將張量分析融入傳統(tǒng)力學(xué)的新工科教育

郭晶 齊輝 吳國(guó)輝 夏培秀

［摘 要］ 教育一直是社會(huì)發(fā)展進(jìn)程中的重要命題，教育現(xiàn)代化也是社會(huì)現(xiàn)代化的重要標(biāo)志。在新工科建設(shè)背景下，力學(xué)問(wèn)題同樣是數(shù)學(xué)問(wèn)題，而“張量分析”則是面向力學(xué)專業(yè)一門獨(dú)有的數(shù)學(xué)課。近年來(lái)，力學(xué)教學(xué)廣泛運(yùn)用了張量分析，以簡(jiǎn)明而又精練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)一些較復(fù)雜的力學(xué)公式?！皬埩糠治觥闭n程相對(duì)而言較為復(fù)雜，這意味著教師在進(jìn)行張量分析授課時(shí)需要講究教學(xué)方法，改變教學(xué)模式，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)張量的積極性，從而提升學(xué)生對(duì)張量分析的學(xué)習(xí)能力。

［關(guān)鍵詞］ 張量分析；數(shù)學(xué)問(wèn)題；教學(xué)模式；教學(xué)方法

［基金項(xiàng)目］ 2022年度哈爾濱工程大學(xué)校教改項(xiàng)目（JG2022B0201）

［作者簡(jiǎn)介］ 郭 晶（1980—），女，黑龍江綏化人，碩士，哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院院長(zhǎng)助理，副教授，主要從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究。

［中圖分類號(hào)］ G642.0 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1674-9324（2023）14-0153-04［收稿日期］ 2022-12-21

近年來(lái)隨著經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，國(guó)家大力扶持新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)創(chuàng)新型人才的需求不斷增加。針對(duì)土木工程專業(yè)的新工科教育改革的研究與實(shí)踐項(xiàng)目也應(yīng)運(yùn)而生。在我國(guó)大力推進(jìn)自主創(chuàng)新的時(shí)代背景下，為推行行之有效的創(chuàng)新人才培養(yǎng)教學(xué)方式，以創(chuàng)新人才培養(yǎng)為核心，要求高校統(tǒng)籌傳統(tǒng)教學(xué)模式，踐行創(chuàng)新型教學(xué)方式。由于國(guó)內(nèi)的高校大多以學(xué)生能夠基本掌握理論基礎(chǔ)知識(shí)、具有扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)為目標(biāo)，培養(yǎng)在工程規(guī)劃、管理、設(shè)計(jì)以及相關(guān)的科學(xué)研究方面具備一定能力的土木工程專業(yè)人才，此時(shí)新工科的教學(xué)方式和發(fā)展戰(zhàn)略起決定性作用。

一、力學(xué)的高階需求

高校理工科課程包含許多基本力學(xué)知識(shí)，比如理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、工程力學(xué)、彈性力學(xué)、彈塑性力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等。固體力學(xué)研究連續(xù)固體在外界因素作用下的表現(xiàn)，這些因素一般包括力和熱的響應(yīng)，滿足質(zhì)量守恒定律、能量守恒定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律以及熱傳導(dǎo)定律等普遍的定律。經(jīng)典牛頓力學(xué)的框架和體系經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的繼承和發(fā)展，其中固體力學(xué)所包含的多個(gè)新興子學(xué)科也已經(jīng)漸漸發(fā)展起來(lái)，其幾乎與所有工科專業(yè)包括土木、航天、機(jī)械、交通運(yùn)輸、新型材料、儀器儀表、動(dòng)力能源等學(xué)科有所交叉。在實(shí)際生產(chǎn)生活、工程實(shí)際、專業(yè)發(fā)展中遇到的力學(xué)難題，固體力學(xué)幾乎都能直接解決。工程技術(shù)大都以力學(xué)為基礎(chǔ)，所以力學(xué)發(fā)展對(duì)科學(xué)規(guī)劃及其科學(xué)任務(wù)的完成起決定性作用。

力學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)。力學(xué)和數(shù)學(xué)作為各種實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中必須要考慮的關(guān)鍵問(wèn)題，兩者結(jié)合緊密，各種實(shí)際工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化的重要工具和手段幾乎都離不開(kāi)力學(xué)和數(shù)學(xué)方法，工程結(jié)構(gòu)的每一個(gè)細(xì)節(jié)幾乎都被數(shù)學(xué)方法所滲透。數(shù)學(xué)建模作為科學(xué)思維中的基礎(chǔ)部分，是在力學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)的必由之路，這就要求具備更高的數(shù)學(xué)水平開(kāi)展力學(xué)研究。力學(xué)的問(wèn)題同樣也是數(shù)學(xué)問(wèn)題，涉及大量的計(jì)算。比如，當(dāng)需要簡(jiǎn)明扼要地描述物體運(yùn)動(dòng)行為之間的因果關(guān)系時(shí)，就需要利用牛頓力學(xué)中的基本運(yùn)動(dòng)方程，從位移、速度和加速度等方面進(jìn)行描述。以一個(gè)連續(xù)體為例，由于它的形狀是變化的，就如同物理量可以在不同的坐標(biāo)系下表示一樣，應(yīng)力和應(yīng)變也可以在不同構(gòu)型下表達(dá)［1］。對(duì)于力學(xué)來(lái)說(shuō)，從質(zhì)量這種標(biāo)量，到速度這種向量，再到應(yīng)力這種矩陣，逐步需要更加高階的數(shù)學(xué)。在力學(xué)問(wèn)題中引入數(shù)學(xué)方法，在力學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)。為了簡(jiǎn)便計(jì)算，應(yīng)力的矩陣需要用張量來(lái)描述和形容。張量的概念在力學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)運(yùn)而生，是面向力學(xué)專業(yè)的一門獨(dú)有的數(shù)學(xué)課。

二、張量分析的發(fā)展

張量的概念來(lái)源于力學(xué)現(xiàn)象。關(guān)于“張量”一詞，《韋氏詞典》解釋說(shuō)：“有三個(gè)以上分量的廣義向量，特定維度空間中每一個(gè)分量都是其任意點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)”；在《美國(guó)傳統(tǒng)詞典》中的解釋：“與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一系列數(shù)字，這些數(shù)字遵循從一個(gè)抽象坐標(biāo)系到另一個(gè)抽象坐標(biāo)系，即兩個(gè)抽象坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換規(guī)律”。與標(biāo)量和向量相對(duì)應(yīng)的就是張量，或者說(shuō)是向量在三維坐標(biāo)系中的廣義定義。從較為直觀的意義上講，標(biāo)量等價(jià)于絕對(duì)值，向量即代表有方向?qū)傩缘木€段的有理數(shù)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下，經(jīng)若干次坐標(biāo)變換，標(biāo)量保持不變，即標(biāo)量象征量的固有屬性，在任意系下具有等值分量；向量則引入正負(fù)號(hào)，涵蓋方向的概念，且在任意系下不一定具有等值分量，這是向量與標(biāo)量的區(qū)別。對(duì)于標(biāo)量、向量和線性算子的母概念，實(shí)際上可將其理解為張量。雖然在確定的坐標(biāo)系下可以做到張量表達(dá)，但是張量不隨坐標(biāo)系而變化，即對(duì)于任意選定的參考系，張量是獨(dú)立的。

張量分析不僅是19世紀(jì)數(shù)學(xué)巨大變革的發(fā)端，還是近代數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)化的開(kāi)端。從代數(shù)的角度來(lái)看，張量是向量的推廣；從幾何的角度來(lái)看，作為一個(gè)真實(shí)的幾何量，張量不隨參考系的坐標(biāo)變化而變化，而是使用相應(yīng)的指標(biāo)符號(hào)。自然界中的大多數(shù)物理量包括速度、力矩等都可以看作是張量。一切力學(xué)量都是一階或二階張量，張量整體具有任意系變換的不變性，其象征力學(xué)量的本質(zhì)屬性。例如：零階張量有密度、長(zhǎng)度、溫度、時(shí)間等一類標(biāo)量；而力、速度等這類矢量可以看成一階張量；連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的應(yīng)力和應(yīng)變可以看成二階張量?？傊锢砹W(xué)系統(tǒng)中張量是廣泛存在的?，F(xiàn)如今，愈來(lái)愈多的力學(xué)教材都采用張量符號(hào)，即克里斯托費(fèi)爾符號(hào)。張量符號(hào)的求導(dǎo)運(yùn)算是針對(duì)曲線系中的向量進(jìn)行的，最早由黎曼引入并幫助建立曲率張量和協(xié)變微分概念，他最終計(jì)算了空間曲率問(wèn)題，該問(wèn)題是給定度量的。簡(jiǎn)單而言，黎曼提出一種廣義的坐標(biāo)系，以象征一般化的空間模式。學(xué)者們需要尋找探求這一曲線系的相關(guān)運(yùn)算方法，微分運(yùn)算問(wèn)題尤為重要，但是對(duì)這一坐標(biāo)系里的函數(shù)開(kāi)展微分時(shí)，基向量是變化的，其形式會(huì)愈發(fā)煩瑣。因此，為了尋找此系微分或張量分析方法，許多數(shù)學(xué)家不斷努力，最終構(gòu)建了曲線系的微分方法。這種坐標(biāo)系能用非常簡(jiǎn)易的形式表述一些繁雜的方程式。更重要的一點(diǎn)，過(guò)去無(wú)法建模的自然現(xiàn)象也可以用數(shù)學(xué)化的表達(dá)方式呈現(xiàn)。張量概念和其分析方法已成為力學(xué)工作者必不可少的數(shù)學(xué)工具。

三、傳統(tǒng)力學(xué)的教學(xué)改革

（一）將張量分析融入力學(xué)教學(xué)

對(duì)力學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，教學(xué)的改革要落實(shí)到課程建設(shè)中，創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式。張量分析是一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)工具。一方面，數(shù)學(xué)以其手段預(yù)測(cè)和表述力學(xué)問(wèn)題；另一方面，力學(xué)的需求反作用于數(shù)學(xué)發(fā)展?！稄埩糠治雠c連續(xù)介質(zhì)學(xué)》一書中闡述“張量這個(gè)名字本身就表明它的來(lái)源是彈性理論”。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的兩個(gè)基本量——應(yīng)力與應(yīng)變，都是張量。為了避免書寫過(guò)于繁雜，非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程都需要用張量表示。許多人閱讀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻(xiàn)感到吃力，大多數(shù)是因?yàn)楦静欢脧埩糠治?。在研究大變形或幾何非線性問(wèn)題時(shí)，方程的描述需應(yīng)用張量概念，若要完整描述大變形模型，需將問(wèn)題轉(zhuǎn)到曲線系中。因此，根據(jù)非線性連續(xù)介質(zhì)學(xué)的張量分析邏輯，一個(gè)坐標(biāo)系必須用到兩套基矢量，即協(xié)變基和逆變基，對(duì)基矢量運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算獲得協(xié)變導(dǎo)數(shù)。如今，在高校理工科類學(xué)生教學(xué)中，或多或少涉及了基礎(chǔ)張量知識(shí)，教學(xué)工作者在開(kāi)展力學(xué)教學(xué)時(shí)應(yīng)大量融入張量分析的內(nèi)容，讓學(xué)生更加全面具體地了解所學(xué)內(nèi)容［2］。

在連續(xù)介質(zhì)研究領(lǐng)域，作為一種基本數(shù)學(xué)方法，張量分析理論已廣泛應(yīng)用于一般力學(xué)、土木工程、材料科學(xué)、航空航天、機(jī)械、天文學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，以至于學(xué)生不具備張量知識(shí)就無(wú)法進(jìn)行連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本理論的學(xué)習(xí)和相關(guān)專業(yè)文獻(xiàn)的閱讀［3］?，F(xiàn)階段，張量分析內(nèi)容或多或少地都被涉及，例如：在本科彈性力學(xué)中，對(duì)笛卡爾張量以及相關(guān)彈力方程進(jìn)行一般解釋；在研究生課程中，“張量分析”是力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)、工程力學(xué)等）和土木工程（結(jié)構(gòu)工程、災(zāi)害預(yù)測(cè)、巖土工程、橋梁隧道工程等）的學(xué)生的一門基本必修課程。張量理論的重要性愈發(fā)突出，以流體力學(xué)為例，流體力學(xué)是探尋流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科，水、氣、油都是流體力學(xué)科學(xué)研究和實(shí)踐活動(dòng)的主要研究對(duì)象。

在對(duì)彈性力學(xué)的有限元理論進(jìn)行分析時(shí)，張量分析對(duì)其有較大貢獻(xiàn)。物體位移是物體的基本變量，失真張量是通過(guò)對(duì)位移求梯度得到的，其中物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只與應(yīng)變或應(yīng)變的歷史有關(guān)，這是經(jīng)典彈性力學(xué)理論中的基本觀念。有一種線彈性力學(xué)理論學(xué)說(shuō)，對(duì)除了在各個(gè)方向上的位移外，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的微小元件，還會(huì)有自身的旋轉(zhuǎn)變形，不只是用旋轉(zhuǎn)角來(lái)表示自身的旋轉(zhuǎn)變形，還用旋轉(zhuǎn)張量來(lái)表示其變形，這與應(yīng)變張量表示相同，這種理論是偶應(yīng)力的線彈性力學(xué)理論。還有一種線彈性力學(xué)理論，是將旋轉(zhuǎn)變形看作剛體微小體積單位的旋轉(zhuǎn)，認(rèn)為旋轉(zhuǎn)可視為微小元件在旋轉(zhuǎn)變形，這是經(jīng)典彈性力學(xué)理論中的張量表達(dá)。因此，推導(dǎo)包含偶應(yīng)力彈性力學(xué)的問(wèn)題，可以借助張量的知識(shí)。在經(jīng)典彈性力學(xué)理論時(shí)，可以忽略旋轉(zhuǎn)變形的影響，用位移梯度表示無(wú)限小的彈性體變形，但在考慮偶應(yīng)力在材料中作用的偶應(yīng)力彈性理論時(shí)需要考慮旋轉(zhuǎn)變形，需用旋轉(zhuǎn)張量表示。

（二）創(chuàng)新教學(xué)方式

高校的教學(xué)創(chuàng)新是指高校為了更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，高效培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，對(duì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行變革［4］。為促進(jìn)學(xué)生利用張量分析更加高效地開(kāi)展科學(xué)研究，應(yīng)該盡力豐富教學(xué)資源，創(chuàng)新教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，繼而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)張量知識(shí)的運(yùn)用。

1.教學(xué)內(nèi)容。在張量分析授課過(guò)程中，為了提高學(xué)生的綜合能力和實(shí)踐能力，加強(qiáng)與相關(guān)課程的聯(lián)系，教師應(yīng)提前指出張量分析對(duì)先修課程的要求，重點(diǎn)說(shuō)明張量分析在后續(xù)課程中的應(yīng)用原理，綱領(lǐng)性地介紹關(guān)聯(lián)課程中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想，非必要不過(guò)多講述其內(nèi)容，把握講述的深度，為學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架。在教學(xué)過(guò)程中，大多偏重理論和公式的應(yīng)用，較少培養(yǎng)學(xué)生利用張量進(jìn)行案例分析和文獻(xiàn)閱讀的能力，應(yīng)將張量理論與工程科學(xué)實(shí)際問(wèn)題和高水平論文有機(jī)結(jié)合，即教師在兼顧課程知識(shí)的同時(shí)，也應(yīng)當(dāng)適當(dāng)注重推導(dǎo)張量分析在論文中的應(yīng)用，從高水平張量分析的論文閱讀切入，將論文中的張量知識(shí)與課程內(nèi)容一一對(duì)應(yīng)，選擇難度適中的典型科學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展運(yùn)用張量理論的建模過(guò)程與公式推導(dǎo)。同時(shí)，制作工程實(shí)景圖、相應(yīng)視頻、三維彩圖、精美動(dòng)畫等。在吸引學(xué)生注意力的同時(shí)，豐富教學(xué)內(nèi)容，解決了課程內(nèi)容枯燥，學(xué)生興趣不足的問(wèn)題。另外，也要促進(jìn)學(xué)生深入學(xué)習(xí)張量分析，使學(xué)生更好地理解和應(yīng)用張量概念及理論，通過(guò)論文中的張量概念及理論促進(jìn)學(xué)生對(duì)其基本理論的深層次思考，精抓核心和重點(diǎn)，理解實(shí)踐應(yīng)用中的要點(diǎn)與難點(diǎn)。學(xué)生不僅要在論文中深入學(xué)習(xí)并找到學(xué)習(xí)興趣，還要逐漸對(duì)張量有自己的認(rèn)識(shí)，寫出學(xué)生自己的想法。教師應(yīng)該適當(dāng)組織學(xué)生進(jìn)行論文研討和實(shí)踐案例分析，正視科學(xué)研究中具體問(wèn)題的建模和分析過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生將張量的基本概念和理論知識(shí)作為學(xué)習(xí)與應(yīng)用的工具，從理論推導(dǎo)到應(yīng)用張量知識(shí)建立理論模型，最終進(jìn)行論文撰寫。使學(xué)生從多學(xué)科的視角認(rèn)識(shí)各學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)性與統(tǒng)一性。此外，積極開(kāi)展文獻(xiàn)查閱課、學(xué)術(shù)研討會(huì)等課外教學(xué)活動(dòng)。例如，教師可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生講述與張量分析有關(guān)的研究方向和研究課題，激發(fā)學(xué)生對(duì)張量知識(shí)的求知欲，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)張量分析知識(shí)深入研究，將知識(shí)活學(xué)活用，從而提高他們的學(xué)習(xí)與知識(shí)運(yùn)用能力。

2.教學(xué)模式。對(duì)于張量分析這種難以掌握的學(xué)科，要講究教學(xué)方法和教學(xué)模式，提升學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的熱情。高等院校教師在講授“張量分析”這門課程時(shí)，經(jīng)常重概念理論而輕方法應(yīng)用，導(dǎo)致教學(xué)效果普遍不佳。這種只注重學(xué)科自身知識(shí)的教學(xué)模式，通常不利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)各個(gè)學(xué)科的交叉理解和融會(huì)貫通。教學(xué)模式的主要手段是課堂教學(xué)，主線是學(xué)生的高水平論文，中心是注重張量理論運(yùn)用技能的綜合訓(xùn)練。通過(guò)課前任務(wù)教學(xué)、項(xiàng)目案例教學(xué)、課上探究教學(xué)、課下總結(jié)教學(xué)的串聯(lián)型教學(xué)方式，推進(jìn)啟發(fā)性、互動(dòng)性課堂的構(gòu)建。該課程采用小組教學(xué)模式，將學(xué)生分成研究小組，每組4～6人，開(kāi)展論文專題研討。教師分配布置各組的分析案例，重點(diǎn)對(duì)以張量理論描述工程問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，利用張量理論搭建力學(xué)模型，使學(xué)生熟練進(jìn)行張量理論推導(dǎo)和分析。教學(xué)緊跟新方法新內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生自主思考，在探究中開(kāi)展個(gè)性化學(xué)習(xí)。

3.考核制。為提高學(xué)生的參與程度，并重視學(xué)生反饋的教學(xué)效果，有必要對(duì)張量課程進(jìn)行公平的考核評(píng)價(jià)，以保證絕大部分學(xué)生參與其中并從中受益?？己嗽u(píng)價(jià)不僅要從學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度入手，同時(shí)還要注重學(xué)生的閱讀理解和寫作及運(yùn)用張量分析的能力。課程的最終成績(jī)包括平時(shí)出勤成績(jī)和課堂互動(dòng)成績(jī)與最后的考核成績(jī)，在一定程度上強(qiáng)化學(xué)生對(duì)張量知識(shí)的運(yùn)用能力。

結(jié)語(yǔ)

不論是進(jìn)行力學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生，還是從事科學(xué)研究的力學(xué)工作者，張量的學(xué)習(xí)都是必要的；不論是學(xué)生學(xué)習(xí)，還是教師授課，都要講究方法和創(chuàng)新。學(xué)生學(xué)習(xí)的頭腦要靈活，不要只“啃書本”；教師授課的方式要?jiǎng)?chuàng)新，不能只教書本，教學(xué)方法和教學(xué)模式尤為重要［5］。在新工科背景下，為了更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，高效培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)的進(jìn)程進(jìn)行優(yōu)化改革，基于開(kāi)創(chuàng)理念提出以高水準(zhǔn)論文讀寫為“著力點(diǎn)”，將其與課程互動(dòng)教學(xué)緊密結(jié)合，用課程互動(dòng)教學(xué)引領(lǐng)論文讀寫，以論文讀寫推進(jìn)課程互動(dòng)教學(xué)。本文的教學(xué)改革實(shí)施方案通過(guò)了解和總結(jié)學(xué)生閱讀張量論文的主要難點(diǎn)，構(gòu)建面向高水準(zhǔn)論文閱讀與寫作、由點(diǎn)及面的張量論文研讀案例集，鞏固學(xué)生對(duì)張量分析基礎(chǔ)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)；在學(xué)生論文理論研究難度的核心需求下，逐漸構(gòu)筑由以教師引領(lǐng)命題到學(xué)生自主開(kāi)放的張量論文寫作實(shí)踐案例庫(kù)；以研討、應(yīng)用和聯(lián)系為有機(jī)體，建立協(xié)調(diào)統(tǒng)一全方位的張量理論教學(xué)系統(tǒng)，涉及教學(xué)方法改革、知識(shí)體系優(yōu)化、張量論文的閱讀研究和寫作練習(xí)，最終達(dá)成對(duì)學(xué)生張量知識(shí)應(yīng)用能力與教學(xué)效果的綜合評(píng)估，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，從而有效提升學(xué)生對(duì)張量分析的學(xué)習(xí)和理解能力。

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Abstract： Education has always been an important proposition in the course of social development. Education modernization is also an important symbol of social modernization. Under the background of emerging engineering education， mechanics problems are also mathematical problems. Tensor analysis is a special mathematics course for mechanics major. Tensor analysis has been widely used in mechanics teaching in recent years. Some complex mechanical formulas are expressed in simple and concise mathematical language. Tensor analysis is a relatively complex course， which means that teachers should pay attention to teaching methods and change teaching modes when teaching tensor analysis， so as to mobilize students enthusiasm in learning tensor to the greatest extent and finally， improve students learning ability of tensor analysis.

Key words： tensor analysis; mathematical problem; teaching mode; teaching method