作業(yè)欄目“數(shù)學(xué)思考”設(shè)計(jì)研究

福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) (350319) 周 寧

福建省福州教育研究院 (350003) 余小萍

2021年7月,《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》(以下簡稱“意見”)中指出:提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量,發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能,系統(tǒng)設(shè)計(jì)符合年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律、體現(xiàn)素質(zhì)教育導(dǎo)向的基礎(chǔ)性作業(yè),鼓勵(lì)布置分層、彈性和個(gè)性化作業(yè).[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)中指出,學(xué)業(yè)質(zhì)量考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線,聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧;命題時(shí),應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題,還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題,重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識,問題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)自然、合理.[2]為積極貫徹落實(shí)《意見》和《課標(biāo)》要求,數(shù)學(xué)科作業(yè)布置應(yīng)落實(shí)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的“四翼”考查要求.本文研究在校本作業(yè)中設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)思考”欄目,以期提升作業(yè)設(shè)計(jì)和實(shí)施質(zhì)量,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力,落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)目的

2019人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(以下簡稱教材)在課后習(xí)題中設(shè)計(jì)三個(gè)欄目“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合應(yīng)用”以及“拓廣探索”,其中“拓廣探索”中的習(xí)題具有較強(qiáng)的拓展性、探究性和綜合性,但類型和呈現(xiàn)方式較為單一.筆者思考能不能在讓作業(yè)內(nèi)容的形式更多樣,讓學(xué)生能不能多思考一點(diǎn),多一點(diǎn)文字表達(dá),而不僅僅是純粹的解題.因此在作業(yè)中設(shè)計(jì)欄目“數(shù)學(xué)思考”,通過該欄目習(xí)題的作答,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識,讓學(xué)生明白“思考什么”以及“如何思考”.

“數(shù)學(xué)思考”欄目應(yīng)達(dá)成以下目標(biāo):

1.能夠理解數(shù)學(xué)問題,能夠提出數(shù)學(xué)研究的新對象和新內(nèi)容,發(fā)展合情推理和演繹推理能力,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力;

2.能夠理解數(shù)學(xué)本質(zhì),能夠有邏輯地表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)與觀點(diǎn),提升語言表達(dá)能力和邏輯推理能力,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力;

3.學(xué)會(huì)獨(dú)立思考,體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

二、“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)原則

“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)需遵循以下三個(gè)原則:

1.思想性:思想性體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解,體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)思想方法的深刻認(rèn)識,思想性的考查應(yīng)聚焦問題解決的思維過程.題目的設(shè)計(jì)應(yīng)基于對知識本質(zhì)理解的轉(zhuǎn)化解決問題,培養(yǎng)抽象、推理、模型等思維特征,促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性、靈活性、敏捷性等品質(zhì)的發(fā)展,發(fā)展關(guān)鍵能力,提升核心素養(yǎng).

2.發(fā)展性:發(fā)展性體現(xiàn)在題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法具有普適性,培養(yǎng)學(xué)生通過遷移數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并解決新問題的能力,發(fā)展自我學(xué)習(xí)的能力.題目考查的知識方法應(yīng)立足于基礎(chǔ)知識、基本方法和基本思想,既符合現(xiàn)階段學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知水平,又能在問題解決的過程中突破現(xiàn)有數(shù)學(xué)思維水平的限制,發(fā)展高階思維.

3.創(chuàng)新性:創(chuàng)新性體現(xiàn)在題目的開放性,鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題,培育學(xué)生的創(chuàng)新精神.欄目設(shè)計(jì)拓廣探索性試題,給學(xué)生很大的思考空間和選擇權(quán)力,可以根據(jù)自己的特點(diǎn)選擇、設(shè)計(jì)問題,選擇解題方向和方法,培養(yǎng)獨(dú)立思考能力和批判性思維品質(zhì),對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)更有效.

三、“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)策略

1.設(shè)計(jì)整理類問題,讓數(shù)學(xué)思考更有系統(tǒng)性

整理類問題是指設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生對知識內(nèi)容、思想方法進(jìn)行反思,將知識方法條理化、邏輯化,提高抽象概括和解決問題的能力.通過對知識內(nèi)容的整理,促進(jìn)學(xué)生厘清知識聯(lián)系,把握知識脈絡(luò);通過對解題策略的梳理,促使學(xué)生提高從個(gè)例到類型的抽象,歸納問題解決的通性通法,體悟數(shù)學(xué)思想方法,提高數(shù)學(xué)研究的品質(zhì).

案例1 (1)思考教材(選擇性必修一)P108例3以及P126練習(xí)1.你能否在下面習(xí)題背景中用斜率將圓錐曲線統(tǒng)一起來?證明你的結(jié)論.

習(xí)題背景:設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,-a),(0,a),直線AM,BM相交于點(diǎn)M.

(2)你還可以用其他量將圓錐曲線統(tǒng)一起來嗎?證明你的結(jié)論.[3]

(2)可以用距離統(tǒng)一圓錐曲線.設(shè)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線l(F?l)的距離之比為e,則當(dāng)01時(shí),M的軌跡為雙曲線.證明略.

設(shè)計(jì)意圖:教材習(xí)題對圓錐曲線的第二、第三定義有呈現(xiàn),但較為分散.本案例讓學(xué)生對相關(guān)習(xí)題進(jìn)行梳理,通過統(tǒng)一定義整體認(rèn)識圓錐曲線的本質(zhì)特征,理解圓錐曲線存在的條件以及所包含的幾何性質(zhì).

2.設(shè)計(jì)改錯(cuò)類問題,讓數(shù)學(xué)思考更有嚴(yán)謹(jǐn)性

改錯(cuò)類問題是將一些經(jīng)典問題的錯(cuò)誤解答作為素材,讓學(xué)生進(jìn)行辨析,發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因并糾正.這類問題通常是由于學(xué)生對問題整體理解不正確或某個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)沒有認(rèn)識到位,導(dǎo)致易錯(cuò)、反復(fù)錯(cuò).當(dāng)學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)時(shí),會(huì)促使其反省,對錯(cuò)解進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)思考,在問題解決的過程中培養(yǎng)思維批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

案例2 有同學(xué)給出下列問題的解答過程.請判斷解答是否正確.如果不正確,請?jiān)阱e(cuò)誤的地方畫橫線,給出正確的解答并簡要說明錯(cuò)誤的原因以及對問題的認(rèn)識.

問題已知2≤x+y≤3,-2≤x-y≤-1,求3x+y的最值,并說明此時(shí)x,y的取值.

對錯(cuò)解的認(rèn)識:由已知不等式可知x與y是相關(guān)的,不是孤立的,因此不能分別求出x,y的范圍再對問題求解,需利用整體的思想將已知條件x+y,x-y視為兩個(gè)變量,將2x+y用這兩個(gè)變量表示,就可以避免上述的錯(cuò)誤.

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在應(yīng)用不等式性質(zhì)求解一些代數(shù)表達(dá)式范圍時(shí),經(jīng)常會(huì)忽視應(yīng)用性質(zhì)的前提是變量之間不相關(guān),所以會(huì)出現(xiàn)經(jīng)典的錯(cuò)誤:分別求各變量范圍再應(yīng)用不等式性質(zhì)求范圍.該錯(cuò)解會(huì)擴(kuò)大所求范圍,由于該內(nèi)容是必修一第二章的內(nèi)容,而且沒有線性規(guī)劃相關(guān)知識的支撐,所以設(shè)計(jì)問題“求3x+y的最值,并說明此時(shí)x,y的取值”,意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)x和y是互相制約的兩個(gè)變量,x取最小(大)值時(shí),y未必能同時(shí)取到最小(大)值,從而喚醒學(xué)生整體的意識解決問題.

3.設(shè)計(jì)疑難類問題,讓數(shù)學(xué)思考更有深刻性

疑難類問題是指在一些在教學(xué)過程不好處理的問題,或是因?yàn)閮?nèi)容較為復(fù)雜,或是內(nèi)容涉及超出高中教材.這些問題雖不宜作為課堂教學(xué)的內(nèi)容,但若設(shè)計(jì)作為課后思考,給予充足的背景資料,讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行深入思考,有助于深化教學(xué)內(nèi)容,提高對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認(rèn)識.

案例3 一般來說,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等,而不能比較大小,只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的情況下才有大小關(guān)系.為什么一般情況下復(fù)數(shù)不能比較大小?

數(shù)學(xué)研究的基本結(jié)構(gòu)有代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).數(shù)的大小關(guān)系是一種序,但是數(shù)系中序關(guān)系要成為大小關(guān)系,要求滿足下列條件:

①對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a,b,a

②對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a,b,如果a

③對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a,b,如果a

④對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a,b,c>0,如果a

(1)有同學(xué)給出復(fù)數(shù)比大小的一種定義:

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,如果a>c,則a+bi>c+di;如果a=c,則若b>d,則a+bi>c+di.請問這種定義合理嗎?為什么?

(2)有同學(xué)說在復(fù)數(shù)系上無法定義滿足上述四種條件的復(fù)數(shù)比大小規(guī)則,請問這種說法正確嗎?為什么?

參考解答:(1)這種定義不合理.這種定義滿足①②③,但是不滿足④.因?yàn)閕=0+1×i,0=0+0×i,所以由該定義可得i>0,但由④可得,i×i>i×0,即-1>0,矛盾.

(2)由①可知,i與0的關(guān)系只能是i>0與i<0之一.

如果i>0,根據(jù)④可得i×i>i×0,即-1>0;根據(jù)③可得-1+1>1+0,即0>1,由④可得0×(-1)>1×(-1),即0>-1,矛盾;如果i<0,根據(jù)③可得0+(-i)>i+(-i),即-i>0;根據(jù)④可得0×(-i)>i×(-i),即0>1;因?yàn)?i>0,根據(jù)④可得,0×(-i)>1×(-i),即0>-i,矛盾.

所以無法定義滿足上述4個(gè)條件的復(fù)數(shù)比大小規(guī)則.

設(shè)計(jì)意圖:在復(fù)數(shù)教學(xué)中,教師沒法對復(fù)數(shù)的大小關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)說明,只能匆匆?guī)н^“復(fù)數(shù)只能相等或不相等,而不能比較大小,只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的情況下才有大小關(guān)系”.這是由于涉及對數(shù)集結(jié)構(gòu)的高等認(rèn)識,無法在課堂教學(xué)展開.數(shù)學(xué)是講“理”的學(xué)科,任何規(guī)定都有其必然性和合理性,因此通過本問題讓學(xué)生深刻明白復(fù)數(shù)不能比大小的原因,并初步了解“序關(guān)系”“大小關(guān)系”等高等數(shù)學(xué)知識,激起對數(shù)學(xué)的興趣和求知欲.

4.設(shè)計(jì)拓廣類問題,讓數(shù)學(xué)思考更有主動(dòng)性

拓廣類問題是指通過典型例題的解決,能夠進(jìn)行類比聯(lián)想,將問題推廣得到一般性結(jié)論.通過這類問題的解決,讓學(xué)生感悟知識間的聯(lián)系性和思想方法的普適性,深層次啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力,被動(dòng)做題轉(zhuǎn)化為主動(dòng)思考,在知識方法的思辨、歸納、拓展、延伸的過程中,拓寬思維寬度,拓展思維的廣度,挖掘思維深度,提升思維高度.[3]

案例4 (1)求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中x4的系數(shù);

參考解答:(1)x4的系數(shù)為(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.

設(shè)計(jì)意圖:計(jì)數(shù)原理是最基本也是最重要的計(jì)數(shù)方法,雖近乎常識但應(yīng)讓學(xué)生意識到原理的重要性,要能夠用原理本身來分析問題和解決問題.二項(xiàng)式展開式的推導(dǎo)就是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典例.通過問題(1)讓學(xué)生回顧計(jì)數(shù)原理和組合知識推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的基本思想,厘清展開式x4得到的過程,加深對原理的理解,為問題(2)的解決做好鋪墊.要解決問題(2),除了要理解計(jì)數(shù)原理還需要遷移對二項(xiàng)式定理展開式項(xiàng)的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識,也可以通過一般到特殊的推理來發(fā)現(xiàn).問題(2)還考查學(xué)生的符號一般化能力,培養(yǎng)抽象概括能力.

5.設(shè)計(jì)探究類問題,讓數(shù)學(xué)思考更有創(chuàng)造性

探究性問題是指在問題中提供一定的數(shù)學(xué)事實(shí),要求學(xué)生能夠通過觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí),提出有意義的數(shù)學(xué)問題、規(guī)律或結(jié)論,并給出解釋或證明.它的主要特點(diǎn)是開放性,條件和結(jié)論有可能都是需要自己去發(fā)現(xiàn)的,有時(shí)還不是唯一的,因此學(xué)生可以廣泛參與問題的探究.探究性問題的求解更加富于思維創(chuàng)造性,有助于真正調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的主動(dòng)性與積極性,激發(fā)良好的自主求知欲和學(xué)習(xí)創(chuàng)新性.

案例5 (2022屆福州5月質(zhì)檢第17題)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①a2=2a1;②數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列;③數(shù)列{Sn+a1}是等比數(shù)列.

參考解答:①②?③,①③?②,②③?①均成立.下面以①②?③為例.

設(shè)計(jì)意圖:本案例的條件和結(jié)論都是模糊的,需要學(xué)生判斷給出條件的復(fù)雜程度.一般思維的方向是由簡單到復(fù)雜.比較①②③可知,①給出的信息是最清晰,②考查等差數(shù)列的定義及對數(shù)運(yùn)算,③考查等比數(shù)列的定義及Sn與an的關(guān)系或Sn的公式等,因此合理的選擇①②?③.在分析比較的過程中,學(xué)生需要作出合適的評估和選擇,對學(xué)生的意志力和隨機(jī)應(yīng)變能力提出了較高的要求,體現(xiàn)理性思維、數(shù)學(xué)探索的考查目標(biāo),全方位考查學(xué)生的信息加工重構(gòu)能力、問題表征能力以及解題策略監(jiān)控與調(diào)整能力,凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向.[5]

四、結(jié)語

總之,“數(shù)學(xué)思考”欄目應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過習(xí)題的解答進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,思考知識的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律,概括和強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本思想,在“感知→熟悉→內(nèi)化”的過程中進(jìn)行深度思考,讓理性思維走向理性精神,提升思維品質(zhì).