關注幾何圖形的確定性 提高試題命制的科學性

孔原平

[摘? 要] 科學性是試題命制最基本的準則. 本文提出在命制初中幾何試題時，要理清圖形結構特征，關注幾何圖形的確定性;合理呈現(xiàn)表達形式，提高試題命制的科學性;加強一題多解研究，破除慣性思維的局限性.

[關鍵詞] 幾何圖形;確定性;科學性;命題思考

試題命制是教師專業(yè)化道路上不可或缺的一項重要的基本技能，它是日常教學工作的延伸. 一套高質量的試題既能體現(xiàn)立德樹人的根本任務，又能發(fā)揮教育教學作用，對教育教學效果做出客觀、科學的評價. 然而，在初中數(shù)學試題命制的實踐過程中，題目設置不科學的現(xiàn)象時有發(fā)生，尤其是初中幾何中的計算題，在命題中稍有疏忽，就會出現(xiàn)問題. 文章中的例題是筆者在中考復習課堂上收集到的試題，試圖通過本文與初中數(shù)學教師進行溝通交流關于試題命制時應注意的問題.

真題再現(xiàn)

（2020年南充市第6題）如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（ ? ? ）

A.? ?B.

C. a-b ? ? ?D. b-a

試題分析

本題圖形簡潔，條件清晰，問題明確，是中考中一道非常普通和簡單的幾何題. 命題人把這道題放到選擇題的第6題，顯然是把它看作是一道容易題，學生得分率也應該較高.

試題是通過黃金三角形為背景，立足對三角形內角和，角平分線的定義，等腰三角形的性質與判定，以及線段的和差等知識點的考查. 雖然涉及的知識點較多，但都是較為容易掌握的基礎知識. 學生只需通過觀察、猜想、演繹推理，將等腰三角形的底邊轉化到腰上，再通過線段的加減即可解決問題. 本題考查了學生的識圖能力、分析問題、解決問題的能力，簡單中蘊含了豐富的幾何知識以及對基本技能的考查.

解法探究

解法一? 因為∠A=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°.

因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=36°，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠C=72°.

所以AD=BD，BC=BD，AD=BC=b.

又因為AC=a，所以CD=a-b. 故選C.

解法一無懈可擊，命題人也應該是這樣設想的，肯定大多數(shù)學生也能得到正確選項C. 可是，一個城市的中考考場上少則幾萬，多則十多萬學生在考試，難道他們的想法都會按照命題人的設想去思考嗎？我們不能排除學生可能會有以下解法.

解法二? 由解法一可得∠DBC=∠A=36°.

又因為∠C=∠C，所以△BDC∽△ABC.

所以=，即=，所以CD=.

解法三? 利用角平分線和平行線組合，巧妙構建新的等腰三角形，再利用相似三角形的性質解答本題.

如圖2，過點D作DE∥/AB交BC于點E，所以△DEC∽△ABC，=.

由法一得∠ABC=∠C=72°，所以∠DEC=∠C=72°，所以DE=DC.

又因為∠ABD=∠DBC=36°，所以∠ABD=∠BDE=36°，∠DBC=∠BDE，所以BE=DE，BE=DC，所以EC=b-CD ，即=.

所以CD=.

解法四? 如圖3，過點D作DE∥CB交AB于點E，

所以∠DBC=∠EDB，=.

因為∠A=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°，AE=AD，所以BE=DC.

又因為BD平分∠ABC，所以∠DBE=∠DBC，所以∠DBE=∠EDB，△EDB∽△DBA.

所以BE=ED，DC=ED，=，所以CD=.

解法二、解法三和解法四主要都是利用相似三角形的判定與性質求CD的長. 這種解法在幾何學習中，對圖形的相似變換掌握較好的學生，往往能夠根據(jù)題目條件自然聯(lián)想到的方法.

解法五? 如圖4，作AE⊥BC于點E，BF⊥DC于點F.

因為AB=AC，所以CE=BC.

由法一得BD=BC，所以CF=DC.

在Rt△BFC中， cosC=;在Rt△AEC中，cosC=.

所以=，即=，所以CF=;

所以CD=2CF=.

解法五利用同一個角的三角函數(shù)值是定值建立等量關系，巧妙的求出CD的值. 雖然該方法也需要證明△ABD與△BDC是等腰三角形，與解法一比較明顯復雜得多，但解法一與解法五是從兩種不同的角度思考解決問題的策略.

尋根解惑

五種解法得出三個不同的答案，筆者也感覺困惑，它們之間是否存在一定的內在聯(lián)系，是否可以統(tǒng)一為一個相同的結果？帶著這個疑問，筆者繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)將a-b，，這三個式子中任意兩個相等，化簡后均可得a2-ab-b2=0，解得a=b或b=a，將a=b或b=a分別代入三個不同的答案，最終都得到CD=b或CD=a這兩個相同的結果.

用正弦定理和倍角公式，也能說明a與b之間的確存在內在的關聯(lián). 因為在△BDC中，=，即=，化簡得DC=①;在△ABC中，=，化簡得a=2bcos36°②.①÷②得DC=.

通過以上探究，說明該三角形中a與b之間的確存在內在的關系. 也正是這個原因，使我們在解答這個題時，由于解題路徑不同導致呈現(xiàn)的結果不相同. 這種題目設置不科學的現(xiàn)象，導致試題對教育教學效果不能給出客觀、科學的評價.

命題思考

1. 理清圖形結構特征，關注幾何圖形的確定性

為什么會有上述情況發(fā)生？這就不得不說到圖形的確定性——只要圖形的形狀確定了，那么該圖形的內角度數(shù)，各邊長度之間的比例關系就是確定的，由此得到的該幾何圖形的各種性質也是確定的. 該例題圖形中由∠A=36°，AB=AC，就說明△ABC的形狀已經確定，只是大小不確定，但其腰長與底邊的比==2cos36°是確定的值. 同樣根據(jù)題目條件可知△DBC與△ABD都是等腰三角形，他們的底角分別是72° 和36° ，它們的形狀也是確定的，那么它們腰長與底邊的比也應該是一個確定的值. 也正是這個原因，導致三種不同的計算結果，但經驗證它們都是正確的.

所以，編制一道幾何試題時，教師必須對問題本質、圖形結構、相互之間數(shù)量關系與位置關系有充分的認識，在給出數(shù)據(jù)時，要認真思考圖形中是否存在“量”之間的制約關系，充分考慮各個條件是否具有相容性，以免出現(xiàn)試題不科學的現(xiàn)象.

2. 合理呈現(xiàn)表達形式，提高試題命制的科學性

《教育部關于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》要求依據(jù)課程標準科學命題，提高命題質量，明確指出客觀性試題要有確定的答案. 科學性、正確性、邏輯性、規(guī)范性、層次性、創(chuàng)新性等是試題命制中必須遵守的原則. 從專業(yè)化的眼光來看，命題必須首要注重科學性[1]. 科學性是任何考試都必須遵循的基礎性原則[2]. 命制試題的過程中命題人必須用心思考，規(guī)避因題目的敘述或呈現(xiàn)形式的不科學所帶來的偏差或風險，更不能因為題目設置不科學給考生帶來心理恐慌. 如果將題目中的“CD=（ ? ? ）”改為“CD的長可以表示為（? ?）” 這樣的敘述就比較科學. 因為這樣的描述表示下面有一個代數(shù)式是正確的，但并不排除還有別的表達形式. 試題中“D選項”是一個無效選項，因為“b-a”明顯是一個負數(shù)，就相當于自然去掉一個選項. 如果改為設置更科學，更能體現(xiàn)題目的思維含量和知識的覆蓋面.

3. 加強一題多解研究，破除慣性思維的局限性

作為一名數(shù)學教師，尤其是教學經驗教為豐富的教師，往往會憑經驗和直覺去思考問題，導致教學行為和解決問題方法單一化，模式化. 筆者在沒有任何暗示的情況下，讓八位數(shù)學教師各自做這道題，結果七位教師不到1分鐘都給出了答案C. 一位教師開始得出了CD=，但一看選項中沒有這個答案，略加思考，改成了選C. 可惜！他沒有對本題提出質疑. 8位教師給出了同一個答案，究其原因就是教師們有了固化的幾何模型或幾何自覺所導致. 所以，教師在日常教研中，要有意識地從多角度思考問題，透過現(xiàn)象看本質，通過一題多解探尋直達思維本質的自然解法[3]. 因此，破除慣性思維的局限性，加強一題多解研究，對試題命制的科學性和合理性有十分重要的作用.

中考是每個初中生學習生涯中重要的一次人生大考. 考場上任何情緒上的波動都可能給考生造成一定的心理壓力. 試卷中的考題設置不科學，會給考生帶來較大的心理壓力，甚至會造成較大的負面影響[4]. 再者，中考題對教師的教學也具有很強的導向作用. 所以中考命題，肩負著巨大的社會責任，容不得半點紕漏. 它既要關注知識、能力、素養(yǎng)的考查，又要注重適當難度、有效信度和恰當區(qū)分度的設置，還要關注試題的科學性、合理性和嚴謹性[5].

總之，中考試題的命制工作是一項復雜的系統(tǒng)工程，每一道中考試題都必須經命題專家組反復論證、精雕細琢，才算交付了一份滿意的答卷. 一線教師在平常的試題命制中，同樣應該加強研究，提升試題命制能力，在命題中提升自己的專業(yè)素養(yǎng).

參考文獻：

[1]龐靈鋒. 從一道試題的改編談試題命制的科學性[J].? 數(shù)學教學通訊，2014（18）：53-55.

[2]張會杰. 試題命制的科學性：結構要素及其技術規(guī)范[J]. 考試研究，2019（01）：59-64.

[3]沈丹. 一道中考幾何題的解答探究與拓展思考[J]. 中學數(shù)學教學參考，2021（05）：25-27.

[4]張寧. 中考命題中存在的問題及建議——以2014年全國各地中考試題為例[J]. 中學數(shù)學雜志，2015（02）：60-63.

[5]劉成龍. 中考數(shù)學命題錯誤分析[J]. 中學數(shù)學，2020（14）：70-72.