探疑解惑，培養(yǎng)無理數(shù)的數(shù)感

陳晨　李婧

一線數(shù)學(xué)教師普遍有這樣的感覺，無理數(shù)的概念（無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)）很簡單，但學(xué)生理解起來卻很不輕松，有時甚至囫圇吞棗；無理數(shù)概念的教學(xué)淺表化現(xiàn)象普遍存在，導(dǎo)致初中生對無理數(shù)的認識大都比較狹隘。為了嘗試改變這一尷尬現(xiàn)狀，筆者認為，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該從知識細節(jié)入手，讓學(xué)生提出關(guān)于無理數(shù)的疑惑，然后和學(xué)生一起解決，在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的無理數(shù)的數(shù)感，這樣更利于找到高效的無理數(shù)教學(xué)路徑，使學(xué)生真正理解和運用無理數(shù)。

談及數(shù)感，貌似給人一種神秘的感覺，其實它屬于人類對數(shù)及其運算的常規(guī)理解與感受，它能夠幫助我們處理煩瑣的問題并提出有效的措施。但是初中生對無理數(shù)的數(shù)感普遍不如對自然數(shù)和有理數(shù)的數(shù)感，究其原因，自然數(shù)是“數(shù)”出來的，有理數(shù)是“量”出來的，而無理數(shù)則是用數(shù)學(xué)的方式“想”出來的。能“數(shù)”能“量”的事物往往有具象性，但“想”出來的數(shù)則往往是形而上的，如果缺少直觀或經(jīng)驗的支持，就會非常抽象、難以理解。

近日，筆者在一次公開教學(xué)活動中，嘗試和學(xué)生一起探究了幾個關(guān)于無理數(shù)的問題，以幫助學(xué)生解決無理數(shù)學(xué)習(xí)過程的疑惑，體驗探究無理數(shù)的快樂，更好地培養(yǎng)無理數(shù)數(shù)感。

一、無理數(shù)的由來

據(jù)記載，無理數(shù)最早由畢達哥拉斯學(xué)派的希伯索斯首先提出：邊長為1的正方形，它的對角線長是多少呢？借助勾股定理，不難發(fā)現(xiàn)，對角線的長度可以表示為[2]。無理數(shù)[2]的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機，對以后2000多年的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。那么，[2]到底有多大呢？根據(jù)宋代數(shù)學(xué)家劉徽的做法，只能“求其微數(shù)”。

其實，我們可以嘗試用二分法，無限逼近 [2]來說明它的大小。∵12<（[2]）2<22，∴1<[2]<2?！?2<（[2]）2<1.52，∴1<[2]<1.5。∵1.252<（[2]）2<1.52，∴1.25<[2]<1.5……類似的，我們可以一直計算下去，最終發(fā)現(xiàn)[2]是一個無限不循環(huán)的小數(shù)。但這種數(shù)學(xué)驗證是不夠嚴謹?shù)模驗榻柚平ú荒茏罱K確定[2]的值，所以它的無限不循環(huán)性就無法驗證。

如何用更加嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)說理來證明[2]是無理數(shù)呢？還有一種方法，那就是反證法。即假設(shè)[2]不是無理數(shù)，則[2]是有理數(shù)，令[2]=[pq] （p、q為互質(zhì)的兩個整數(shù)，且pq≠0），可以證明出p、q都是偶數(shù)，這與p、q為互質(zhì)的兩個整數(shù)矛盾，從而證明假設(shè)不成立。

二、常見的無理數(shù)

初中無理數(shù)的教學(xué)源于求平方根（立方根等），源于勾股定理與三角形斜邊的計算、黃金比例與審美、圓周率與精確度的提高等問題情境。教師在教學(xué)過程中，可以給學(xué)生介紹一些常見的無理數(shù)，以加深學(xué)生對無理數(shù)的認識。

比如，（1）開方開不盡的數(shù)。在計算平方根（或多次方根）、利用勾股定理進行計算時，有時會得到開方開不盡的數(shù)。借助阿基米德螺線的數(shù)學(xué)之美，我們還可以得到像[2]、[43]、[84]、[2]+1等數(shù)。我們可以類比證明[2]是無理數(shù)的方法，證明這些數(shù)是無理數(shù)。這類數(shù)可以充分體現(xiàn)無理數(shù)是通過數(shù)學(xué)方式“想”出來的。（2）含[π]的一類數(shù)。[π]源于圓周率與精確度，所以[π]是一個確實存在的數(shù)。在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)對它非常熟悉了。據(jù)記載，[π]是通過割圓術(shù)、閏周算法計算出來的，現(xiàn)在用超級計算機已經(jīng)可以計算到62.8萬億位，這點充分說明[π]是一個無限不循環(huán)的小數(shù)。但關(guān)于[π]是無理數(shù)的證明涉及微積分的知識，初中階段暫時不需要掌握。（3）構(gòu)造數(shù)。人們根據(jù)無理數(shù)的定義構(gòu)造出了一些數(shù)，如3.101101110…（兩個0之間依次增加一個1）、0.129034880…（小數(shù)點后的數(shù)字是計算機隨機產(chǎn)生的0-9中的某一數(shù)字）。很顯然，對于這些構(gòu)造出來的數(shù)，雖然在生活中很難找到對應(yīng)的事或物與之匹配，但這些構(gòu)造數(shù)無一例外都符合無限不循環(huán)的小數(shù)這一定義，所以這些構(gòu)造數(shù)也都是無理數(shù)。（4）其他數(shù)。特殊三角函數(shù)值如sin45[°]、cos30[°]、tan60[°]和黃金分割比[5-12]都是利用初中特殊的數(shù)學(xué)知識計算得到的無理數(shù)，利用一個等腰直角三角形、有一個內(nèi)角為30°的直角三角形和一個正五邊形，可以輕松得到這些無理數(shù)。

三、關(guān)于無理數(shù)的其他研究

1. 無理數(shù)與有理數(shù)之間的關(guān)系?！坝欣頂?shù)”與“無理數(shù)”的英文分別是rational number和irrational number。翻譯過來就是“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”，即有理數(shù)可以寫成兩個整數(shù)的比值，而無理數(shù)則不能。這種差別可以使得學(xué)生快速辨別有理數(shù)和無理數(shù)，這樣對數(shù)的研究也會更加高效。

2. 無理數(shù)的個數(shù)。我們知道，非零有理數(shù)乘無理數(shù)結(jié)果是無理數(shù)；無理數(shù)加無理數(shù)結(jié)果是無理數(shù)或有理數(shù)；有理數(shù)加無理數(shù)結(jié)果是無理數(shù)，考慮到有理數(shù)有無數(shù)個，所以對應(yīng)的無理數(shù)肯定也是無數(shù)個。無理數(shù)的這種無限性可以幫助學(xué)生更好地認識初中階段對數(shù)系擴充的必要性和可行性，為進一步研究數(shù)的運算等做好鋪墊。

3. 無理數(shù)的相關(guān)運算。根據(jù)規(guī)定，無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，所以對無理數(shù)的研究可以引導(dǎo)學(xué)生類比有理數(shù)進行，主要可以研究它的運算等。此外，還有一些重要的數(shù)學(xué)知識與無理數(shù)有關(guān)：比如圓周率、黃金分割、勾股定理、平方根（立方根）運算、二次根式計算等。

總而言之，無理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是多重的、有層次的，不僅僅包括無理數(shù)的概念，還應(yīng)該包括無理數(shù)概念創(chuàng)生背后的數(shù)學(xué)學(xué)科思維、方法和價值。在教學(xué)過程中，教師可以轉(zhuǎn)換個人角色，讓學(xué)生先自行預(yù)習(xí)，再提出自己的疑惑，教師則是課堂的參與者，與學(xué)生一起答疑，這樣的教學(xué)會更有針對性，也會更加高效。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）

本文系江蘇省教育學(xué)會“十四五”教育科研規(guī)劃課題“基于初中視角下初高中數(shù)學(xué)銜接知識點的深度教學(xué)”（編號：21A06SXSZ173）階段性研究成果。