng)用證據(jù)，從而改進(jìn)教學(xué)（如圖7）。

圖7

重構(gòu)后的教學(xué)，關(guān)注“均分后有剩余”與“平均分”的強(qiáng)關(guān)聯(lián)；從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，比較不同算式的表示方式與有余數(shù)的除法算式之間的聯(lián)系，將除法的意義從“剛好分完”向“均分后有剩余”擴(kuò)展；在操作中抽象比較“包含除”與“等分除”，凸顯對“等分除”過程中有余數(shù)的除法的含義的理解。

（一）在聯(lián)系比較中明晰概念內(nèi)涵

對數(shù)學(xué)概念的理解離不開分析、比較、辨析、歸納等思維活動，學(xué)生的思維活動有助于概念的原型建構(gòu)和變式比較。教師的教學(xué)需要在多元表征的基礎(chǔ)上，建立“余數(shù)”與平均分及除法算式之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生理解“有余數(shù)的除法”與除數(shù)的關(guān)系。

1.有余數(shù)的除法算式順向遷移，在多維生成中比較聯(lián)系

借助任務(wù)一的題組（如圖8），讓學(xué)生在相同的情境中，實現(xiàn)從“剛好分完”到“均分后有剩余”的比較遷移，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。理解概念時，引導(dǎo)學(xué)生從原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，多向生成，優(yōu)化有余數(shù)的除法算式的表征，初步建立余數(shù)概念。教學(xué)反饋時，通過兩次對比幫助學(xué)生完成概念的建構(gòu)。

圖8

（1）第一次對比，比較有余現(xiàn)象的原始表征和有余數(shù)的除法算式。教師呈現(xiàn)學(xué)生列出的算式：①3+3+3+1=10；②3×3+1=10；③10-3-3-3=1；④10-3×3=1；⑤10-1=9，9÷3=3；⑥10÷3=3……1。讓學(xué)生對應(yīng)圖說說這些算式分別表示什么意思，并借助這些不同的算式，理解10÷3=3……1表示的含義。學(xué)生在比較中明確了乘加、乘減等算式與有余數(shù)的除法算式的關(guān)聯(lián)，而優(yōu)化有余數(shù)的除法能清楚地表示圈后有余的結(jié)果。

（2）第二次對比，比較圖8 中兩道題的算式：10÷5=2 和10÷3=3……1。這兩道題為什么都可以用除法表示分后的結(jié)果？它們有什么相同點和不同點？讓學(xué)生理解有余數(shù)的除法也需要平均分，也可以用除法算式表示，并結(jié)合動作、語言和圖式等進(jìn)一步理解除法算式。

學(xué)生通過兩個不同層次的比較，建立“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況之間的聯(lián)系，初步認(rèn)識了有余數(shù)的除法含義。

2.規(guī)律歸納開放生成，在多向聯(lián)系中感悟內(nèi)化

對于二年級學(xué)生來說，形式化的告知只能使他們機(jī)械識記規(guī)律。因此，教師教學(xué)時要明確余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生借助任務(wù)驅(qū)動，助推規(guī)律的生成，并在多向聯(lián)系中比較、歸納、感知規(guī)律（如圖9）。

圖9

（1）橫向?qū)Ρ?，感知除?shù)是4 時余數(shù)的特點。①用10根小棒擺正方形，鞏固有余數(shù)的除法算式的含義、讀寫法等。②自己設(shè)定小棒的數(shù)量，畫一畫，用除法算式表示結(jié)果，從而得到除數(shù)都是4，被除數(shù)各不相同的有余數(shù)的除法算式。通過不完全歸納比較，理解所有除數(shù)是4的除法算式中，不管被除數(shù)是幾，余數(shù)都只有1、2或3（余數(shù)是0通常不寫）。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“有沒有畫出余數(shù)是4或比4大的？”“余數(shù)除了1、2和3，還有其他的可能嗎？”“如果小棒根數(shù)再多一些，余數(shù)會發(fā)生變化嗎？”讓學(xué)生通過操作演示，理解“余數(shù)要比除數(shù)小”這一規(guī)律。

（2）縱向?qū)Ρ?，不僅從擺正方形（除數(shù)4）的算式中概括余數(shù)比除數(shù)小的規(guī)律，還可以通過擺五邊形和三角形（除數(shù)是5 或3），進(jìn)一步感悟余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。讓學(xué)生通過對□÷4=□……□、□÷5=□……□、□÷3=□……□三組算式中余數(shù)與除數(shù)關(guān)系的思辨，概括規(guī)律。

“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律，不是僅通過按序觀察一組算式得到的。要讓學(xué)生利用開放式的生成資源，自己設(shè)定小棒數(shù)量進(jìn)行感悟，從具體到抽象，跳出被除數(shù)按序排列的框架，跳出單一除數(shù)的限制，用歸納的方式橫向?qū)Ρ认嗤龜?shù)的算式，并用不同除數(shù)進(jìn)行縱向?qū)Ρ龋诼?lián)系和遷移中深度理解概念和規(guī)律。

（二）在任務(wù)驅(qū)動中改進(jìn)學(xué)習(xí)方式

基于實證的數(shù)學(xué)課堂，既要對教師的教學(xué)方式進(jìn)行改進(jìn)，又要對學(xué)生的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行優(yōu)化。用問題情境和任務(wù)驅(qū)動的方式依序推進(jìn)教學(xué)，能激發(fā)不同層次學(xué)生的探究欲望，使他們在比較和歸納中形成概念。課堂重構(gòu)后，學(xué)生在三次對比任務(wù)的驅(qū)動下完善對概念的理解。任務(wù)驅(qū)動的學(xué)習(xí)材料典型而簡約，有結(jié)構(gòu)且具有可操作性。

任務(wù)三是在操作中理解“包含除”與“等分除”，重點是有余數(shù)的除法中的“等分”過程。

（1）第一次對比平均分19根小棒，比較每5根均分與平均分成5份（如圖10）。19根小棒平均分成5份，剩余的4根無法繼續(xù)一一等分，這就是余數(shù)。讓學(xué)生從中感受“包含除”和“等分除”均分過程的不同，理解一一等分是余數(shù)與除數(shù)（份數(shù)）建立聯(lián)系。

圖10

（2）第二次對比平均分19根小棒，比較平均分成5 份與平均分成3 份（如圖11）。讓學(xué)生通過操作進(jìn)一步感受“等分除”有剩余的過程，理解余數(shù)與除數(shù)（份數(shù)）的關(guān)系?！盀槭裁雌骄殖?份時，余數(shù)可以是4，而平均分成3份時，剩余的4根還要繼續(xù)均分呢？”學(xué)生在追問中理解了有余數(shù)的除數(shù)的本質(zhì)，明確了除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系。

圖11

兩次對比注重過程和關(guān)聯(lián)，學(xué)生經(jīng)歷動作、語言、圖式的不同表征過程，完善了對概念的認(rèn)知。

實證教學(xué)，關(guān)注的是學(xué)生的“學(xué)”，指向的是學(xué)生的動態(tài)發(fā)展過程。它關(guān)注學(xué)生的知識經(jīng)驗，從現(xiàn)狀出發(fā)剖析成因，從一節(jié)課的教學(xué)追溯到一個體系的教學(xué)。教師要根據(jù)有效數(shù)據(jù)的反饋和分析，實施精準(zhǔn)教學(xué)，重構(gòu)課堂，從而促使學(xué)生實現(xiàn)對概念的深度理解。