數(shù)學(xué)實驗中思維可視化實踐探索

陸程

［摘 要］數(shù)學(xué)實驗教學(xué)注重學(xué)生動手操作和實踐。數(shù)學(xué)實驗?zāi)苡行嵘龑W(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)和實踐能力，是助力數(shù)學(xué)思維可視化的重要載體。文章以“拼圖·公式”實驗教學(xué)為例，闡述如何通過實驗教學(xué)助力數(shù)學(xué)思維可視化。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)實驗；數(shù)學(xué)思維；可視化

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0001-03

數(shù)學(xué)實驗是通過動手動腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)強(qiáng)調(diào)從做實驗中學(xué)，力圖通過做實驗這一過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、解決問題的能力和創(chuàng)新精神，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)可將抽象的數(shù)學(xué)知識通過具體的實驗活動展現(xiàn)出來，使學(xué)生的思維過程、思想方法和實驗成果都變得可感知、可觀察、可操作、可呈現(xiàn)。

本文以“拼圖·公式”實驗教學(xué)為例，將數(shù)學(xué)中的整式乘法及二次三項式轉(zhuǎn)化為長方形的面積，使抽象的數(shù)學(xué)公式可視化，通過數(shù)學(xué)實驗拼圖展示數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系。

一、深入研究教材，把握教學(xué)起點(diǎn)

“拼圖·公式”是蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級下冊第9章“整式乘法與因式分解”中的內(nèi)容。從知識結(jié)構(gòu)來看，學(xué)生已經(jīng)能夠進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算，能夠用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是借助圖形面積將整式乘法和因式分解這兩種運(yùn)算變得可視化，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解。從活動經(jīng)驗遷移來看，學(xué)生已經(jīng)積累了通過拼圖探究新知的經(jīng)驗，初步感悟了數(shù)形結(jié)合思想。從能力素養(yǎng)來看，學(xué)生在經(jīng)歷“從具體問題抽象出數(shù)學(xué)問題—建立模型—綜合運(yùn)用已有知識解決問題”的過程，以及觀察、比較、拼圖、計算、推理等過程后，其研究過程得以可視化，進(jìn)一步提升自身的深度學(xué)習(xí)能力。

二、精心設(shè)計實驗，打造思維課堂

（一）融“數(shù)”于“形”，使抽象思維具體化

【活動規(guī)則】學(xué)生4人為一組進(jìn)行小組合作，任意選取一定數(shù)量的卡片（如圖1，每種卡片至少用一次），嘗試拼成一個新的長方形，并通過不同的方法計算其面積。

思考：我們可以如何計算長方形的面積？

［師生活動預(yù)設(shè)］4人小組能通過卡片拼出多種長方形，并求得其面積。其中，小組1拼成的一種長方形如圖2所示。

師：你是如何求該長方形的面積的？

生1：該長方形的長為[（3a+b）]，寬為[（a+b）]，因此長方形的面積為[（3a+b）（a+b）]。

生2：它是由3張A型卡片、4張B型卡片和1張C型卡片拼得的，因此面積可表示為[3a2+4ab+b2]。

師：這兩個式子有怎樣的大小關(guān)系？

生3：這兩個式子都表示該長方形的面積，因此它們相等，即[（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2]。

師：非常好！現(xiàn)在請各小組嘗試用這兩種方法求相應(yīng)長方形的面積，并將得到的等式寫到黑板上。

（各小組寫出等式）

師：現(xiàn)在同學(xué)們能通過這些等式說出所拼長方形的特征嗎？

生4：可以。等式的一邊是多項式乘多項式，代表長方形的長和寬，另一邊是多項式，可以由多項式每一項的字母確定卡片的類型，由每一項的系數(shù)確定相應(yīng)卡片的數(shù)量。

設(shè)計意圖：由拼圖到等式，讓學(xué)生體會“形”與“數(shù)”之間的關(guān)系，并能由“形”到“數(shù)”地表示面積，或者由“數(shù)”到“形”找到長方形的長和寬，同時根據(jù)多項式確定圖形中卡片的類型和數(shù)量，賦予抽象的數(shù)學(xué)公式具體的實際意義，讓抽象思維具體化。

（二）由“數(shù)”到“形”，使思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)化

【環(huán)節(jié)一】請4人小組合作，用以下3種卡片（如圖3）拼出長為[（3a+2b）]、寬為[（2a+b）]的長方形。

思考：還可以如何計算長方形面積？得到怎樣的等式？

［師生活動預(yù)設(shè)］一小組成員挑戰(zhàn)失敗。

師：這位同學(xué)，你在解決問題的過程中遇到了什么困難？

生1：我已知長方形的長和寬，但是不知道卡片的類型和數(shù)量，也不知道這些卡片該如何擺放。

師：很好，你總結(jié)反思得很全面，有哪個同學(xué)能幫助她解決困難呢？

生2：我們可以先利用整式乘法，在得到多項式后，再根據(jù)多項式確定卡片的類型和數(shù)量。

生3：我們可以先嘗試用3張A 型卡片和2張B型卡片拼出長[（3a+2b）]，再用2張A型卡片和1張B型卡片拼出寬[（2a+b）]，最后用相應(yīng)卡片將剩下部分填充，如圖4所示。

師：可以得到怎樣的等式呢？

生4：根據(jù)兩種計算長方形面積的方法得到如下等式。

思考：以上活動說明了什么？

師：根據(jù)以上的活動，你有什么收獲？

生5：我們可以通過拼圖得到等式，計算多項式乘多項式。

師：如果沒有卡片拼圖，你能想到其他辦法嗎？

生6：可以畫圖。

師：非常棒！我們可以通過拼圖或畫圖計算整式的乘法。

整式的乘法：

【環(huán)節(jié)三】選取適當(dāng)卡片（如圖5），拼成一個面積為[a2+3ab+2b2]的長方形。

思考：1.我們還可以如何計算長方形的面積？可以得到怎樣的等式？2.以上活動說明了什么？

生6在黑板上完成拼圖并寫出等式：

師：你是如何完成拼圖的？

生6：根據(jù)條件可以知道A型卡片有1張，B型卡片有3張，C型卡片有2張，可以先挑出卡片再拼圖。

師：非常好！我發(fā)現(xiàn)大家的拼圖方式有好多種，我們一起來分析以下兩種（如圖6、圖7），你們覺得哪種拼圖方式更好？

生7：第一種更好，因為卡片擺放更有序。

師：結(jié)合黑板上的拼圖（如圖2、圖4、圖6），思考A、C兩張正方形卡片擺放的位置有什么特點(diǎn)。

生8：都處于對角線的位置。

師：為什么要這樣擺放呢？

生9：因為A、C這兩張正方形卡片的邊長不一樣，擺放在一起會增加后面拼圖的難度，直接擺放在對角線的位置后，只需要用B型卡片填充剩下的位置即可。

師：說得太好了。根據(jù)所得的等式，你又能得到什么結(jié)論呢？

生10：根據(jù)拼圖可以將二次三項式進(jìn)行因式分解。

因式分解：

思考：任意一個關(guān)于a、b的二次三項式，是否都能用拼長方形的方法進(jìn)行因式分解？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生初步認(rèn)知通過拼圖可以進(jìn)行整式乘法計算，也能夠解決簡單的二次三項式的因式分解；通過自由填空，將問題研究引向深入，由特殊到一般，讓學(xué)生形成思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感受利用拼圖進(jìn)行整式乘法的一般性及利用拼圖進(jìn)行二次三項式因式分解的局限性。

（三）以“形”解“數(shù)”，使問題認(rèn)知多樣化

思考：根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能計算[（a+b+c）2]嗎？

［學(xué)生活動預(yù)設(shè)］學(xué)生能通過拼圖發(fā)現(xiàn)沒有辦法拼出圖形，以及卡片類型不夠，并由此想到了用畫圖的方法解決。

師：同學(xué)們真的很棒！你們還能提出其他值得研究的問題嗎？

生1：剛剛研究的都是二次方的問題，那么能否通過拼圖計算三次方的問題，如[（a+b）3]？

師：這是一個非常有價值的問題，同學(xué)們能解決嗎？

生2：剛才二次方的問題是看成正方形的面積，這個三次方的問題可以看成是正方體的體積，先通過搭積木的方式搭出一個棱長為[（a+b）]的正方體，然后將其中每一個小長方體的體積相加就能得到所求結(jié)果。

設(shè)計意圖：根據(jù)之前的活動經(jīng)驗，設(shè)計問題串，使學(xué)生不僅可以從“數(shù)”的角度看待問題，還可以從“形”的角度解決“數(shù)”的問題。這既能加深學(xué)生對整式乘法與因式分解的認(rèn)識，又能讓學(xué)生再次體會以“形”解“數(shù)”的直觀與巧妙，對代數(shù)問題的認(rèn)知更加多樣化。最后一個三次方的問題將本節(jié)課的學(xué)習(xí)推向高潮，促進(jìn)學(xué)生思維的可視化。

三、深度反思過程，引領(lǐng)思維可視

思維可視化就是通過直觀形象的手段，將抽象的不易直接發(fā)現(xiàn)的思維展示在人們面前，就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，思維可視化就是將那些隱藏的思維過程通過可見的圖示或?qū)嵨锏日宫F(xiàn)出來的過程。思維可視化主要涉及心理維度、智能維度和效能維度，如表1所示。

下面就從心理維度、智能維度和效能維度這三個維度來具體闡述如何通過數(shù)學(xué)實驗教學(xué)助力思維可視化。

（一）激趣

從心理維度來看，數(shù)學(xué)思維可視化需要教師在實驗教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)各種情境，將原本深奧的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為可視的實驗操作，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。在直觀形象的數(shù)學(xué)實驗操作中，學(xué)生既可獲得極為豐富的情感體驗，又可輕松習(xí)得知識。如在“拼圖·公式”這節(jié)課中，教師依據(jù)學(xué)情設(shè)計了豐富的實驗活動，由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，讓原本枯燥的代數(shù)知識與形象的幾何圖形相關(guān)聯(lián)，將抽象思維具體化，使實驗課堂充滿活力。

（二）促解

從智能維度來看，“趣”是一種外在的形式，而“理解”則是智能層面的建構(gòu)。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中可視的操作過程能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，通過由淺入深的實驗探究促進(jìn)學(xué)生的思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)化。本節(jié)課中，教師將拼圖這一實驗活動與整式乘法及因式分解的知識有機(jī)結(jié)合，先由“形”到“數(shù)”，再由“數(shù)”到“形”，既讓學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識，又讓學(xué)生充分體會了數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)了知識的結(jié)構(gòu)化生成。

（三）致用

從效能維度來看，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中可視的實驗成果能提高學(xué)生的知識遷移能力，使學(xué)生學(xué)會將所學(xué)的知識與技能運(yùn)用到新的數(shù)學(xué)情境之中，用于解決新的問題。本節(jié)課的最后筆者將數(shù)形結(jié)合表示面積應(yīng)用到新的情境中，并使得內(nèi)容更復(fù)雜，從兩項到三項；形式更多樣，從拼圖到畫圖；研究更深入，從平面到立體。本節(jié)課中的所有代數(shù)問題都通過拼圖轉(zhuǎn)化為幾何問題解決，給學(xué)生提供了新的思考路徑，促進(jìn)學(xué)生思維認(rèn)知的多樣化。

新課標(biāo)要求，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動的過程。進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗是使思維外顯的重要手段，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可或缺的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該深入研究教材，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實驗活動，促使學(xué)生在實驗中理解知識、積累活動經(jīng)驗，并使數(shù)學(xué)教學(xué)具體化、結(jié)構(gòu)化、多樣化，以更好地提升學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 董林偉.“做數(shù)學(xué)”：中小學(xué)生適合教育的實踐構(gòu)建［J］. 教育研究與評論，2021（3）：16-21.

［2］? 錢學(xué)翠. 數(shù)學(xué)思維可視化：促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2021（29）：6-8.

［3］? 高杰.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中思維可視化的探索與實踐［J］. 教學(xué)與管理，2022（26）：33-36.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）