從數(shù)學(xué)的角度引領(lǐng)學(xué)生認識平行四邊形
——關(guān)于《平行四邊形的認識》整體教學(xué)的思考與實踐

文|方巧娟 樓蔚波

小學(xué)生判斷兩直線互相平行常常基于直覺，但對于四年級學(xué)生而言，其實有能力借助直角進行平行線的判定。那么，如何通過單元整合，整體視角建構(gòu)，將判斷兩直線平行的判定方法分散教學(xué)落實，在不加重教師負擔的前提下，讓學(xué)生掌握判定兩直線平行的定義推理方法，從而通過猜想驗證認識平行四邊形呢？筆者進行了如下探索。

一、問題思考：該怎樣判定“兩組對邊平行”

（一）疑起：基于教材解讀的困惑

四年級的學(xué)生是如何認識平行四邊形的？筆者翻閱教材，發(fā)現(xiàn)教材通過列舉生活中的實例引出平行四邊形，然后通過提問“平行四邊形的邊有什么特點”呈現(xiàn)平行四邊形的概念。

三年級時，我們通過猜想驗證，從直觀辨認到定量刻畫理性地去認識長（正）方形，那么四年級《平行四邊形的認識》怎樣從直觀辨識走向定量刻畫呢？學(xué)生是如何說明兩組對邊平行的呢？筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對于兩組對邊平行仍停留于直觀辨識的層面，為什么不會定量刻畫呢？筆者又細細翻閱了前面的教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)教材的編排中根本沒有安排像模像樣的驗證兩條直線互相平行的環(huán)節(jié)，對于概念的提及也僅憑肉眼與想象判定：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線，也可以說這兩條直線互相平行。但對于互相垂直的概念就有抓手可依，通過判定兩條直線相交是否成90 度的直角即可。這說明教材給了學(xué)生定量刻畫互相垂直的抓手，卻沒有教給學(xué)生定量刻畫兩直線互相平行的能力。除了直觀辨識，需不需要定義推理來驗證兩直線互相平行呢？

（二）尋據(jù)：尋找定義判定的依據(jù)

1．《數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》表述的意圖

首先，《數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》第一學(xué)段中對于《認識長（正）方形》的要求是這樣的：通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征。而在第二學(xué)段關(guān)于認識平行四邊形的描述是這樣的：通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形。由此可見，學(xué)生對平行四邊形的認識不應(yīng)該只停留在直觀辨識的層面，而應(yīng)該從直觀辨識走向定量刻畫，讓學(xué)生通過定義推理去認識平行四邊形。

2．張奠宙先生觀點描述

張奠宙教授的《“平行與垂直”的教學(xué)內(nèi)涵與設(shè)想——基于教材編寫的幾點討論》中指出：小學(xué)階段，由于不談平行公理，沒有同位角概念，在尚未學(xué)習(xí)角度測量的情況下，平行線教學(xué)的目標只能是基于平行線的直覺，能借助直角進行平行線的判定。

綜上所述，判定兩直線互相平行有兩個層面，一個是直觀辨識，另一個是定義推理。其中“兩平行線之間的距離處處相等”和“垂直于同一直線的兩直線互相平行”是學(xué)生與生俱來的直覺，學(xué)生能夠觀測得到，也同樣能夠理解和掌握，所以筆者認為四年級學(xué)生學(xué)習(xí)《認識平行四邊形》一課，除了直觀辨認之外，學(xué)生是有學(xué)習(xí)相關(guān)定義推理能力的，并能驗證平行四邊形兩組對邊分別平行。

（三）意義：培養(yǎng)邏輯推理的載體

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是嚴謹?shù)?，需要學(xué)生具備嚴密的邏輯推理能力。而學(xué)生認識圖形也應(yīng)符合學(xué)習(xí)進階，一二年級的時候，學(xué)生對圖形的認識僅停留在直觀辨識的層面，但到了三四年級，學(xué)生對于圖形認識就應(yīng)提升到推理定義的層面。通過學(xué)習(xí)掌握判定兩直線互相平行的定義方法，進而通過合理的邏輯推理判定兩直線互相平行，這樣的過程不僅讓學(xué)生知道認識圖形該具備的基本探索驗證的方法，而且也能培養(yǎng)學(xué)生嚴密的邏輯思維，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要載體，對今后的學(xué)習(xí)具有深遠的意義。

二、建構(gòu)邏輯：如何基于教材展開定義判定方法的鋪墊

在認識平行的時候，教材對“判定兩直線互相平行”是呈現(xiàn)了一定的判定方法的，但是教材弱化了定義推理的落地生根，只有一些操作性的練習(xí)，所以教師往往容易忽略而導(dǎo)致判定方法的教學(xué)不扎實，甚至不揭示，使得判定方法一直處于欲言還休的狀態(tài)。

那么，教學(xué)中我們怎么做整體的邏輯建構(gòu)呢？首先思考教材中有哪些地方可以教學(xué)判定方法？如何教學(xué)？筆者經(jīng)過對比分析，將幾種適合四年級學(xué)生掌握的判定方法與教材整合，將具體教學(xué)分散在本單元各課學(xué)習(xí)中，整理如下：

（一）延長想象時，補充格子圖判定方法

張奠宙教授指出：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行，只能作為直覺判定。所以，概念學(xué)習(xí)時，我們應(yīng)該讓學(xué)生明白，可以使用延長后不相交這一直覺來判斷兩直線是否平行，并且落實到操作中，將兩條看上去不相交的直線延長，延長后再判斷其位置關(guān)系。

但是，這樣的判斷方法有一定的局限性，這時需要我們引入格子圖，引導(dǎo)學(xué)生一次次驗證方向一致的直覺，同時體會和增強平行線間距離相等的直覺。

延長兩直線再進行判斷的方法，一方面降低目測難度，增加目測正確率，從而有效避免兩線段長度不相等造成的視覺上的判斷錯誤；另一方面促進平行線概念學(xué)習(xí)。

1.第57 頁練習(xí)教學(xué)環(huán)節(jié)：

學(xué)生通過直觀辨識得到第二組互相平行，第三組互相垂直。

教師追問：那你能確定嗎？用什么方法確定的呢？

學(xué)生對于垂直可以驗證是否90 度，但對于兩直線互相平行一般只能通過延長想象的方法。

教師出示透明格子圖加以驗證。

小結(jié)：延長兩條直線，若不相交，則兩直線平行。延長時，用透明格子圖驗證兩直線間距離是否相等，若相等，則兩直線互相平行。

2.畫出互相平行的直線

學(xué)生借助格子圖或者點子圖找出平行線或者畫出平行線，必然能從直觀辨識轉(zhuǎn)向定量刻畫去認識兩直線互相平行，這種方式和直角三角尺比對直角的方式是一致的，但是由于兩直線之間的距離是個變量，所以格子圖驗證有時候有一定的局限性。

（二）畫長方形時，補充定義垂直于同一直線的兩直線互相平行

教材中，在畫長方形這一課并沒有涉及平行線的知識，但其實，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。很多時候，垂直和平行共同存在于同一平面內(nèi)，我們可以在引導(dǎo)學(xué)生畫長方形時，通過畫同一條直線的垂線的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解這種判斷兩直線平行的方法——垂直于同一直線的兩直線互相平行。垂直于同一直線的兩直線由于方向相同，所以互相平行，這也是學(xué)生直覺發(fā)展的一個方面。

1.畫一畫，說一說

先畫一條長10 厘米，再通過垂直畫出兩條寬8厘米，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條線一樣長，且互相平行。

教師小結(jié)：垂直于同一條直線的兩直線互相平行。

最后連接另一條長，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩直線之間的距離相等，則兩直線互相平行。

教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：至少要發(fā)現(xiàn)幾條距離相等呢？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)至少畫出兩條垂直線段，如果一樣長就兩直線互相平行。

2.配套練習(xí)：

首先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩根小棒是什么關(guān)系？（互相平行）

其次引導(dǎo)學(xué)生思考，如果要知道兩直線是不是互相平行，我們可以畫幾條垂直線段？（畫一條，看相交兩個角是否都是直角）

教師小結(jié)：從其中一條直線上任取一點作另一條直線的垂線，如果這條垂線同時垂直于兩條直線，則這兩條直線互相平行。

通過一些課堂練習(xí)，不僅僅是從表象看見完成的結(jié)果，而且是引導(dǎo)學(xué)生深究為什么可以平行的定義，從而積累判定兩直線互相平行的定義方法：同垂直于一條直線的兩直線互相平行，方法是在兩直線間畫一條垂直線段，看是否同時垂直于兩直線。

（三）體驗距離相等時，補充定義兩平行線間距離處處相等

教材中給出的材料是讓學(xué)生在兩條平行線間畫垂線，使學(xué)生在畫的過程中，通過測量活動，自主發(fā)現(xiàn)平行線間的距離相等這一特點?！白鲆蛔觥苯o出的三組圖都是經(jīng)典實例，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，加深學(xué)生對平行線間距離處處相等的認識。具體我們可以怎么落實呢？

1.畫一畫，說一說

首先，請學(xué)生任意畫出幾條垂直線段，量一量長度，說一說發(fā)現(xiàn)了什么？

其次，揭示學(xué)生的發(fā)現(xiàn)：這些垂直線段的長度都相等。

教師小結(jié)：兩條平行線之間的距離處處相等。

2.配套練習(xí)

思考：怎樣用我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來驗證兩條直線是否互相平行呢？

學(xué)生提出畫垂直線段，看是否相等。

教師引導(dǎo)，至少畫幾條就可以證明呢？

學(xué)生通過辯論，發(fā)現(xiàn)只要畫兩條垂直線段，看是不是一樣長即可。

教師小結(jié)：在其中一條直線上任取兩個點，作另一條直線的垂直線段，如果兩條垂直線段長度相等，則兩直線平行。

這個練習(xí)的落實，讓學(xué)生認識到兩平行線之間的距離處處相等這個判定定義，同時讓學(xué)生知道判定平行的方法：在兩直線之間畫兩條垂直線段，看這兩條垂直線段長度是否相等。

總而言之，我們將這些判定的方法分散安排在單元學(xué)習(xí)之中，讓學(xué)生清楚明白地掌握如何判定兩直線平行的方法，這樣為后續(xù)學(xué)習(xí)判定是不是平行四邊形和梯形打下了扎實的基礎(chǔ)。

三、改進教學(xué)：如何著眼整體視角推進平行四邊形的認識

綜上所述，學(xué)生到學(xué)習(xí)《認識平行四邊形》一課時已經(jīng)具備了哪些判定方法呢？首先，用格子圖來判定；其次，通過畫兩條垂直線段看距離是否相等來判定（兩平行線之間的距離處處相等）；第三種是通過畫一條垂直線段，看是否和兩條線互相垂直（垂直于同一直線的兩直線互相平行）。有了判定的抓手，那么認識平行四邊形的教學(xué)也就不再只借助直觀判定了。具體我們可以怎樣操作呢？

（一）借力格子圖，回憶判定方法

格子圖在學(xué)生的學(xué)習(xí)中一直占有舉足輕重的地位，在學(xué)習(xí)圖形面積、圖形定位等教學(xué)中一直都會用到，關(guān)鍵原因是格子圖是由一個一個小正方形密鋪而成的，所以里面的平行與垂直的價值應(yīng)該被得到充分的挖掘。

【案例分析】

一、復(fù)習(xí)長方形，回憶特征

出示圖形：2 個平行四邊形，1 個長方形。

回憶長方形特征：兩組對邊分別相等，4 個角都是直角。

補充長方形中線的位置關(guān)系特征。

提問：前段時間，我們認識了垂直與平行，你來看看長方形里面有這樣的位置關(guān)系嗎？（兩組對邊分別平行，四組鄰邊互相垂直）

引出格子圖驗證：放在格子圖里看就更加清楚了。你看見平行了嗎？看見垂直了嗎？

提問：如果沒有格子圖，你還能看出來平行嗎？

引出在同一平面內(nèi)，兩平行線之間的距離處處相等以及垂直于同一直線的兩直線互相平行。

借助格子圖對長方形特征的回顧，使學(xué)生明白了可以借助格子圖來發(fā)現(xiàn)直線之間的關(guān)系，而且還能借助是否同時垂直和垂直線段距離相等來判定兩直線是否平行。

二、猜想驗證，溝通聯(lián)系

學(xué)生在認識長方形和正方形的時候，是通過猜想驗證來做的，那么現(xiàn)在認識平行四邊形的時候應(yīng)該有方法的順延以及知識之間架構(gòu)的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生對認識的圖形更有整體感。

猜想驗證，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。

1.猜想平行四邊形的特征

（1）如果拉動長方形框架，會變成什么圖形？

（2）在拉動的過程中，這些特征里面什么變了？什么沒變？你確定嗎？

根據(jù)學(xué)生匯報形成板書：兩組對邊分別相等（可以確定，不需驗證）；兩組對邊分別平行（位置發(fā)生改變，需要驗證）；角變成了鈍角和銳角（可以看見，也不需要驗證）

小結(jié)：看來只需要驗證兩組對邊是否平行就可以了。那么怎樣來驗證呢？

2.討論出示驗證方法

用格子圖驗證；用畫垂直線段驗證。

3.學(xué)生動手實踐，并完成《探究單》

探究單

反饋交流：三組反饋，作品如下：（1）借助格子圖發(fā)現(xiàn)平行；（2）畫一條垂直線段，看是否同時垂直；（3）畫兩條垂直線段，看是否相等。

發(fā)現(xiàn)小結(jié)：通過今天的探究，我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形不僅兩組對邊分別相等，而且兩組對邊也是互相平行的，只是四個角的特征和長方形有點不同。

引出概念定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。

這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的主要教學(xué)環(huán)節(jié)，利用三種判定方法展開兩直線是否互相平行的判定，學(xué)生在猜想的過程中充分借助了長方形的原特征，通過變形所得即可判定對邊相等，問題只需集中判定是否兩直線互相平行即可，此時對長方形和平行四邊形的圖形認識有了較為統(tǒng)一的整體感，而且在判定的過程中其實也是畫高的過程，教學(xué)內(nèi)容進行了充分整合，為學(xué)生認識平行四邊形的高也做好了充分的鋪墊，不需另起爐灶。

總之，在學(xué)習(xí)平行四邊形時，教師引導(dǎo)學(xué)生用喜歡的方法來判斷兩組對邊分別平行。在學(xué)習(xí)梯形時，學(xué)生同樣可以用喜歡的方法來判斷只有一組對邊平行。經(jīng)過實踐，利用垂直來教會學(xué)生判定兩直線互相平行是可行的，而且符合學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展，教師的教學(xué)也更能體現(xiàn)整體性。