2022年高考三角函數(shù)試題的統(tǒng)計與分析

張美鈺 胡典順

【摘 要】 以2022年高考全國甲卷、全國乙卷、新高考Ⅰ卷等9套試卷的三角函數(shù)試題為研究對象，從題型分值、知識內容、難度水平、基本技能、數(shù)學核心素養(yǎng)五個方面進行統(tǒng)計分析.發(fā)現(xiàn)：三角函數(shù)試題在2022年高考題型結構穩(wěn)定，分值占比升高，內容注重基礎理解和知識交叉，綜合題型增多，難度水平提升，主要考查理解、推理、運算等基本技能，重點關注學生的數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).基于此給出教學建議：回歸教材教學，注重知識本質；合理平衡難度，構建知識體系；靈活運用知識，堅持素養(yǎng)導向.

【關鍵詞】 2022年高考；三角函數(shù)；試題分析

1 問題提出

三角函數(shù)是高中數(shù)學函數(shù)主題中的內容，作為描述周期運動、解決實際問題的初等函數(shù)模型，以完整的知識體系啟發(fā)學生思維，發(fā)展核心素養(yǎng)，是結合其它知識考查學生綜合運用能力的良好載體.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標準”）對三角函數(shù)的學習要求為：“在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性 （對稱性）、單調性和最大（?。┲档刃再|；探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關系；利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型，解決實際問題.”［1］

2022年高考三角函數(shù)試題遵循課程標準要求，在強化基礎考查的同時突出核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”［2］的命題理念，推進了新高考教育評價體系的進一步改革.本文將針對題型分值、知識內容、難度水平、基本技能、數(shù)學核心素養(yǎng)5個方面進行統(tǒng)計分析，給出三角函數(shù)的教學建議，以期適應新高考改革的命題走勢.

2 研究框架

2.1 題型分值

三角函數(shù)在高考試卷中的分數(shù)占比體現(xiàn)考核價值與重要程度，本文對比了其在2021年與2022年9套試卷（全國甲卷文理科、乙卷文理科、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷及天津卷）的分值情況，并對2022年各題型分值分布進行統(tǒng)計.

2.2 知識內容

根據(jù)課程標準及高考考查知識點分布，將三角函數(shù)模塊所含內容進行知識點劃分及編碼，如表1所示.其中，用A1表示三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義，B2表示三角函數(shù)周期性.試題中涉及的其他領域知識點不屬于三角函數(shù)研究范圍，統(tǒng)計時單獨列出.

2.3 難度水平

根據(jù)SOLO理論，通過研究個體解答題目時需要回憶的知識點及具備的聯(lián)系運用各知識點的能力，可以判斷學生順利解決題目思維所處的水平，進而得到試題的能力層次和難度系數(shù)［3］.基于此，本文將高考試題的難度水平分為四個層次：單一結構層次（U）、多元結構層次（M）、關聯(lián)結構層次（R）、抽象拓展結構層次（E），難度系數(shù)依次升高.現(xiàn)以乙卷理科第11題為例，進行題目難度水平的分析與判定說明.

（乙卷理科第11題）雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且cos∠F1NF2=35，則C的離心率為（? ）.

A.52?????? B. 32

C. 132???? D. 172

分析 該題將三角函數(shù)與雙曲線結合，考查的知識點有三角函數(shù)求值、誘導公式、兩角和的正弦公式、正弦定理及雙曲線定義.通過畫圖，借助幾何直觀鎖定兩個關鍵三角形，由已知條件聯(lián)系三角函數(shù)公式求解未知角的三角函數(shù)值，進而結合正弦定理和雙曲線定義求解.考查學生牢固記憶知識點和巧妙聯(lián)系的解題能力，對學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)提出較高要求.因此，該題屬于抽象拓展結構層次，難度水平較高.

2.4 基本技能

基本技能是獲得知識的前提，也是從知識掌握到數(shù)學能力形成與發(fā)展的中間環(huán)節(jié)［4］，關于數(shù)學技能的研究較少，現(xiàn)有相關文獻對基本技能的劃分有兩種，第一種分為心智技能與動作技能，第二種分為知識型技能、法則型技能和方法型技能［5］［6］.基于心智技能形成的原型定向、操作、內化三階段模型和動作技能外顯可見的特征，本文結合課程標準中學業(yè)質量水平在知識技能上的質量描述，概括提出學生在解答高中階段數(shù)學試題時應具備的基本技能，見表2.

為了研究框架的一致性，將一道題目考查的基本技能水平按照解題使用的技能個數(shù)分為三個層次，見表3.由于理解為必備技能，故將使用2～3個技能設置為水平一.基于此，對2022年高考三角函數(shù)試題涉及的基本技能及水平進行判斷和統(tǒng)計分析.

2.5 數(shù)學核心素養(yǎng)

本文依據(jù)課程標準提出的六大數(shù)學核心素養(yǎng)及素養(yǎng)表現(xiàn)三水平，基于喻平從知識學習層面的劃分，采用數(shù)學核心素養(yǎng)評價指標框架［7］統(tǒng)計分析2022年高考三角函數(shù)試題素養(yǎng)在知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新水平上的表現(xiàn).通過量化賦值，探究不同核心素養(yǎng)的考查程度，對試卷進行比較分析，以便更加有針對性地對三角函數(shù)展開教學與學習，以新高考Ⅰ卷第6題為例進行賦值說明.

（新高考Ⅰ卷第6題）記函數(shù)f（x）=sinωx+π4+b（ω>0）的最小正周期為T.若2π3<T<π，且y=f（x）的圖象關于點3π2，2中心對稱，則fπ2=（? ）.

Ａ.1?? B. 32?? C. 52?? D. 3

賦值說明：該題是一道5分的選擇題，主要考查三角函數(shù)的圖象及性質.學生需要明確問題情境是先求參數(shù)再求值，知道解析式中參數(shù)含義，對新的對稱點進行簡單推理，結合范圍進行運算得到結果.本題主要考查數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)，賦值為：MA1－1.5、LR1－1.5、MO2－2，分別代表本題考查了知識理解水平下的數(shù)學抽象素養(yǎng)、知識理解水平下的邏輯推理素養(yǎng)、知識遷移水平下的數(shù)學運算素養(yǎng)，賦值分數(shù)根據(jù)重要程度給出.

3 統(tǒng)計結果及分析

根據(jù)研究框架，將統(tǒng)計結果分為試題命制和核心素養(yǎng)考查兩部分進行分析.

3.1 試題命制分析

在2022年9套高考試卷中，三角函數(shù)所占分數(shù)在15～28分之間，占整套試卷總分的10.0%～18.6%，平均分為20.8分.與2021年各套試卷總分情況相比如圖1所示，可以看出，除新高考Ⅰ卷外，各套試卷總分均有上升.圖2是2022年三角函數(shù)在各題型的分值分布情況，整體來看，題型結構為1～3道選擇題，0或1道填空題，0或1道解答題，基本每套試卷至少保證了2道封閉型試題與1道開放型試題的考查，在唯一沒有主觀題的甲卷中，三角函數(shù)則出現(xiàn)在了選擇和填空壓軸的位置，題型結構穩(wěn)定.由此可見，三角函數(shù)以相當重的分量出現(xiàn)在高考試卷中，考查比例有所提高，通過主觀與客觀相結合的方式評價學生的必備知識與技能素養(yǎng)，部分試題以多選題的形式發(fā)揮了提高試卷得分率的功能.天津卷的壓軸選擇題呈現(xiàn)出多選形態(tài)，體現(xiàn)了自命題試卷趨同于全國卷的命題趨勢，是逐步推進新高考改革的表現(xiàn).

根據(jù)第二部分的研究框架，對2021年和2022年三角函數(shù)試題進行知識內容、難度水平和基本技能的統(tǒng)計，文理科重復試題只出現(xiàn)1次，限于篇幅只給出2022年試題統(tǒng)計情況，具體內容見表4.

三角函數(shù)知識點頻數(shù)分布如圖3、圖4所示，兩年試題總體上考查圖象及性質次數(shù)最多，恒等變換和解三角形次之，概念最少，2022年未出現(xiàn)應用題型，2021年僅涉及1道.三角函數(shù)的圖象及性質主要在封閉型試題中考查，恒等變換分布較均勻，概念作為必備知識出現(xiàn)在各個題型中.選擇題以圖象及性質和恒等變換為重點，解答題較為固定，以解三角形為主要載體，結合恒等變換公式的靈活運用和周長面積考查.此外，2022年大幅增加三角函數(shù)與其它章節(jié)知識的綜合考查，涉及單調性、雙曲線、基本不等式以及初等函數(shù)二級結論等多個方面，學生需要掌握多個領域的基礎知識和解題通法，實現(xiàn)從思考單一因素到兼顧多個因素的思維跨越.2022年三角函數(shù)試題情境均為數(shù)學情境，但據(jù)往年命題特點，三角函數(shù)逐漸與現(xiàn)實、科學及數(shù)學文化相聯(lián)系，增強了應用性與創(chuàng)新性，課程標準也“強調數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力，注重數(shù)學文化的滲透”［1］，教師及學生應重點關注.

對2021年和2022年試卷的三角函數(shù)試題所處SOLO結構層次進行判定分析，由于題目數(shù)量繁多具體過程不再一一列出，繪制難度水平題量分布雷達圖，如圖5.可以看到2022年較2021年U水平減少，M、E水平增多，R水平題量穩(wěn)定，符合三角函數(shù)出現(xiàn)在壓軸題位置的現(xiàn)狀，難度適當提升，但也使得更多學生可以上手求解壓軸題，揭下其不可靠近的“神秘面紗”，發(fā)揮了試題的評價作用.三角函數(shù)這一本來在高考中穩(wěn)定拿分的知識模塊，在2022年有所改變，送分題減少，難度水平從簡單、中等轉變?yōu)橹械?、中上等，更加注重學生對基礎知識的理解和靈活運用.涉及其他領域知識的復合型題目增多，考查學生完整知識體系，聚焦學生的關鍵能力和核心素養(yǎng).三角函數(shù)已經(jīng)不再是一成不變的拿分“堡壘”，試題逐漸破除套路，改變分布結構，注重知識整合，建構完整體系［8］，是教師和學生不可掉以輕心的“重頭戲”.

繪制基本技能應用頻數(shù)條形圖和水平題量分布圖，如圖6、圖7所示.可以看出，三角函數(shù)題目求解涉及的基本技能水平主要為水平一和水平二，即每道題用到的技能個數(shù)不多于5個.其中，理解、推理、運算技能使用次數(shù)最高，符合三角函數(shù)自身具有抽象性和計算性的特點，作圖技能和識圖技能考查學生數(shù)形結合思想方法的運用，突出三角函數(shù)圖象的作用，建模求解技能體現(xiàn)在函數(shù)、不等式等模型的應用上，是學生解決復合問題的關鍵.

3.2 核心素養(yǎng)考查分析

將2022年題目賦值結果進行整理，計算六大核心素養(yǎng)在知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新水平賦分匯總占三角函數(shù)總分的權重，得到表5.以MA2在甲卷理科中的權重0.05為例，由該卷數(shù)學抽象在知識遷移水平的考查分1分除以三角函數(shù)總分20分計算得出.綜合來看，三角函數(shù)主要考查數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，在部分題目中對直觀想象和數(shù)學建模有所涉及.

由圖8可以看到，數(shù)學運算和邏輯推理在知識遷移上的考查多于知識理解，數(shù)學抽象和數(shù)學建模則相反，直觀想象持平.三角函數(shù)知識體系自身并不復雜，更多傾向于提升學生的運算能力和公式變換的推理能力，所以在運算推理方面對學生提出更高要求，而數(shù)學抽象和數(shù)學建模是對學生理性思維和應用能力考查的體現(xiàn)，在三角函數(shù)中傾向于簡單運用，有一定掌握即可.直觀想象在數(shù)形結合的題目中出現(xiàn)，數(shù)據(jù)分析在三角函數(shù)內容中不涉及.各類素養(yǎng)對知識創(chuàng)新水平的考查都很少，體現(xiàn)了高考強化基礎考查、突出關鍵能力的命題特點.

2022年各套試卷中三角函數(shù)體現(xiàn)的素養(yǎng)分布如圖9所示，可以看到，甲卷考查的素養(yǎng)類型最為全面，且考查比例較為均勻，是學生全面發(fā)展在核心素養(yǎng)層面的良好體現(xiàn).乙卷與新高考Ⅰ卷均涉及四種素養(yǎng)的考查，是綜合考慮難度水平與合理評價標準的良好命題方式.浙江卷與其余試卷的側重點有所不同，對于邏輯推理的考查占比最大，更加關注學生數(shù)學思維的表現(xiàn)與提升，而其余試卷則重點關注學生的運算能力，這為各地區(qū)關于三角函數(shù)教學與學習的重點提供參考.

核心素養(yǎng)的落實是立德樹人的根本要求，三角函數(shù)承擔著培育數(shù)學核心素養(yǎng)的重要作用.學生對三角函數(shù)概念和公式進行理解記憶，構建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型，有利于發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng)；合理選擇三角恒等變換公式，靈活處理，正確計算，落實邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；解題常用數(shù)形結合思想，通過圖形、圖象在頭腦中建構三角形相關元素的動態(tài)聯(lián)結和函數(shù)圖象的變化特征，發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng).

4 結論與建議

4.1 結論

2022年高考三角函數(shù)題型結構良好，在總題量中分值占比升高，難題增多，中等偏上的題目占大多數(shù).全國卷文理科部分題目相同，難度差距縮小.三角函數(shù)打破通常只出現(xiàn)在簡單、中檔題的命題規(guī)律，減少了“送分題”.內容考點注重基礎知識的理解和不同章節(jié)知識的綜合運用，考查學生通性通法的掌握，體現(xiàn)能力思維.三角函數(shù)針對數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng)進行重點考查，對運算和推理能力提出高要求，涉及直觀想象和數(shù)學建模素養(yǎng).2022年高考是針對“死記硬背”“題海戰(zhàn)術”的一次反套路化出題，彰顯出三角函數(shù)在高考評價中的重要作用.

4.2 教學建議

（1）回歸教材教學，注重知識本質.

技巧速解不能解決所有題型，盲目刷題只會事倍功半，增加學生負擔.高考試題常常在教材習題的基礎上進行變式與提升，在提倡“雙減”的今天，回歸教材內容，關注知識本質，是高考體現(xiàn)的命題趨勢，也是應對反套路化試題的最好辦法.三角函數(shù)內容考點穩(wěn)定，但考查方式靈活多變，突出本質，要求學生有扎實的基礎知識、基本技能和良好的數(shù)學關鍵能力.教師應以教材為起點，研課研題，變式變形，系統(tǒng)化講解各專題知識，推進單元教學設計，按照知識的本質特征和邏輯關系層層遞進，精心設計題目，走在學生前面，實現(xiàn)穩(wěn)步高效.學生在深刻把握本質和針對性練習的基礎上，才能充分提升技能，領悟數(shù)學思想，在復雜多變的試題面前“撥云開霧”.

（2）合理平衡難度，構建知識體系.

高考試題新穎多變，但很少有偏題怪題，題目難度的升高體現(xiàn)在通性通法的融會貫通和知識體系的完整考查.根據(jù)2022年和往年命題規(guī)律，高考通常綜合多個一級知識點進行出題，并會結合不同主題知識創(chuàng)新發(fā)散.學生需要在理解條件和推理分析后，通過已有知識經(jīng)驗判斷該題類型和解決方法，如2022年甲卷理科11題，審題后可知是整體代入和數(shù)形結合求解參數(shù)范圍的常見題型;再如新高考Ⅰ卷18題第2小問，是邊角互換結合三角恒等變換公式并跨章節(jié)考查不等式的內容，要求學生熟能生巧地運用知識.這啟示教師應在教學中平衡好各章節(jié)內容的深度，保證難度設計的科學合理，注意知識的廣度，幫助學生構建知識體系，這樣學生才能在綜合題目中統(tǒng)籌各知識點，進行信息整合，大膽猜想，提出解題策略.

（3）靈活運用知識，堅持素養(yǎng)導向.

三角函數(shù)知識類型豐富，涉及公式繁多，出題變化多樣，學生應以不變應萬變，靈活備考.教師要指出，求值時觀察已知角與目標角之間關系的重要性，傳授學生拆湊拼補的配角技巧，拒絕公式的死記硬背，引導學生正逆交替、活用定理，挖掘題目背后的隱含條件.學生在長期活躍的數(shù)學解題思維中，才能逐漸學會靈活運用知識，根據(jù)問題情境作變換轉化，突破三角函數(shù)問題的思維障礙，使三角函數(shù)成為高考中的得分要點.在素養(yǎng)導向下，教師應重點關注學生解題過程中的能力表現(xiàn)，審視思維缺口，引導邏輯融洽，讓學生能夠根據(jù)具體問題探索論證思路，而非只是套路做題.面對試題“七十二變”，自有知識和方法的“金箍棒”來應對解決.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 教育部考試中心.中國高考評價體系（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 熊紅冉.SOLO理論下的高考數(shù)學試題評價研究［D］.新鄉(xiāng)：河南師范大學，2018.

［4］ 周良金，魯正火.談數(shù)學技能的學習［J］.數(shù)學通報，1995（06）：13-15.

［5］ 林武.心智技能形成理論及其對運算教學的啟示［J］.教育評論，2017（09）：142-145.

［6］ 孔慶燧.論數(shù)學基本技能［J］.課程·教材·教法，1992（10）：51-55.

［7］ 李子瞻，胡典順.基于數(shù)學核心素養(yǎng)的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國Ⅰ卷為例［J］.數(shù)學教育學報，2022，31（03）：26-31.

［8］ 胡茗潔，石浩楠，胡典順.2021年高考概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析［J］.中學數(shù)學雜志，2022（01）：61-66.

作者簡介 張美鈺（1999— ），女，內蒙古呼和浩特人，研究生;主要從事數(shù)學教育研究.

胡典順（1965— ），男，湖北孝感人，教授、博士生導師;主要從事數(shù)學課程原理、數(shù)學教學原理、數(shù)學教師教育研究.