“描”出數(shù)形結(jié)合思想

黃力

【摘 要】“擺三角形的規(guī)律”是北師大版數(shù)學(xué)五年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”單元中“圖形中的規(guī)律”一課的一個探索活動，旨在通過擺小棒的探索活動，讓學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的全過程。五年級學(xué)生正處于從具體思維向抽象思維過渡的階段，如何順利把握知識的要點，提升思維層次顯得尤為關(guān)鍵。本文通過教學(xué)實踐闡釋如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“描”出數(shù)形結(jié)合思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 模型思想 探索規(guī)律

筆者通過對99個學(xué)生進(jìn)行前測，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生學(xué)習(xí)本課的知識儲備較為豐富，基本可以不借助小棒畫出圖形并能夠遞推出算式。但小部分學(xué)生不能結(jié)合圖形解釋自己所得算式，同時對于已知小棒數(shù)量“逆推”求三角形數(shù)量這類問題，更是難以下手。因此，在設(shè)計本課時，筆者按照“提出問題—研究特例—探尋規(guī)律—解決問題”的思路進(jìn)行設(shè)計，重點發(fā)掘?qū)W生在探索活動中的生成資源，利用“描”的方法，引導(dǎo)學(xué)生將圖與算式中的數(shù)字一一對應(yīng)，闡明自己的想法。同時，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)擺出三角形的個數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式，幫助學(xué)生解決“逆推”問題這一難點。那么，如何“描”出數(shù)形結(jié)合思想，實現(xiàn)以上目標(biāo)，讓學(xué)生在課堂中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)呢？基于以上思考，筆者對“擺三角形的規(guī)律”一課進(jìn)行了教學(xué)嘗試與實踐。

一、搶答游戲，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望

【教學(xué)片段】

師：我們來做一道搶答題，誰知道答案可以馬上舉手！

搶答題1： ……照這樣擺100個三角形，要幾根小棒？

（大部分學(xué)生舉手）

師：一起說！

生：300根小棒。

師：真聰明。（點名一個學(xué)生）你怎么算的？

生1：3×100=300。

師：（板書算式）誰來說說算式里的這三個數(shù)字表示什么？

生2：3代表擺一個三角形需要3根小棒，100代表擺100個這樣的三角形，300就是像這樣擺100個三角形需要300根小棒。

師：同意嗎？

生：同意！

（板書：100 下面寫“個數(shù)”，300下面寫“根數(shù)”）

搶答題2：…… 照這樣，擺100個連續(xù)的三角形要幾根小棒？

（小部分同學(xué)激動地舉手，教師點名幾個學(xué)生表述想法）

生1：299根。

生2：201根，1+2×100=201根。

……

師：這幾位同學(xué)說得對不對呢？這節(jié)課我們一起來探究擺三角形的規(guī)律。（先不對學(xué)生的回答展開處理，通過設(shè)疑的方式引出課題）

【教學(xué)思考】

作為“數(shù)學(xué)好玩”單元中的一課，教師要重視“好玩”二字。因此，在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者通過搶答的方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛。在搶答題1的討論環(huán)節(jié)，筆者通過詢問算式中數(shù)字的意思，讓學(xué)生初步感知 “擺三角形的規(guī)律”旨在研究三角形個數(shù)與所需小棒根數(shù)之間的關(guān)系。而搶答題2的出現(xiàn)，不僅激發(fā)了學(xué)生探索規(guī)律的欲望，而且通過依次呈現(xiàn)這兩種擺三角形的方式，為“擺了n個三角形，就重疊了（n-1）根”這種觀察角度做好了鋪墊。

二、動手操作，滲透數(shù)學(xué)思想

【教學(xué)片段】

師：為什么舉手的速度比剛才慢？

生：問題難了，需要想想。

師：有一位著名的數(shù)學(xué)家說過，遇到難題時，我們要學(xué)會“退”。（板書：退）你知道這是什么意思嗎？

生1：把三角形的個數(shù)改小一點，比如5個，看看有沒有什么規(guī)律。

師：這想法真棒！還有嗎？

生2：用小棒擺一下，數(shù)一數(shù)。

師：噢，你覺得可以動手?jǐn)[一擺！

師（小結(jié)）：大家的想法很具體，對于研究這個問題也很有幫助，我們可以動手?jǐn)[一擺、畫一畫、數(shù)一數(shù)，把三角形的個數(shù)改小，看能不能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

師：課前，老師給每位同學(xué)準(zhǔn)備了學(xué)習(xí)單，看看我們要做些什么。

（研究擺10個三角形）

畫：畫出擺成的圖形。

數(shù)：數(shù)出所需小棒根數(shù)。

列：列出相應(yīng)的算式。

寫：結(jié)合圖形和算式寫出你的發(fā)現(xiàn)。

師：還有一點，如果你需要借助小棒擺一擺，可以從抽屜里拿出小棒；如果你不用擺就能畫出圖形，就可以不用，聽明白了嗎？

生：明白了！

【教學(xué)思考】

老子說：“天下難事，必作于易?！碑?dāng)學(xué)生解決難度較大的問題時，教師要引導(dǎo)、培養(yǎng)其“退”的數(shù)學(xué)思想，也就是華羅庚指出的：善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方。擺100個三角形，有難度，但是可以從擺 1 個、2 個、3 個三角形想起，這是學(xué)生思維的起點，也是規(guī)律的源頭，這個過程須“縱橫有序”，讓學(xué)生真正經(jīng)歷獲取知識的過程并掌握方法。而在課前的測試調(diào)查中，大部分學(xué)生可以不借助小棒畫出圖形、列出算式。因此，在操作活動中，筆者給學(xué)生提供小棒，但不要求學(xué)生一定擺出來，而是根據(jù)自己的情況選擇用或者不用。

三、分享交流，“描”出數(shù)形結(jié)合思想

【教學(xué)片段】

（在同桌互相交流自己的探索發(fā)現(xiàn)后，師生圍繞三種不同的觀察角度進(jìn)行分析交流）

方法1：（1+2×10）

師：請你從上到下（縱），一行一行（橫）地說，最后總結(jié)一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)單，詳細(xì)展示了他所畫的圖形、列出的算式以及發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

師：你說得非常清晰，我們掌聲鼓勵她！

師：老師這里有一支紅筆、一支綠筆，請大家思考一下怎樣將剛才這位同學(xué)的想法，“描”在這個圖形上？（見圖1）

生：紅色代表算式里的“1”，這里有一個“2”、兩個“2”，有幾個三角形就有幾個“2”，所以10個就是“1+2×10=21（根）”。

師：紅色代表“1”，這個“1”我可以描在其他位置嗎？

生：可以，因為這根是多出來的，只要涂紅一根就可以。

方法1：（1+2×10） 數(shù)量關(guān)系式

師：你能將算式和圖形結(jié)合在一起理解，很了不起！

師：同學(xué)們互相討論一下，能不能概括出“個數(shù)”和“根數(shù)”之間的關(guān)系？

（組織學(xué)生討論）

生：我的想法是這樣的，1是第一個三角形少的那一根，2是指后面擺的每個三角形要2根小棒。所以，1+個數(shù)×2=總根數(shù)。

師：大家明白他的意思嗎？你真了不起，我們一起來看看是不是像他說的那樣?。ㄒ龑?dǎo)學(xué)生用代入法驗證數(shù)量關(guān)系式）

方法2：（3×10-9）

師：我們再來看看這位同學(xué)的探究過程。誰和他的一樣？

師：我們請他來給我們講解一下！

生：單獨來看，擺1個三角形需要3根，2個需要6根，重疊了一根。

師：重疊？什么意思？你能畫圖給我們講解一下嗎？

師：你們明白“重疊”是什么意思了嗎？那為什么要減9？

生：因為擺10個三角形重疊了9根，所以減9。

師：真的是這樣嗎？你可以描一下嗎？

生：像這樣擺一個三角形需要3根，擺第2個三角形也需要3根，那么這一根被描了兩次，所以要減1。（見圖2）

師：哦，我明白了。2個三角形重疊了1根，3個三角形重疊了2根…… 所以10個三角形就重疊了9根。

師：你觀察規(guī)律的角度真特別！

方法2：（3×10-9） 數(shù)量關(guān)系式

師：大家想想能不能概括出“個數(shù)”和“根數(shù)”之間的關(guān)系。

生：個數(shù)×3-（個數(shù)-1）=總根數(shù)。

方法3：（3+2×9）

師：老師和你們的想法不一樣，我的算式是“3+2×9”，誰知道老師是怎么想的？

生：第一個三角形需要3根小棒，后面每增加一個三角形，只需2根小棒。（見圖3）

師：大家明白他的意思嗎？你真了不起，我們一起來結(jié)合表格看看是不是像他說的那樣！

師：當(dāng)三角形個數(shù)是1時，有幾根小棒？（3根）當(dāng)三角形個數(shù)是2時，有幾根小棒？（5根）當(dāng)三角形個數(shù)是3時，有幾根小棒？（7根）

師：是不是像他說的那樣，第一個三角形需要3根小棒，后面每增加一個三角形，只需要2根小棒。好，我們掌聲謝謝這位同學(xué)。

方法3：（3+2×9） 數(shù)量關(guān)系式

師：想想能不能概括出“個數(shù)”和“根數(shù)”之間的關(guān)系。

生：3+2×（個數(shù)-1）=總根數(shù)。

【教學(xué)思考】

數(shù)形結(jié)合既是常用的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生理解的主要手段。本課采用“描”圖形的方式，現(xiàn)場動態(tài)演示，將幾何直觀與算式相結(jié)合，形象、生動地將學(xué)生的想法呈現(xiàn)出來，做到思維可視化。同時，筆者通過對三種不同方法的深入追問，引導(dǎo)學(xué)生把握每種角度的理解難點，如方法1——（1+2×10），關(guān)鍵是讓學(xué)生理解“1”表示什么；而方法2——（3×10-9） ，重點則是讓學(xué)生通過實物演示，理解重疊的含義以及重疊與“減1”的關(guān)系；方法3——（3+2×9），雖然是筆者提出來的，但解釋權(quán)交給學(xué)生，而且要重點追問“9”是什么意思，將“9”和“個數(shù)-1”建立聯(lián)系。

四、逆向應(yīng)用，突出數(shù)量關(guān)系

【教學(xué)片段】

師：想不到擺三角形還能擺出這么多學(xué)問！接下來，請大家獨立思考，解決這個問題（見圖4），或許你對這三個數(shù)量關(guān)系式會有更深的理解。

想一想

像這樣連續(xù)擺三角形 ……37根小棒可以擺出多少個三角形？（列出算式）

（動手吧）

（1）展示算式：（37-1）÷2=18（個）

關(guān)鍵提問：為什么要減1？請結(jié)合圖說一說。

（2）展示算式：（37-3）÷2+1=18（個）

關(guān)鍵提問：為什么要減3？最后為什么要加1？

（鼓勵其他學(xué)生對分享者提問）

【教學(xué)思考】

“擺三角形的規(guī)律”這一探索活動，主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的方法（由特殊到一般的方法）和一種解決問題的策略（即“退”的策略）。從表面上看，本教學(xué)片段是要學(xué)生驗證自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性，應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決問題，從而深化對規(guī)律的認(rèn)識；實際上，這是一種逆向思維的訓(xùn)練。因此，教師要利用好之前的探究成果，結(jié)合圖形以及數(shù)量關(guān)系式，通過學(xué)生質(zhì)疑、提問的方式，幫助學(xué)生深入理解此類問題。

本節(jié)課的目的就是讓學(xué)生經(jīng)歷“具體形象表示（擺、畫小棒）—用數(shù)學(xué)語言描述（‘描圖形、說算式）—用數(shù)學(xué)模型表示（數(shù)量關(guān)系式）—用模型加以應(yīng)用（逆推問題）”這一過程，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，給學(xué)生自主探究、動手實踐的空間，利用學(xué)習(xí)單、“描”圖形等方式，引導(dǎo)學(xué)生主動對自己的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)材料以及探索發(fā)現(xiàn)等進(jìn)行歸納、提升。