對數(shù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及應(yīng)用技巧

金毅

對數(shù)均值不等式 ab < a - b ln a - ln b < a + b 2 看似較為復(fù)雜，但在解答函數(shù)與不等式問題時(shí)卻能發(fā)揮較大的作用.本文主要探討一下對數(shù)均值不等式及其應(yīng)用技巧.

一、對數(shù)均值不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及證明

若 a > 0，b > 0，a ≠ b ，則 ab < a - b ln a - ln b < a + b 2 ，該式稱為對數(shù)均值不等式，其中 ab 為 a、b 的幾何平均數(shù)， a - b ln a - ln b 為 a、b 的對數(shù)平均數(shù)，a + b 2 為 a、b 的算術(shù)平均數(shù).對數(shù)均值不等式的形式比較特殊，與基本不等式較為相似，均含有 ab 、a + b 2 ，但有所不同，對數(shù)均值不等式中含有對數(shù)式 ln a、ln b .其證明過程如下：

令 e m = a、e n = b ，則 m = ln a、n = ln b ，將對數(shù)均值不等式進(jìn)行變形，可得到對數(shù)均值不等式的指數(shù)形式：e m + n 2 < e m - e n m - n < e m + e m 2 ，其中 m、n（m ≠ n） 為任意的實(shí)數(shù).

二、對數(shù)均值不等式的應(yīng)用技巧

1.比較兩式的大小

運(yùn)用對數(shù)均值不等式可比較兩個(gè)函數(shù)式的大小，如比較 ab、 a - b ln a - ln b 、a + b 2 、a-b 、ln a - ln b 的大小. 在解題時(shí)，只需根據(jù)已知條件構(gòu)造出對數(shù)均值不等式，并對對數(shù)均值不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，即可根?jù)已知關(guān)系式以及對 a、b 的限制條件，比較出兩個(gè)函數(shù)式的大小.

例1.

解：

由于a、c均為對數(shù)式，所以將ln 1.01變?yōu)閘n 1.01 - ln 1，根據(jù)對數(shù)基均值不等式可得 1.01 - 1 ln 1.01 - ln 1 < 1.01 + 1 2 ，再比較 2 ln 1.01和 1.04 - 1的大小關(guān)系，即可解題.可見，運(yùn)用對數(shù)均值不等式，關(guān)鍵在于對對數(shù)式進(jìn)行合理的恒等變形，并將其與對數(shù)均值不等式關(guān)聯(lián)起來.

2.證明數(shù)列不等式

在證明含有對數(shù)式的數(shù)列不等式時(shí)，我們也可以嘗試用對數(shù)均值不等式進(jìn)行求證.運(yùn)用對數(shù)均值不等式 AB < A - B ln A - ln B < A + B 2 （A > 0，B > 0，A ≠ B） 證明數(shù)列不等式，需構(gòu)造與對數(shù)均值不等式結(jié)構(gòu)一致的式子，如 AB、 A - B ln A - ln B、A + B 2 ，這樣就可以快速找到解題的突破口.

例2.

證明：

3.解答雙變量函數(shù)不等式問題

根據(jù)對數(shù)均值不等式 AB < A - B ln A - ln B < A + B 2 （A > 0，B > 0，A ≠ B） 的結(jié)構(gòu)特征可知，若將 A、B 看作兩個(gè)變量 x1 、x2 ，則可以得到不等關(guān)系 x1x2 < x1 - x2 ln x1 - ln x2 < x1 + x2 2 .在解答雙變量函數(shù)不等式問題時(shí)，我們可先通過恒等變形構(gòu)造出 x1 - x2 ln x1 - ln x2 ，再運(yùn)用對數(shù)均值不等式，就能快速證明結(jié)論.

例 3

證明：

待證不等式中含有雙變量 x1 、x2 ，需考慮使用對數(shù)均值不等式來解答問題.在解答本題時(shí)，要先判斷函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此建立關(guān)于零點(diǎn) x1 、x2 的關(guān)系式；再經(jīng)過恒等變形，找到“對數(shù)差 ln x1 - ln x2 ”和“變量差 x1 - x2 ”，便可運(yùn)用對數(shù)均值不等式來進(jìn)行求證.

例4

解：

雖然該函數(shù)式中含有指數(shù)式，不含有對數(shù)式，但是我們可以通過指對數(shù)互化，將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式問題，構(gòu)造出對數(shù)均值不等式，即可根據(jù)對數(shù)均值不等式來解答問題.本題中，ex1 ，ex2為方程的兩個(gè)根，所以在解題時(shí)還需用韋達(dá)定理對目標(biāo)式進(jìn)行恒等變換.

可見，運(yùn)用對數(shù)均值不等式，可快速解答含有指數(shù)、對數(shù)式的函數(shù)和不等式問題.但在運(yùn)用對數(shù)均值不等式解題時(shí)，要學(xué)會采用一些技巧，對代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，得到與對數(shù)均值不等式的形式一致的式子，以便運(yùn)用數(shù)均值不等式來解題.