解直角三角形在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

黃金珠

【摘要】數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活，把課本知識與實(shí)際問題結(jié)合起來是理論聯(lián)系實(shí)際的途徑之一，是學(xué)生在課本知識學(xué)習(xí)的過程中形成應(yīng)用數(shù)學(xué)意識途徑之一.利用直角三角形的相關(guān)知識解決生活中的實(shí)際問題，是理論聯(lián)系實(shí)際的重要內(nèi)容，考查了學(xué)生的抽象能力.其解題關(guān)鍵在于抽象出幾何圖形，再通過有關(guān)三角函數(shù)知識找到解決方案，列出相關(guān)的等式，最終求出答案.本文列舉解直角三角形應(yīng)用于解決實(shí)際問題的常見案例，分析解題思路，并對解題的一般步驟做出總結(jié)，破解其解題過程，幫助學(xué)生在運(yùn)用直角三角形解決實(shí)際問題時(shí)找準(zhǔn)切入點(diǎn)，從容作答.

【關(guān)鍵詞】初中幾何；三角形；解題教學(xué)

1解直角三角形在實(shí)際問題中的常見概念

1.1仰角、俯角

仰角和俯角是觀察者的視線相對于觀察者的水平線所形成的夾角，“上仰下俯”，即視線高于水平線所形成的角叫仰角，視線低于水平線所形成的角叫俯角，如圖1.

1.2方向角

以觀測點(diǎn)O為中心，過觀測點(diǎn)作一條水平線（一般向右為東，向左為西）和一條鉛垂線（一般向上為北，向下為南），表示南北方向的鉛垂線，與觀測點(diǎn)到目的地之間的連線所形成的夾角叫做方向角，如圖2.

1.3坡角、坡度

水平面與坡面所形成的夾角α叫坡角，而坡度就是坡面的鉛直高度h除以坡面的水平寬度l，如圖3.

2直角三角形解實(shí)際問題的一般步驟

直角三角形解實(shí)際問題的思路一般是首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，得出的數(shù)學(xué)問題解即為實(shí)際問題解.因此解決實(shí)際問題的一般步驟如下：

（1）理解題干中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)名稱的概念和意義，比如前面提及的仰角俯角、坡角坡度等，然后根據(jù)題干的問題描述，畫出對應(yīng)的平面圖形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；

（2）將轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)問題與三角形的邊和角建立聯(lián)系，并運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系，構(gòu)造等式，解答問題.（對于銳角或鈍角的非直角三角形，可先采用輔助線法，將它們進(jìn)行分割或補(bǔ)充，構(gòu)造出直角三角形或矩形）；

（3）尋找出與解題有關(guān)的直角三角形，并解這些三角形，最后得到答案.

3直角三角形解實(shí)際問題例題解析

3.1運(yùn)用解直角三角形解決視角相關(guān)問題

例1如圖4所示，某測量隊(duì)為測量小區(qū)內(nèi)其中一棟居民樓的高度，設(shè)該居民樓最高點(diǎn)為點(diǎn)A，測量隊(duì)在居民樓附近一個(gè)小超市的樓頂D處測得A處的仰角為45°，底部B處的俯角為22°.已知小超市的高CD約為61米，請計(jì)算居民樓的高AB.（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

分析實(shí)際問題中利用三角函數(shù)求實(shí)際問題中視角的度數(shù)時(shí)應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，并根據(jù)已知條件求出這個(gè)角的三角函數(shù)值，再求出角的度數(shù).而已知視角的度數(shù)求邊長時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，求出這個(gè)角的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的定義求得相應(yīng)邊長.

解如圖4所示，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

有四邊形CDFB是矩形，

則CD=BF=61，

在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠ADF=45°，

所以AF=DF，

在Rt△DFB中，

tan22°=BFDF，

所以DF=BFtan22°=610.40=152.5，

則AB=AF+BF=152.5+61=213.5≈214，

即居民樓的高約為214米.

3.2運(yùn)用解直角三角形解決方向角相關(guān)問題

例2在我國的某段海岸沿線處有A、B、C三個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，且與A港口的距離為60海里.有一艘貨船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C港口處，求C港口與B港口之間的距離（結(jié)果保留根號）.

分析方向角問題應(yīng)結(jié)合實(shí)際問題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個(gè)三角形中或者在同一個(gè)斜三角形中，就需要添加輔助線.在解題的過程中，有時(shí)需要設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)造方程（組）來求解.

解如圖5，因?yàn)锽港口在A港口北偏西30°的方向上，

所以∠BAE=30°，

因?yàn)锽F∥AE，

所以∠ABF=30°，

又因?yàn)椤螰BC=75°，

所以∠ABC=45°，

因?yàn)椤螩AE=45°，

所以∠BAC=75°，∠C=60°，

過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

在Rt△ADB中，∠ABD=45°，AB=60，

則BD=AD=302，

在Rt△ADC中，∠C=60°，AD=302，

則CD=106，

BC=302+106，

即該船與B港口之間的距離為（302+106）海里.

3.3運(yùn)用解直角三角形解決坡角、坡度相關(guān)問題

例3如圖6，某居民房的后面是一個(gè)泥土山坡，坡上面是一塊平地，房子的主人為了防止山體滑坡，決定對該斜坡進(jìn)行改造以減緩坡面.經(jīng)專業(yè)人員的勘測，發(fā)現(xiàn)斜坡AB長26m，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB的坡比為12∶5.而只有當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，山體不易滑坡，如果改造時(shí)保持坡腳A不動，則坡頂B至少向左移多少米，才能確保山體不滑坡.（tan50°=1.2）

分析解決坡角、坡度相關(guān)問題時(shí)，要看清題目，理解題意，結(jié)合坡角、坡度的定義，以及坡角與坡度的內(nèi)在關(guān)系，充分使用題干提供的有關(guān)于坡角、坡度的數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式解答.

解如圖6，設(shè)點(diǎn)B沿BC向左移動至點(diǎn)H時(shí)，

恰好坡角∠HAD=50°，

過點(diǎn)H作HF⊥AD于點(diǎn)F，因?yàn)樾逼翧B的坡比為12∶5，

設(shè)BE=12aa>0，AE=5a，

根據(jù)勾股定理得AE2+BE2=AB2，

即（5a）2+（12a）2=262，

解得a=2，

所以BE=24，AE=10，

HF=BE=24，

所以，在Rt△AFH中

tan∠HAF=tan50°=HFAF=24AF=1.2，

解得AF=20，BH=EF=10，

故坡頂B至少向左移10m，才能確保山體不滑坡.