基于學(xué)習(xí)路徑分析的“有余數(shù)的除法”單元整體教學(xué)*
——如何以豎式記錄明晰除法意義

□ 邵蓓瑜 章勤瓊 麻永侃

除法的本質(zhì)是不斷地對(duì)不同單位的總數(shù)進(jìn)行平均分的過(guò)程，分了之后對(duì)剩余的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與下面的單位進(jìn)行合并，然后再重復(fù)這樣的過(guò)程。［1］因此，除法豎式需要記錄每次平均分過(guò)程的“分什么？要分多少份（每份分多少）？每份分多少（能分多少份）？分了多少？還余多少？”五個(gè)步驟。如果有不同單位的多次均分，還需要處理“余下的怎么辦”的問(wèn)題，并繼續(xù)記錄這一過(guò)程。這樣的除法豎式不僅是在記錄計(jì)算的過(guò)程，還與整個(gè)算理理解和思考過(guò)程對(duì)應(yīng)。［2］在“有余數(shù)的除法”單元教學(xué)中，教師容易忽視豎式記錄的關(guān)聯(lián)性，即沒(méi)有做好情境意義、計(jì)算過(guò)程與豎式記錄的關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致學(xué)生停留在淺層次的程序化記憶中，失去了理解除法豎式的合理性與深化理解除法意義的機(jī)會(huì)。在教學(xué)時(shí)，該如何幫助學(xué)生進(jìn)行有意義的豎式記錄，進(jìn)而理解除法豎式的合理性，明晰除法意義呢？本文通過(guò)基于學(xué)習(xí)路徑的“有余數(shù)的除法”單元整體設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

一、理解學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元目標(biāo)概述

1.人教版教材單元目標(biāo)

（1）通過(guò)操作、觀察、對(duì)比等活動(dòng)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)日常生活中在分物時(shí)存在著分不完有剩余的情況，借此理解余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義，初步培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的意識(shí)。（2）通過(guò)操作、計(jì)算、比較等活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷除法豎式（含表內(nèi)除法的豎式）的書(shū)寫過(guò)程，理解豎式中每個(gè)數(shù)所表示的意思，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力以及恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。（3）使學(xué)生初步掌握試商的基本方法，并能較熟練地進(jìn)行有余數(shù)的除法的口算和筆算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。（4）使學(xué)生初步學(xué)會(huì)用有余數(shù)的除法解決生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，初步感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，繼續(xù)掌握解決問(wèn)題的基本思路和基本方法。［3］

2.北師大版教材單元目標(biāo)

（1）能在教師的指導(dǎo)下，從日常生活中提出簡(jiǎn)單的除法問(wèn)題；在解決實(shí)際問(wèn)題和對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義進(jìn)行解釋的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)除法的意義，感受除法與生活的密切聯(lián)系。（2）能讀懂情境圖中蘊(yùn)含的信息，初步學(xué)習(xí)畫圖、列表等多樣化的解決問(wèn)題的策略，知道同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的解決方法，并運(yùn)用有余數(shù)的除法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。（3）認(rèn)識(shí)余數(shù)并經(jīng)歷探索余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的過(guò)程；掌握商是一位數(shù)的除法豎式的書(shū)寫格式，了解除法豎式各部分的意思；經(jīng)歷有余數(shù)除法的試商過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)余數(shù)一定要比除數(shù)小。（4）樂(lè)于參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步形成對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和探索欲望。［4］

兩個(gè)版本教材的單元目標(biāo)都包含三個(gè)板塊的內(nèi)容和要求：（1）理解有余數(shù)的除法的含義及余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系；（2）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式；（3）運(yùn)用有余數(shù)的除法解決問(wèn)題。

（二）確定核心目標(biāo)

根據(jù)單元目標(biāo)可知，理解有余數(shù)的除法的含義是學(xué)習(xí)除法豎式的基礎(chǔ)，同時(shí)，除法豎式的學(xué)習(xí)又能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解有余數(shù)的除法的含義，促進(jìn)學(xué)生用有余數(shù)的除法解決問(wèn)題。因此，本單元的核心目標(biāo)是：（1）理解有余數(shù)的除法的含義及余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系；（2）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式。

（三）核心目標(biāo)具體化

確定上述核心目標(biāo)后，還需根據(jù)運(yùn)算意義以及豎式記錄過(guò)程，分析核心目標(biāo)的內(nèi)涵，形成具體的表現(xiàn)性目標(biāo)。

1.理解有余數(shù)的除法的含義

能理解平均分后有剩余的情境；能用自己的方式表征平均分的過(guò)程并能結(jié)合情境作解釋；能在理解、比較不同方法的基礎(chǔ)上，用有余數(shù)的除法算式表征情境，并理解除法算式各部分的含義；理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

2.理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式

能結(jié)合情境意義和平均分的過(guò)程，用除法豎式進(jìn)行記錄；能結(jié)合情境，借用除法橫式對(duì)除法豎式進(jìn)行解釋、篩選；能理解除法豎式的合理性，理解除法豎式各部分的含義。

根據(jù)核心目標(biāo)可知，明晰有余數(shù)的除法的含義能幫助學(xué)生理解除法豎式記錄的必要性，而除法豎式記錄過(guò)程又能促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解。教學(xué)時(shí)應(yīng)建立情境意義、計(jì)算過(guò)程、豎式記錄三者之間的聯(lián)系，使除法豎式的學(xué)習(xí)成為理解算理、掌握算法的過(guò)程，凸顯豎式的作用與價(jià)值。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

根據(jù)具體化目標(biāo)，學(xué)生對(duì)平均分的過(guò)程和除法含義的理解是本單元的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。因此，筆者設(shè)計(jì)了兩道表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的題目，對(duì)二年級(jí)41 名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)SOLO分類理論對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行水平分層的分析。

測(cè)試題1：將50 顆糖果平均分給4 個(gè)人，你是怎么分的？請(qǐng)你用圖或文字等形式把分的過(guò)程清楚地記錄下來(lái)。

本題考查學(xué)生對(duì)“有剩余的平均分過(guò)程”的理解情況。根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，其理解水平可以劃分為4個(gè)水平層次，測(cè)查結(jié)果如表1所示。

測(cè)試題2：算式“12÷4=3”中的12表示12個(gè)蘋果，這個(gè)算式可以用來(lái)解決什么問(wèn)題？請(qǐng)寫出你覺(jué)得可能解決的問(wèn)題。

本題是為了考查學(xué)生對(duì)除法的兩種含義（等分和包含）的理解情況。學(xué)生的表現(xiàn)可分為4個(gè)水平層次，測(cè)查結(jié)果如表2所示。

表2 “除法含義”理解水平

由這兩道測(cè)試題可以看出，約20%的學(xué)生（表1中水平0和水平1）對(duì)有余數(shù)的除法均分過(guò)程的理解存在困難，因此，在教學(xué)中需要適當(dāng)進(jìn)行提示，以明晰學(xué)生的思維過(guò)程；約56%的學(xué)生（表2中水平0和水平1）對(duì)除法兩種含義的理解不足，因此在教學(xué)時(shí)要建立情境意義和運(yùn)算過(guò)程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)除法含義的理解。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)除法豎式時(shí)，不僅需要知道豎式怎么列，還要在理解算理的情況下，將情境意義、計(jì)算過(guò)程以及豎式記錄進(jìn)行關(guān)聯(lián)，理解豎式為什么這么列。通過(guò)有余數(shù)的除法來(lái)學(xué)習(xí)除法豎式，能讓學(xué)生更好地理解除法豎式的合理性。由此，筆者確定了本單元的學(xué)習(xí)路徑，并在學(xué)生運(yùn)用有余數(shù)的除法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題前，根據(jù)核心目標(biāo)的具體表現(xiàn)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)。

（一）理解有余數(shù)的除法的含義

任務(wù)一，理解“有剩余的平均分過(guò)程”的情境。例如，通過(guò)操作活動(dòng)“用12根小棒擺三角形，結(jié)果怎樣？用13根小棒擺三角形，結(jié)果怎樣？”直觀理解算理。任務(wù)二，能用自己的方式表征平均分的過(guò)程并能結(jié)合情境作解釋。例如，對(duì)于用13 根小棒擺三角形，學(xué)生可能會(huì)列出不同的算式：13-3-3-3-3=1（個(gè)）、3×4+1=13（個(gè)）、13÷3=4（個(gè)）……1（根）。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境意義和平均分的過(guò)程解釋不同算式的含義。任務(wù)三，根據(jù)操作過(guò)程來(lái)比較不同的表征方式，明確有余數(shù)的除法算式可用于表示“分什么？要分多少份（每份分多少）？每份分多少（能分多少份）？分了多少？還余多少？”五個(gè)步驟，理解有余數(shù)的除法的內(nèi)涵，聯(lián)系平均分的過(guò)程理解橫式中各部分的含義。任務(wù)四，理解除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系。首先，讓學(xué)生理解情境的意義，用13根小棒搭正方形，并用除法算式表示。其次，讓學(xué)生用除法算式直接表示用14 根、15 根、16 根小棒搭正方形的情況，并通過(guò)比較學(xué)生的易混點(diǎn)，如16÷4=3（個(gè)）……4（根）和16÷4=4（個(gè)），引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境意義和分的過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)說(shuō)理，體會(huì)除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系。再次，讓學(xué)生用除法算式表示17 根、18 根、19根、20根小棒搭正方形的情況，檢查學(xué)生的掌握情況。最后，組織學(xué)生觀察、比較、分析“用13～16根”和“用17～20 根”小棒搭正方形的兩組除法算式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，感受除法算式中被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的變化規(guī)律。

以上四個(gè)任務(wù)分為兩個(gè)課時(shí)，其中任務(wù)一、任務(wù)二、任務(wù)三為一課時(shí)，主要結(jié)合操作過(guò)程幫助學(xué)生直觀理解算理，再用不同的算式引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法，理解有余數(shù)的除法的含義。任務(wù)四為一課時(shí)，主要結(jié)合情境，讓學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)和除法算式之間的規(guī)律，理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

（二）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式

任務(wù)一，有13根小棒，每4根分1組，操作后列出算式，并用豎式進(jìn)行記錄。任務(wù)二，結(jié)合情境和操作過(guò)程，對(duì)列出的豎式的合理性進(jìn)行解釋。任務(wù)三，關(guān)聯(lián)情境意義、計(jì)算過(guò)程與豎式記錄，理解豎式記錄的合理性，理解豎式各部分的含義。

四、核心課時(shí)任務(wù)設(shè)計(jì)

計(jì)算教學(xué)要強(qiáng)調(diào)算理和算法之間的關(guān)聯(lián)。以“除法豎式”為例，要理解除法豎式記錄的合理性，就要在理解算理的基礎(chǔ)之上，有效關(guān)聯(lián)情境意義、計(jì)算過(guò)程和豎式記錄。具體教學(xué)任務(wù)如下。

首先，教師出示任務(wù)：“有13 根小棒，每4 根分1組，結(jié)果怎樣？”讓學(xué)生畫一畫，并寫出除法算式。在這個(gè)任務(wù)中，教師需要借助情境，幫助學(xué)生直觀地理解平均分的過(guò)程，并將分的過(guò)程與除法橫式建立聯(lián)系，為學(xué)生能夠根據(jù)情境和除法橫式寫出不同的除法豎式做鋪墊。

其次，結(jié)合情境意義，讓學(xué)生嘗試用豎式記錄平均分的過(guò)程，并鼓勵(lì)學(xué)生寫出不同形式的除法豎式。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平均分的過(guò)程及除法橫式的含義，對(duì)寫出的除法豎式進(jìn)行篩選和排除。例如，學(xué)生可能會(huì)寫出如圖1 的三種豎式。教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面平均分的過(guò)程，全面觀察除法豎式的記錄過(guò)程，從而發(fā)現(xiàn)方法（1）只記錄了“分了3組”，而缺少了“還余1根”，導(dǎo)致記錄的過(guò)程不完整。再分析方法（2）和方法（3），尋找豎式記錄的五個(gè)步驟：“分 13 根，每份 4 根，分 3 份，分了 12 根，還余 1根?！北嫖龇椒ǎ?）中是否記錄下了“分了12 根”的內(nèi)容，從而理解“分了12 根”是思維過(guò)程中必不可少的部分。之后，對(duì)比方法（2）和方法（3），理解把“分了12 根”記錄下來(lái)，才能與之前分的過(guò)程真正對(duì)應(yīng)起來(lái)。學(xué)生經(jīng)歷這樣的對(duì)比和分析過(guò)程，才能理解除法豎式記錄的合理性，從而更好地理解除法的運(yùn)算過(guò)程。

圖1 “13÷4”的不同豎式記錄

最后，關(guān)聯(lián)情境意義、計(jì)算過(guò)程和豎式記錄，讓學(xué)生理解除法豎式各部分的含義。通過(guò)“有余數(shù)的除法”的教學(xué)，在學(xué)生充分理解了除法豎式的合理性之后，再讓他們嘗試解決沒(méi)有余數(shù)的除法的問(wèn)題，并用豎式記錄計(jì)算過(guò)程，能幫助學(xué)生直觀地理解算理，將計(jì)算過(guò)程和豎式記錄進(jìn)行對(duì)應(yīng)，理解除法豎式各部分的實(shí)際意義。