圓錐曲線的又一奇妙性質(zhì)

湖南省瀏陽市長郡瀏陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (410329) 李剖華

受文[1]啟發(fā),筆者最近探得了圓錐曲線的過頂點(diǎn)且互相垂直的兩弦的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì),現(xiàn)以定理形式介紹如下:

圖1

(2)證明見文[2]．

圖2

(2)證明見文[2]．

證明過程可類比定理2給出,本文不再贅述．

定理4 如圖4,點(diǎn)M、N分別是拋物線y2=2px上不同于頂點(diǎn)O的兩點(diǎn),且滿足NO⊥MO,則(1)直線MO與過點(diǎn)N且與x軸平行的直線m的交點(diǎn)R在定直線l:x=-2p上;

圖4

(2)直線MN過定點(diǎn)Q(2p,0).

(2)證明見文[2]．

由于x軸正方向無窮遠(yuǎn)處可視為拋物線另一虛擬的頂點(diǎn),過點(diǎn)N平行于x軸的直線m可視為過點(diǎn)N和拋物線(虛擬)頂點(diǎn)的一條直線,因此,定理1～4是關(guān)于圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一的性質(zhì),可敘述為:

設(shè)A1、A2是圓錐曲線C在同一條對稱軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)(若曲線C為拋物線,則A2是其對稱軸上無窮遠(yuǎn)處(虛擬)的頂點(diǎn)),M、N是曲線C上異于A1、A2的兩點(diǎn),且MA1⊥NA1,則

(1)直線MA2與直線NA1的交點(diǎn)R在與A1A2垂直的一條定直線上;

(2)直線MN與直線A1A2的交點(diǎn)是定點(diǎn)．