B類(lèi)Kadomtsev-Petviashvili非線性系統(tǒng)的弦方程和Virasoro約束①

倪雨星， 劉少偉

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

B類(lèi)Kadomtsev-Petviashvili(BKP)系統(tǒng)是一個(gè)被廣泛研究的受多重約束的非線性KP系統(tǒng)[1],這里的B表示奇維正交群,滿足額外(Lp)-=0,p∈Nodd約束的BKP系統(tǒng)形成的p約化BKP系統(tǒng).其中3約化BKP系統(tǒng)能導(dǎo)出著名的非線性偏微分方程Sawada-Kotera方程[2-3],并被廣泛用于共形場(chǎng)理論和二維量子引力規(guī)范場(chǎng)理論.弦方程是弦理論中的主要研究對(duì)象,也是連接可積層次與可解弦理論和相交理論的重要約束[3],還與一些類(lèi)KP系統(tǒng)的可積方程密切相關(guān),受到了廣泛的關(guān)注.在二維量子引力中,文獻(xiàn)[4]證明了?？臻g交集理論的配分函數(shù)恰好是弦方程約束KdV系統(tǒng)的τ函數(shù)的對(duì)數(shù).由于附加對(duì)稱性的不動(dòng)點(diǎn)集在KP系統(tǒng)是不變的,所以弦方程對(duì)由KdV系統(tǒng)可積方程產(chǎn)生的流是不變的,而弦方程恰好是這種平衡性的條件[5].近年來(lái),眾多學(xué)者試著把Kontsevich的結(jié)論推廣到更高維和多約束的情況,而B(niǎo)KP恰好是主要研究對(duì)象之一[6-8].文獻(xiàn)[9]給出了BKP系統(tǒng)的ASvM公式.文獻(xiàn)[10]受KP系統(tǒng)的啟發(fā),基于Dickey的方法給出了BKP系統(tǒng)的ASvM公式的另一種證明.文獻(xiàn)[11]研究了BKP系統(tǒng)的弦方程以及BW1+∞.文獻(xiàn)[3]又從Lax-Orlov-Schulman公式中附加對(duì)稱性的角度重新考慮BKP系統(tǒng)的弦方程.

然而,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[3,11]中的弦方程的引入會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)上的矛盾,即會(huì)使得L-p=0,從而使系統(tǒng)退化成為最平凡的情況,失去研究的意義.因此,本文將在如下p約化BKP系統(tǒng)可積系統(tǒng)里重新探討B(tài)KP系統(tǒng)的弦方程:

(1)

1 BKP系統(tǒng)的弦方程

本節(jié)主要證明現(xiàn)有文獻(xiàn)中BKP系統(tǒng)弦方程的定義會(huì)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)上的矛盾,并對(duì)BKP系統(tǒng)弦方程的定義進(jìn)行重新優(yōu)化,然后從此定義出發(fā)重新計(jì)算弦方程的附加對(duì)稱算子表達(dá)式.

本文將BKP系統(tǒng)的弦方程[11]認(rèn)定為

(2)

因?yàn)橄曳匠汤锏腖p是一個(gè)微分算子.由于LpL-p=1,故L-p不能等于0.如果L-p=0,則L就是一個(gè)等于0的算子,這失去了意義.為了規(guī)避L-p=0這個(gè)矛盾,文獻(xiàn)[3]利用如下方程

(3)

來(lái)導(dǎo)出BKP系統(tǒng)的弦方程.而由(3)式和(L-p)-=L-p可得(ML1-2p)-=pL-2p.然而通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)(3)式和BKP系統(tǒng)的弦方程經(jīng)過(guò)如下一些變換仍然會(huì)產(chǎn)生L-p=0這個(gè)矛盾:

1) 對(duì)(L-2pML)-做變換

(4)

2) 對(duì)(L-pML)-做兩種不同變換

(7)

命題1如果由弦方程限制的Lax算子Lp滿足p約化的BKP系統(tǒng),則下列等式成立

(8)

(9)

2 弦方程約束的算子

首先,用波函數(shù)來(lái)表示對(duì)稱性算子表達(dá)式(8)和(9),即讓(8)式和(9)式作用在波函數(shù)上,可得

(10)

(11)

再將(11)式代入(10)式中,可得到弦方程對(duì)p約化的BKP層次結(jié)構(gòu)的τ函數(shù)施加的約束方程[3]

(12)

根據(jù)算子G(k)的性質(zhì)可得

(13)

(14)

然后,從(14)式中確定具體的無(wú)冗余變量的弦方程約束算子.為此,先引入頂點(diǎn)算子

(15)

其中

(29)

(30)

其中{cnm,l|m,l∈N,n∈Z},{c′nj,l|j,l∈N,n∈Z}都能計(jì)算出.

(31)

(32)

(33)

(34)

定理1如果τ函數(shù)τ(t)是p約化BKP系統(tǒng)的且滿足弦方程,則

(35)

(36)

3 Virasoro代數(shù)和p約化的W代數(shù)

(37)

(38)

接著,計(jì)算二階與三階的弦方程約束的算子的對(duì)易子.

(39)

證通過(guò)復(fù)雜計(jì)算,可以有以下對(duì)易子[15]

(40)

然后根據(jù)(37)式將(40)式的左邊表示成

(41)

通過(guò)直接計(jì)算可得

(42)

將(42)式和(41)式代入(40)式里,可得

(43)

(44)

(45)

證計(jì)算得到以下對(duì)易子[15]

(46)

再將(33)式代入(46)式,可得

(47)

然后,利用(37)式和(38)式將(47)式的左邊寫(xiě)成如下形式

(48)

(49)

4 結(jié)束語(yǔ)