探索壓軸題創(chuàng)新解法的教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘 要】 數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容.最為理想的數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該實(shí)現(xiàn)這樣的結(jié)果：對(duì)于探究解題思路的某些非常疑難的環(huán)節(jié)，學(xué)生萌生操作行為指令的數(shù)學(xué)觀念，雖然是在教師的啟發(fā)或鼓勵(lì)下實(shí)現(xiàn)的，但是教師需要通過(guò)教學(xué)技巧，促使學(xué)生認(rèn)為教師對(duì)于解題思路的發(fā)現(xiàn)沒(méi)有起到多少作用，而是他們自己想出來(lái)的.文章以2022年全國(guó)數(shù)學(xué)高考甲卷壓軸題為例，加以必要說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)高考；壓軸題；解題教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

以函數(shù)知識(shí)為背景的高考?jí)狠S題總是以函數(shù)的單調(diào)性、極值（包括最大值與最小值）、函數(shù)零點(diǎn)與不等式相結(jié)合等知識(shí)點(diǎn)為背景材料.在探究解題思路時(shí)，需要通過(guò)分析函數(shù)解析式或所要求解的問(wèn)題特點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生萌生指令自己操作行為的數(shù)學(xué)觀念，重新構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)解析式，從而運(yùn)用求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來(lái)探究解題思路.這就要求考生與指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)的教師認(rèn)識(shí)到，依據(jù)問(wèn)題及其解題環(huán)節(jié)的具體特點(diǎn)，考慮選擇函數(shù)解析式的形式，從中設(shè)出合適的新函數(shù)解析式，大多數(shù)情況下，能夠達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.

在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)于以函數(shù)知識(shí)為背景的高考?jí)狠S題，絕大部分老師都會(huì)幫助學(xué)生總結(jié)出“三對(duì)矛盾”：其一，自變量與函數(shù)的矛盾；其二，一元與二（多）元的矛盾；其三，常量與變量的矛盾.根據(jù)問(wèn)題條件與結(jié)論不同的具體特點(diǎn)，基于這“三對(duì)矛盾”與其他知識(shí)點(diǎn)（例如，不等式及其證明中所使用的“作差”“作商”與“放大或縮小不等號(hào)所連結(jié)的一邊”等具體方法）相結(jié)合，選擇其中的一對(duì)矛盾作為指令操作具體信息的數(shù)學(xué)觀念，就可以啟動(dòng)探究解題思路的思維活動(dòng)，再遇到相對(duì)疑難的環(huán)節(jié)時(shí)，還是要使用“三對(duì)矛盾”中的某對(duì)矛盾作為指令，才能萌生出突破這個(gè)疑難環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)觀念［1］.

為了說(shuō)明幫助學(xué)生尋找“三對(duì)矛盾”中的一對(duì)合適矛盾所形成的操作信息的行為指令，從而圓滿地獲得具體壓軸題的解題思路，下面實(shí)錄筆者啟發(fā)學(xué)生探究2022年甲卷壓軸題解題思路的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施活動(dòng)，并加以必要說(shuō)明.

例1 （2022年全國(guó)甲卷理科·題21）已知函數(shù)f（x）=exx－lnx+x－a.

（1）f（x）≥0在定義域上恒成立，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證x1x2<1.

對(duì)于問(wèn)題（1）的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施實(shí)錄：

師：記函數(shù)f（x）=exx－lnx+x－a為①，則容易知道，函數(shù)①的定義域?yàn)閤∈（0，+∞）.函數(shù)解析式①具有怎樣的特點(diǎn)呢？

生1：觀察函數(shù)①的解析式特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的基本性質(zhì)，函數(shù)①的解析式可以變形為f（x）=exx+lnexx－a②的形式.于是，設(shè)函數(shù)g（t）=t+lnt－a③，t∈（1+∞），知g′（t）=1+1t>0，由函數(shù)③單增，從而g（t）>g（0），但是g（0）沒(méi)有意義，……（省略號(hào)表示學(xué)生思維暫時(shí)中斷，下同）

師：生1看到了函數(shù)式①的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)聯(lián)形式，獲得了函數(shù)式②，這是非常了不起的.但是，其后述的運(yùn)算錯(cuò)在了什么地方？

生2：對(duì)于函數(shù)式③的自變量t的定義域判斷成t∈（1+∞）而產(chǎn)生了錯(cuò)誤.其實(shí)函數(shù)解析式③中的t=exx，可以看作是自變量為x且定義域?yàn)閤∈（0，+∞）的函數(shù)，即t（x）=exx，于是t′（x）=xex－exx2=exx－1x2，因此當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t（x）單減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t（x）單增，從而知t（x）≥t（1）=e，即函數(shù)③的定義域?yàn)閠∈［e，+∞），而g′（t）=1+1t>0，知函數(shù)式③單增，所以g（t）≥g（e）=1+e－a，即f（x）≥1+e－a，而f（x）≥0，知1+e－a≥0，知a≤1+e.

注 一方面，在探究解答問(wèn)題（1）的過(guò)程中，獲得了已知函數(shù)①表達(dá)式的一種新的形式，即函數(shù)解析式③.在這里，需要學(xué)生養(yǎng)成關(guān)于更換自變量后，其相應(yīng)的函數(shù)定義域也對(duì)應(yīng)地進(jìn)行改變這種數(shù)學(xué)觀念，否則不利于后面解題環(huán)節(jié)的實(shí)現(xiàn)，生1由于沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)，致使解答過(guò)程無(wú)以為繼，或者出現(xiàn)解題環(huán)節(jié)或結(jié)論中的錯(cuò)誤.另一方面，函數(shù)解析式③及其定義域t∈［e，+∞）的確定，將有利于探究問(wèn)題（2）證明不等式x1x2<1的思路，以及在簡(jiǎn)化運(yùn)算的環(huán)節(jié)中起到重要的作用.數(shù)學(xué)教師在源于問(wèn)題（2）教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中，仔細(xì)思考如何發(fā)揮函數(shù)解析式③的作用.

對(duì)于問(wèn)題（2）的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施實(shí)錄：

師：如何探究問(wèn)題（2）關(guān)于不等式x1x2<1的證明思路？

生3：我想采用分析法探究這個(gè)問(wèn)題的思路，仔細(xì)考慮“若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證x1x2<1”的內(nèi)涵，記不等式x1x2<1為④.過(guò)去探究證明不等式思路的經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)我產(chǎn)生了這樣的一種想法：由于不等號(hào)所連結(jié)的兩邊具有對(duì)等性，我想將不等式④的右邊轉(zhuǎn)化為含有自變量x1，x2的某個(gè)代數(shù)表達(dá)式的形式（因?yàn)?，不等式④的左邊無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)具體的常數(shù)——筆者注）.經(jīng)由試探，將不等式④變形為x1<1x2（如此，達(dá)到了不等號(hào)所連結(jié)的兩邊都是變量，即實(shí)現(xiàn)了對(duì)等性的目的——筆者注），然后利用函數(shù)式①的單調(diào)性，尋找比較函數(shù)值f（x1）與函數(shù)值f1x2的大?。ㄓ伞白宰兞颗c函數(shù)的矛盾”，將比較函數(shù)的兩個(gè)自變量大小，轉(zhuǎn)化為比較這兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小——筆者注）.但是我發(fā)現(xiàn)，如果通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，我們很難利用函數(shù)式②，或函數(shù)式③這種非常良好的解析式形式，所以不應(yīng)該選擇這條解題通道.

師：生3分析的結(jié)果很有道理，但是需要足夠的耐心進(jìn)行試探，這種解法也是能夠達(dá)到目的的，只是可以預(yù)料環(huán)節(jié)比較復(fù)雜.那么，我們?nèi)绻ㄟ^(guò)使用函數(shù)式②，或函數(shù)式③來(lái)達(dá)到證明不等式④的目的呢？

生4：對(duì)于不等式④的形式，利用不等號(hào)所連結(jié)的兩邊具有對(duì)等性的數(shù)學(xué)觀念，我通過(guò)函數(shù)式②，或函數(shù)式③及其相關(guān)條件，希望直接將不等式④的右邊常量1，轉(zhuǎn)化為含有變量x1，x2所表達(dá)成的代數(shù)式形式.據(jù)此想法，展開(kāi)相應(yīng)的操作檢驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程，由于x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，于是，不失一般性，可設(shè)0<x1<x2，由函數(shù)解析式②，或者函數(shù)解析式③的形式能夠知道，f（x1）=ex1x1+lnex1x1－a=0，f（x2）=ex2x2+lnex2x2－a=0，得ex1x1+lnex1x1－a=ex2x2+lnex2x2－a⑤，得ex1x1=ex2x2⑥，得ex2－x1=x2x1，因?yàn)?<x1<x2，知x2－x1=lnx2x1，得x2－x1lnx2x1=1⑦.由④⑦，知期待證明不等式x1x2<x2－x1lnx2x1⑧成立（據(jù)此認(rèn)識(shí)到，生4的想法得到了技術(shù)中的具體實(shí)現(xiàn)——筆者注），即需要證明lnx2x1<x2－x1x1x2⑨成立.但有些可惜的是，我目前還沒(méi)有找到證明不等式⑨的有效方法.

師：生4的想法非常好.但是還存在瑕疵，在這些論證過(guò)程的環(huán)節(jié)中，從等式⑤過(guò)渡到等式⑥存在邏輯上的問(wèn)題；還有一點(diǎn)，在證明不等式⑨時(shí)出現(xiàn)了疑難，那就必須要分析不等式⑨的具體特點(diǎn).那么首先如何彌補(bǔ)從等式⑤過(guò)渡到等式⑥所存在的邏輯漏洞呢？

生5：記t1=ex1x1，t2=ex2x2，由函數(shù)式g（t）=t+lnt－a③，t1，t2是函數(shù)③的兩個(gè)自變量，且t1，t2∈［e，+∞），由生4的分析結(jié)論，知f（x1）=ex1x1+lnex1x1－a=0，f（x2）=ex2x2+lnex2x2－a=0，知ex1x1+lnex1x1－a=ex2x2+lnex2x2－a，這就是g（t1）=g（t2），而g′（t）=1+1t>0，知函數(shù)③在t∈［e，+∞）內(nèi)單增，知必有t1=t2，即ex1x1=ex2x2成立.由此，堵住了從等式⑤過(guò)渡到等式⑥所存在的邏輯漏洞.

師：非常好.那么現(xiàn)在如何證明不等式⑨成立呢？

生6：我們知道，不等號(hào)所連結(jié)兩邊的內(nèi)容應(yīng)該具有對(duì)等性，但是不等式⑨的左邊可以看作是自變量的0次方，即一個(gè)常量，而不等式⑨的右邊卻是自變量的-1次方，因此，從自變量的指數(shù)上看，這個(gè)不等號(hào)所連結(jié)的兩邊內(nèi)容是不對(duì)等的.因此，首先從自變量的指數(shù)這項(xiàng)內(nèi)容出發(fā)，尋找使不等號(hào)兩邊“對(duì)等”起來(lái)的條件及操作活動(dòng)，這是可以辦到的.我的想法就是將不等式⑨的不等號(hào)右邊分母x1x2的自變量的指數(shù)降成1次，這只要將x1x2取算術(shù)平方根，即x1x2就可以達(dá)到目的，于是希望證明不等式x1x2<x2－x1lnx2x1成立，即期待證明不等式2lnx2x1<x2x1－x1x2B10成立.為了證明不等式B10成立，可設(shè)u=x2x1，因?yàn)?<x1<x2，知u>1，所以希望證明不等式2lnu－u+1u<;0B11（u>1）成立就達(dá)到目的了，于是設(shè)f（u）=2lnu－u+1uB12，則f′（u）=2u－1u2－1=－u－1u<0（u>1），知函數(shù)B12單調(diào)遞減，于是f（u）<f（1）=0，這就是說(shuō)，不等式B11成立.

注 雖然這里將代數(shù)式x1x2轉(zhuǎn)化為代數(shù)式x1x2并不是一件容易的事情，但是生6使用了不等號(hào)所連結(jié)兩邊的內(nèi)容具有對(duì)等性的數(shù)學(xué)觀念予以解釋?zhuān)阈纬闪艘环N非常好的啟動(dòng)思維活動(dòng)的心理內(nèi)驅(qū)力［2］.從生6的這種思維過(guò)程中，可以清晰地認(rèn)識(shí)到，這種選擇使用代數(shù)式x1x2替代代數(shù)式x1x2并不是“神來(lái)之筆”，而是在探究解體思路的過(guò)程中，不斷地通過(guò)分析與綜合、選擇合適數(shù)學(xué)觀念指導(dǎo)的自然結(jié)果.

由于這道題是壓軸題，需要具有較高的區(qū)分與選拔功能，因此對(duì)于不少學(xué)生來(lái)說(shuō)，這道題具有一定難度，選擇其他的解題思路，也會(huì)出現(xiàn)較大的運(yùn)算量.如當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所設(shè)定的函數(shù)解析式①的結(jié)構(gòu)，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式②的結(jié)構(gòu)，從而利用不等號(hào)所連結(jié)的兩邊具有“對(duì)等性”或“對(duì)稱(chēng)性”的數(shù)學(xué)觀念，從而將不等式④，通過(guò)不等式⑧，轉(zhuǎn)化為不等式⑨，進(jìn)一步在期待出現(xiàn)代數(shù)式x2x1的情況下，將不等式⑨通過(guò)不等式B10轉(zhuǎn)化為不等式B11，如此，為最終解決這個(gè)問(wèn)題設(shè)出的函數(shù)解析式B12鋪平了具體的道路.

參考文獻(xiàn)

［1］ 張昆，羅增儒. 數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)研究——指向萌生數(shù)學(xué)觀念的視點(diǎn)＼[J＼]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（11）：15-18.

［2］ 張昆. 整合數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)問(wèn)題的取向——透過(guò)“觀念性問(wèn)題”與“技術(shù)性問(wèn)題”的視點(diǎn)＼[J＼]. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，2019（06）：53-56.

作者簡(jiǎn)介 張昆（1965—），男，安徽合肥人，中學(xué)高級(jí)教師，副教授，博士；主要研究

數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)；發(fā)表教育教學(xué)論文300余篇，其中26篇被人大復(fù)印資料全文轉(zhuǎn)載.