關(guān)于正方形模型問題的舉例探究

張叢叢

【摘要】正方形模型問題十分常見，常以正方形特性為基礎(chǔ)，融合特殊關(guān)系、特殊圖形等.問題解析需要深刻解讀模型，總結(jié)性質(zhì)特點(diǎn)，推導(dǎo)結(jié)論.本文舉例探究十字架模型、對角線模型、折疊模型問題，與讀者交流探討.

【關(guān)鍵詞】正方形；十字架；對角線

正方形是初中數(shù)學(xué)重要的幾何圖形，以期為基礎(chǔ)構(gòu)建的模型問題十分常見，該類問題往往具有知識考點(diǎn)綜合的特點(diǎn)，問題破解需要關(guān)注模型構(gòu)建的方式，把握其性質(zhì)定理，再結(jié)合相關(guān)知識來轉(zhuǎn)化推導(dǎo)，下面舉例探究正方形的三個模型問題.

1十字架模型

正方形十字架模型，即在正方形的內(nèi)部存在兩條交叉線段，兩者為垂直關(guān)系，外形類似于“十字架”結(jié)構(gòu).如圖1所示的正方形ABCD中，BN⊥AM，則該模型中存在兩大結(jié)論：①△ADM≌△BAN，②AM=BN.

十字架模型問題破解的基本策略是依托“十字架”線段來構(gòu)建全等三角形，利用全等特性開展等角等線段推導(dǎo).

例1如圖2所示，正方形ABCD中，點(diǎn)E和F分別在邊CD和AD上，BE⊥CF于點(diǎn)G.如果BC=4，AF=1，則CE的長為.

解析正方形ABCD中，已知BC=4，則BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°.由于BE⊥CF于點(diǎn)G，所以∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°，所以∠CBE=∠DCF.

在△BCE和△CDF中，有∠BCE=∠CDF

BC=CD

∠CBE=∠DCF，可證△BCE≌△CDF（ASA），由全等特性得CE=DF.因?yàn)镈F=AD-AF=3，所以CE的長為3.

評析上述問題圍繞正方形的“十字架”模型來構(gòu)建，F(xiàn)C與BE相交，為垂直關(guān)系.求線段長時采用了全等構(gòu)造法，即依托相交垂直的線段構(gòu)建全等三角形，推導(dǎo)等線段關(guān)系，進(jìn)而求線段長.探究學(xué)習(xí)時合理拓展“十字架”模型，關(guān)注交叉線段的特殊位置.

2對角線模型

正方形對角線模型，即基于正方形對角線構(gòu)建復(fù)合模型，模型中存在“等線段”與“兩線垂直”互推關(guān)系.如圖3所示的正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線對角線BD上的一點(diǎn)，在該模型中存在如下兩個互推結(jié)論：①PA⊥PEPA=PE；②PA=PEPA⊥PE，以及一個特殊結(jié)論：PA=PC.

對角線模型破解時可以借助“一線三等角”模型的證明策略，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行關(guān)系互推.

例2在圖4所示的正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上的一點(diǎn)，且CE=2BE，點(diǎn)F為對角線BD上的一點(diǎn)且BF=2DF，連接AE，與BD交于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，連接CH和CF.如果HG=2，則△CHF的面積為.

解析本題目中構(gòu)建了正方形的對角線模型，求解時可以把握模型中的結(jié)論.

過點(diǎn)F作PI⊥BC于點(diǎn)I，連接FE和FA，則FI∥CD，如圖4.

因CE=2BE，BF=2DF，所以可設(shè)BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，

則FE=FC=FA=5a，則點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，

則有HE=12AE=10a2.

正方形ABCD中，BG平分∠ABC，

則EGAG=BEAB=13，

所以HG=14AE=10a4=2，

解得a=4105，

所以S△CHF=S△HEF+S△CEF－S△CEH=565，即△CHF的面積為565.

評析上述依托正方形的對角線模型來構(gòu)建復(fù)合圖形，問題解析的關(guān)鍵是把握該模型的結(jié)論，利用等線段來推導(dǎo)幾何位置關(guān)系，即FE=FC=FA△AEF為等腰直角三角形.

3折疊模型

正方形折疊模型，即正方形中引入了圖形折疊的過程，如以某邊為折痕進(jìn)行三角形折疊，后續(xù)以折疊圖形來開展幾何探究，如點(diǎn)、邊的位置關(guān)系等.該類模型問題的破解，需要理解折疊過程，把握折疊特性，包括三角形全等、等邊等線段關(guān)系等，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步建模探究.

例3如圖5所示，已知正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF.則點(diǎn)G為BC的（位置點(diǎn)）.

解析本題目中以正方形為背景，引入了三角形折疊，折疊前后圖形為全等關(guān)系，則△ADE≌△AFE，后續(xù)利用該結(jié)論分析線段BG和CG的關(guān)系.

由題干條件可知DE=1，CE=2.根據(jù)折疊過程可知AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，所以AB=AF=AD.

在Rt△ABG和Rt△AFG中，有AG=AG

AB=AF，

可證Rt△ABG≌Rt△AFG，所以BG=FG.

設(shè)BG=FG=x，

則EG=EF＋FG=1＋x，CG=3－x，

在Rt△CEG中利用勾股定理可解得x=32，

所以CG=32=BG，即點(diǎn)G為BC的中點(diǎn).

評析上述問題中涉及正方形的折疊模型，模型的折疊特性是后續(xù)問題分析的關(guān)鍵.問題解析需要關(guān)注折疊的三點(diǎn)：折痕、對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)圖形.

4結(jié)語

總之，正方形模型問題的探究學(xué)習(xí)要注意對模型的探究總結(jié)，探究模型特點(diǎn)、構(gòu)建方式，總結(jié)破解思路及對應(yīng)結(jié)論.解題應(yīng)用時充分把握問題條件，提取正方形模型，利用模型的性質(zhì)結(jié)論推導(dǎo)探究.同時，注意對模型的拓展分析，關(guān)注模型的特殊情形，靈活變通，發(fā)散思維.2023年5月上例題精講《數(shù)理天地》初中版《數(shù)理天地》初中版例題精講2023年5月上·例題精講·