常微分方程課堂教學(xué)改革的探索與實踐

李姝敏　郭鵬云　徐國明

摘 要：常微分方程課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)專業(yè)課，在師范生核心能力培養(yǎng)中具有重要的作用。基于“四個回歸”重要思想，“立德樹人”的人才培養(yǎng)目標(biāo)，“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念及“兩性一度”金課的建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)以及傳統(tǒng)教學(xué)中存在的主要問題，本文從課程的教學(xué)模式、教學(xué)方法和手段、教學(xué)內(nèi)容、考評方式、課程思政等方面對常微分方程課堂教學(xué)進(jìn)行探索與實踐。創(chuàng)造性的提出“五步三導(dǎo)”的線上線下混合教學(xué)模式，重視課程思想方法的來源與實質(zhì)，建立多層次、動態(tài)、開放的評價體系，挖掘思政元素，建設(shè)網(wǎng)上課程資源。

關(guān)鍵詞：常微分方程；“五步三導(dǎo)”線上線下混合教學(xué)模式；立德樹人

中圖分類號：G642.0? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2023）03-0088-05

1 引言

常微分方程是師范專業(yè)認(rèn)證下高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)核心課程，也是高校中其他理工科高等數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一。它以物理、化學(xué)、生物等為背景，以數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)為基礎(chǔ)的一門課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模、計算方法、孤立子、混沌等延伸課程的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的橋梁之一。廣泛應(yīng)用于物理、醫(yī)療、交通、航天航空等領(lǐng)域。2016年，習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上講話，作為高校教師，不僅僅要傳授知識，還要挖掘課程思政元素，要立德樹人。2017年10月教育部開始進(jìn)行師范類專業(yè)認(rèn)證[1]和提出“以學(xué)生為中心”的理念。2018年6月教育部在新時代全國高等學(xué)校本科教育工作會議提出“四個回歸”[2]重要思想。2018年11月，教育部高等教育司吳巖司長在第十一屆“中國大學(xué)教學(xué)論壇”上，明確提出“兩性一度”的金課標(biāo)準(zhǔn)。而常微分方程作為數(shù)學(xué)類師范專業(yè)核心課程之一，要聚焦知識、素養(yǎng)和能力的培養(yǎng)。由此，項目團(tuán)隊開始對常微分方程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)手段、考評方式開展探索與實踐。

2 常微分方程課堂教學(xué)中存在的問題

2.1 課程內(nèi)容重理論，輕應(yīng)用，缺乏高階性

傳統(tǒng)課堂局限于講方程的特點和解法，即知識的傳授。如最簡單的變量分離方程dx/dt=-kx，每個同學(xué)都會求解，而實際問題“碳-14衰變速度與它目前含量成正比”，學(xué)生幾乎不會列出方程，那么該方程的背景“碳-14定年法”及如何利用方程的解來推斷古代文物的歷史年代，就是渴望不可求了?？梢姡瑢W(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力不足，即課程內(nèi)容缺乏高階性。

2.2 教學(xué)模式與信息化技術(shù)脫離，缺乏創(chuàng)新性

在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，“以教師為中心”，“黑板+粉筆”，沒有信息化技術(shù)相融合，不能滿足新時代大學(xué)生對知識的需求。教學(xué)內(nèi)容由一般到特殊，一些知識點學(xué)生很難理解和掌握，并缺乏前沿性和時代性。即教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容缺乏創(chuàng)新性。

2.3 考評方式單一，缺乏挑戰(zhàn)度

考評方式有些單一，考評點只是知識的考核，而應(yīng)用能力、實踐能力、開放性的題目幾乎沒有，同學(xué)之間沒有明顯的競爭；另外，學(xué)生缺乏課程反思和團(tuán)隊合作意識。即學(xué)生的考核缺乏挑戰(zhàn)度。

2.4 科學(xué)素養(yǎng)，課程思政融入不夠，缺乏育人元素

傳統(tǒng)教學(xué)中，以傳授知識為主，淡化課程思想和文化的引領(lǐng)。學(xué)生對所學(xué)課程，不明白為什么學(xué)，學(xué)對今后有什么用處，課程思政元素不知如何挖掘與融入，即課程缺乏“育人元素”。

3 常微分方程課堂教學(xué)課程改革的思路和方法

3.1 基于學(xué)習(xí)通平臺，提出了“五步三導(dǎo)”的線上線下混合教學(xué)模式

為了建立微分方程與生活實際緊密的鏈接，我們對于傳統(tǒng)的微分方程教學(xué)設(shè)計做了適當(dāng)調(diào)整，創(chuàng)新性的提出“五步三導(dǎo)”的教學(xué)設(shè)計。即課程以引模型、析模型、解問題、評思維、善運(yùn)用這五步來構(gòu)建，以數(shù)學(xué)建模思維運(yùn)用、解決實際問題、促畢業(yè)促就業(yè)為導(dǎo)向，打造以學(xué)生為中心、從生活中來到生活中去的良性閉循環(huán)的常微分方程課堂。

同時，依托學(xué)習(xí)通平臺，“五步三導(dǎo)”的教學(xué)設(shè)計，實現(xiàn)線上線下混合式教學(xué)模式（圖1）。“五步三導(dǎo)”的線上線下混合教學(xué)模式的實施，實現(xiàn)了理論與實踐的有機(jī)融合，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時也學(xué)會了解決實際問題的思維與方法，實現(xiàn)了課程的高階性和教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新性。

3.2 重視課程的思想方法，優(yōu)化課程內(nèi)容

依據(jù)“五步三導(dǎo)”的教學(xué)設(shè)計，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行知識點拆分與優(yōu)化，采用層次化教學(xué)，由具體到抽象，由特殊到一般。

第二、四、五章方程（組）的引入、認(rèn)知、解法、鞏固、延伸是“五步三導(dǎo)”的教學(xué)設(shè)計，是閉循環(huán)的教學(xué)課堂。重視常微分方程理論與實踐的融合，讓學(xué)生不僅會解方程，還要會解決簡單的實際問題。下面以“一階隱式微分方程”為例。

例：1696年，約翰伯努利向整個歐洲發(fā)起了挑戰(zhàn)，提出一個數(shù)學(xué)問題：在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？這個問題就是著名的“最速降線問題”（圖2），同時代牛頓、雅各布伯努利、萊布尼茨、洛必達(dá)等都給出了正確的結(jié)果，伽利略認(rèn)為是一段圓弧后來被證明是錯誤的，到底是怎樣的曲線呢？

引模型：課前預(yù)習(xí)。學(xué)習(xí)通發(fā)布“預(yù)習(xí)清單+視頻+章節(jié)測試”，學(xué)生對本次課內(nèi)容有初步的了解。對數(shù)學(xué)問題的模型知識可以查閱資料，提出預(yù)習(xí)中問題，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)課堂。

析模型：建立模型。觀看一個網(wǎng)上“最速降線問題的實驗”，學(xué)生可以直觀驗證預(yù)習(xí)的結(jié)論。同時，通過分析數(shù)學(xué)模型，引出新的知識“一階隱式微分方程”。

解問題：以搶答的形式，學(xué)生列出方程的類型，求解的思想方法，即求解方法（圖3），同時提出預(yù)習(xí)中遇到的問題，強(qiáng)調(diào)方法，并以實例進(jìn)行說明，學(xué)生課上進(jìn)行隨堂練習(xí)，最后利用所學(xué)知識解決最速降線問題（圖4）。

評思維：總結(jié)本節(jié)課的重點內(nèi)容，同時融入課程思政。2018未來新經(jīng)濟(jì)高峰論壇中，寶沃汽車集團(tuán)楊嵩，利用“一個數(shù)學(xué)公式代表了寶沃模式”，即利用“最速降線問題”的曲線展示寶沃集團(tuán)探索中國力量崛起的模式（圖5）。該問題給我們的啟示是，要好好規(guī)劃化自己的人生，路徑長的用時未必長。同時，要有愛國精神，文化自信，努力學(xué)習(xí)為我國科技領(lǐng)先全球未來盡微薄之力。

善運(yùn)用：觀看“2018年全國高等學(xué)校數(shù)學(xué)微課”視頻片段，學(xué)生可以深入理解最速降線問題在實際生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之魅力。并且提出新的問題（圖6），第二章都是利用初等積分法求微分方程的解析解，那是不是所有微分方程都可以利用初等積分法求解呢？如果不能，又該如何判定和求解呢？引出下節(jié)課內(nèi)容。

第三章是理論性最強(qiáng)最難的一章，拆分成四個知識點配思維導(dǎo)圖，思路清晰，內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，學(xué)生的學(xué)和教師的教變得容易多了。如，解的存在唯一性定理的命題3證明比較難，做思維導(dǎo)圖（圖7），學(xué)生就可以很清晰知道每一步的目的和采用的方法。

第四章中高階微分方程的常數(shù)變易法，采用特殊到一般的方法。將一階推廣到二階后鞏固練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生推廣到三階，直至到n階，并利用代數(shù)理論將其公式化，層層遞進(jìn)。

在教學(xué)中注重“數(shù)學(xué)建模的思想”“變量替換的思想”和“常數(shù)變易的思想”的引領(lǐng)，讓學(xué)生了解思想的來源、抓住思想的本質(zhì)，從而理解和應(yīng)用其他思想方法。通過該課程的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)科思想，從而實現(xiàn)該課程的理論創(chuàng)新和實踐創(chuàng)新。

3.3 建立多層次、動態(tài)、開放的考評方式

基于“以學(xué)生為中心”的理念，依托學(xué)習(xí)通平臺，考評方式（圖8）實現(xiàn)對學(xué)生的課前、課中和課后進(jìn)行全方位的監(jiān)督和引導(dǎo)。

課前考核：學(xué)習(xí)通上，發(fā)布預(yù)習(xí)清單，設(shè)置預(yù)習(xí)任務(wù)點，引導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)視頻，完成章節(jié)測試，并完成問題清單，提出預(yù)習(xí)中的問題。根據(jù)平臺數(shù)據(jù)及時了解學(xué)生預(yù)習(xí)的進(jìn)度和知識點的理解程度。讓學(xué)生和教師帶著目標(biāo)進(jìn)課堂。

課中考核：展示上節(jié)課或往屆作業(yè)，發(fā)現(xiàn)問題、討論更正問題。強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點，如第二章是“兩要一不要”，即要“變量還原”，要“畫龍點睛”，不要“畫蛇添足”；培養(yǎng)學(xué)生的明辨性思維，加入了育人元素。此外學(xué)習(xí)通進(jìn)行隨堂練習(xí)，教師隨堂點評問題，有問題隨時改正，同時鼓勵又快有準(zhǔn)確的同學(xué)，也鼓勵進(jìn)步的同學(xué)，讓學(xué)生要有公正的意識。

課后考核：作業(yè)+小組討論+課程反思與實踐。作業(yè)，上傳學(xué)習(xí)通，做得好的評出部分優(yōu)秀作業(yè)，共性問題的，在課上學(xué)生共同糾錯（圖9）。課后小組討論基于重點知識點，發(fā)布一些難度大的題，學(xué)生在騰訊會議中進(jìn)行講解（圖10）、討論，將文檔和視頻上傳學(xué)習(xí)通“PBL分組任務(wù)”中，實行組內(nèi)、組間和教師評價；課程反思實踐（圖11）要求以思想方法為主線，對常微分方程的課程內(nèi)容進(jìn)行宏觀和微觀的總結(jié)與歸納，并在期末前完成。而這兩項對于學(xué)生具有一定的挑戰(zhàn)度。

依托學(xué)習(xí)通平臺，線上線下多層次、動態(tài)、開放的考評方式，有點有面、強(qiáng)化了知識內(nèi)容，培養(yǎng)了學(xué)生的表達(dá)能力、運(yùn)用知識解決實際問題的能力及團(tuán)隊合作意識，提高了學(xué)生的師范技能和學(xué)習(xí)的自信心，為學(xué)生將來從事教學(xué)及相關(guān)管理工作打下扎實的基礎(chǔ)。

3.4 如鹽入味、點滴融入思政元素

與傳統(tǒng)教學(xué)模式相比，“五步三導(dǎo)”的線上線下混合教學(xué)模式更易于課程思政與教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)融合。我們主要從“講述科學(xué)家的勵志故事”和“典型案例”兩個方面融入課程思政。

常數(shù)變易法，是法國數(shù)學(xué)家拉格朗日歷經(jīng)11堅持不懈探索的成果，激勵學(xué)生要有堅持不懈、不急于求成、勇于探索的精神。學(xué)習(xí)歐拉方程和歐拉公式時，介紹大數(shù)學(xué)家歐拉[3]的生平，他是在黑暗中給人類帶來光明的人，他提出的“宇宙第一公式”，讓學(xué)生了解其中的內(nèi)涵，懂得健康的美好，生活的美好，努力前行！

學(xué)習(xí)變量分離方程，引入典型案例“他是嫌疑犯嗎”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會科學(xué)處理問題的方法，凡事要有據(jù)；學(xué)習(xí)伯努利方程時，利用典型的邏輯斯蒂方程建模，求解，畫圖擬合“江蘇揚(yáng)州”新冠肺炎確診病例的增長趨勢散點圖，讓學(xué)生明白發(fā)現(xiàn)疫情是可防可控的，作為大學(xué)生我們要遵守學(xué)校要求，封校期間非必要不外出，戴口罩，不信謠不傳謠；致敬我們的英雄，向他們學(xué)習(xí)，做一名有責(zé)任、有擔(dān)當(dāng)?shù)膼蹏髮W(xué)生。學(xué)習(xí)一階隱式微分方程時，引入“最速降線問題”[4]。學(xué)生通過建模，認(rèn)識“一階隱式微分方程”的類型及解法，并且利用微分方程的解解釋最速降線問題，介紹它與旋輪線的關(guān)系，在實際生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之魅力。

這樣將育人元素點滴融入，穿針引線、潛移默化之中影響到學(xué)生的身心。鼓勵學(xué)生成為有理想信念、有愛國情懷、有扎實學(xué)識、有仁愛之心的好老師，且做事情要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和科學(xué)處理問題的方法，逐步成為全面發(fā)展、持續(xù)發(fā)展的社會棟梁。

3.5 建設(shè)網(wǎng)上課程資源

基于“五步三導(dǎo)”教學(xué)設(shè)計，分解知識點，制作PPT課件，由團(tuán)隊教師錄制知識點視頻48個，配相應(yīng)章節(jié)測驗、作業(yè)、單元測試[5]，于2021年8月在學(xué)銀在線實現(xiàn)在線開放（表1）。結(jié)合網(wǎng)上資源，本校學(xué)生初步實現(xiàn)線上線下混合式教學(xué)，實現(xiàn)師生實時互動、互評。

4 常微分方程課堂教學(xué)改革的效果

4.1 教書育人于一體

立足建模思想的常微分方程課程教學(xué)，集案例法和任務(wù)驅(qū)動法于一體，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)了學(xué)生利用所學(xué)知識解決實際問題的思維，培養(yǎng)了學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力[6]?！拔宀饺龑?dǎo)”的線上線下混合教學(xué)法的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)問題從實踐中來，然后到實踐中去。循環(huán)往復(fù)，生生不息。而且容易將課程思政融入課堂，達(dá)到教書育人的目的。這對于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)理智處理問題形成正確的世界觀、人生觀、價值觀是非常有效的。

4.2 課程目標(biāo)達(dá)成度明顯提高

期末試卷中，2020級應(yīng)數(shù)1班（表3）比2017級應(yīng)數(shù)1班（表2）常微分方程試題難度增大、題量增大、覆蓋面更廣，但是課程的達(dá)成度卻有所提高，課程目標(biāo)3，理論的應(yīng)用尤為明顯，這與課程設(shè)計和教學(xué)方法是分不開的。

4.3 教學(xué)質(zhì)量評價

近幾年，任課教師的教學(xué)質(zhì)量評價也在穩(wěn)步上升。2021年秋季，2020應(yīng)數(shù)1班首次基于錄制視頻實現(xiàn)線上線下混合式教學(xué)，考評方式加入“課程反思與實踐”，學(xué)生對課程給出高度評價，教學(xué)質(zhì)量評價為98.02分，也對課程的線上資源給出肯定的評價。

5 結(jié)語

在已經(jīng)到來的“師范專業(yè)認(rèn)證”的背景下，“以學(xué)生為中心”的理念已經(jīng)得到充分的貫徹，常微分方程課程教學(xué)改革已經(jīng)從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)評價等方面做了有益的探索和實踐，很好地詮釋了“以學(xué)生為中心”的學(xué)生態(tài)度、情感、科學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展理念，為適應(yīng)新時代的應(yīng)用創(chuàng)新型人才培養(yǎng)目標(biāo)提供了強(qiáng)大的動力。

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕李晨松.基于師范專業(yè)認(rèn)證的常微分方程教學(xué)模式改革探究[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報，2021，36（02）：171-174.

〔2〕侯利元，和平.“四個回歸”背景下常微分方程的教學(xué)改革[J].高師理科學(xué)刊，2019，39（08）：79-82.

〔3〕陳光霞，李鳳萍.課程思政理念在《常微分方程》教學(xué)改革中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2022，25（01）：101-104.

〔4〕王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

〔5〕周義倉，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用—方法、理論、建模、計算機(jī)[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

〔6〕莊萬.常微分方程習(xí)題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

收稿日期：2022-11-27

基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃課題（NGJGH2019186）；包頭師范學(xué)院校級教師發(fā)展研究項目（BSJF22Y001）；包頭師范學(xué)院本科教學(xué)改革研究項目（BSJG20Y009，BSJG22Y12）