一道函數(shù)不等式引發(fā)的指對(duì)數(shù)跨階變形的思考

江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 (215104) 潘小峰 唐 鵬

本文系基金項(xiàng)目:江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2021年度“基于現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新研究”立項(xiàng)課題(編號(hào)2021-R-94387)階段性研究成果.

不等式恒成立問(wèn)題一直為高考熱點(diǎn),尤其是指數(shù)和對(duì)數(shù)相交叉的隱零點(diǎn)問(wèn)題,本文主要介紹通過(guò)指對(duì)數(shù)跨階變形可將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合,再運(yùn)用指對(duì)數(shù)的常見(jiàn)不等式情形有助于解決不可分參恒成立問(wèn)題.

原題已知函數(shù)f(x)=x+alnx(a∈R).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=1時(shí),證明:xf(x)+e-x-x≥0.

分析:第1問(wèn)略,第2問(wèn)是關(guān)于函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題,常規(guī)思路有兩種方法,一種是先進(jìn)行適合分離,將所求不等式適當(dāng)變形,再轉(zhuǎn)化為最值來(lái)處理,另一種是直接轉(zhuǎn)為求整個(gè)式子的最值來(lái)處理.

分析:觀察形式,不等式兩邊同乘x,可得(eax+1)ax≥(x2+1)lnx2,由ax=lneax得(eax+1)lneax≥(x2+1)lnx2,則令h(x)=(x+1)lnx,原式轉(zhuǎn)換為證明h(eax)≥h(x2)恒成立.

除了以上兩種常規(guī)方法,也可以通過(guò)指對(duì)數(shù)適當(dāng)?shù)目珉A變形,再通過(guò)整體換元,將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的易證函數(shù),具體思路如下:

圖1

圖2

如果將指數(shù)型ex≥x+1和對(duì)數(shù)型lnx≤x-1進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q,還可以得到一系列推論.如圖3所示.

圖3

例1(2022四川瀘州三模(理)),已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax.

(1)若f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;

(2)若f(x)≤a2ex-a-ax(a>0)恒成立,求a的取值范圍.

分析:第1問(wèn)略,第2問(wèn)通過(guò)觀察,結(jié)合推論,發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1時(shí),ln(x+1)-x≤0,ex-1-x≥0,而當(dāng)a>1且逐步變大時(shí),ln(x+1)-axa(ex-1-x)≥0,所以只需驗(yàn)證a≥1即可.

若討論點(diǎn)A為y=ex任意位置上的點(diǎn),如圖4,由圖象可以很直觀的看出y=ex上的任意一點(diǎn)A(x0,ex0)處的切線y=ex0(x-x0)+ex0始終在y=ex的下方,這是由于y=ex是下凸函數(shù),凹凸性可由二階導(dǎo)數(shù)來(lái)證明,我們可以得到不等式ex≥ex0(x-x0)+ex0②.

圖4

進(jìn)一步x與ex的乘積形式也可以進(jìn)行放縮,例如將xpeqx-m構(gòu)造成ef(x)形式xpeqx-m=elnxpeqx-m=elnxp+qx-m=eplnx+qx-m,結(jié)合②式可得xpeqx-m=e(plnx+qx-m)≥ex0(plnx+qx-m-x0)+ex0③.此不等式體現(xiàn)了指對(duì)數(shù)的一個(gè)不等關(guān)系,可以適用很多情況,當(dāng)x0=0或x0=1時(shí),即為上述討論的兩種特殊情形.

例2(2022聊城三模)已知函數(shù)f(x)=alnx-bx,g(x)=xex-(n+1)x-1(a,b,n∈R).

(1)當(dāng)b=1時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

分析:第(1)問(wèn)略.第(2)小問(wèn)通過(guò)切線方程可解得a=b=1,原題等價(jià)于證明xex≥lnx+nx+1對(duì)x>0恒成立,只需在③式中令p=q=1,m=0,x0=0即可得n=1,進(jìn)一步分析只需回代驗(yàn)證n≤1使得原式成立即可.

用切線去放縮證明不等式,主要是因?yàn)橹笇?duì)數(shù)的凹凸性不一致,如圖5所示,指數(shù)型圖象為下凸,對(duì)數(shù)型圖象為上凸,直線l可以?shī)A在兩圖象的中間,但是如果不等號(hào)兩邊圖象凹凸性一致,則不能用直線整體放縮,只能局部放縮,或者用其它方法來(lái)處理.

圖5

指對(duì)數(shù)跨階變形可以將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合,通過(guò)整體代換,可以簡(jiǎn)化證明不等式,熟練掌握幾個(gè)常見(jiàn)的指對(duì)數(shù)不等式有利于問(wèn)題的解決,在日常教學(xué)中應(yīng)注重滲透和引導(dǎo),讓學(xué)生對(duì)指對(duì)數(shù)跨階變形的概念形成過(guò)程,概念的特征,以及使用條件的合理性和必要性有深層的認(rèn)知,讓學(xué)生經(jīng)歷由熟知到真知的深度學(xué)習(xí)過(guò)程,這樣有利于學(xué)生對(duì)指對(duì)數(shù)跨階變形的掌握和靈活運(yùn)用.