多孔功能梯度管柱的熱-流-固耦合屈曲特性?

常學(xué)平, 周 杰, 陳 美

(西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 四川 成都 610065)

功能梯度材料(Functionally gradient materials,FGM)是由兩種或兩種以上材料組成的復(fù)合材料[1]。它可以被設(shè)計(jì)成一種非均勻材料,其結(jié)構(gòu)沿優(yōu)選方向連續(xù)變化,其物理性質(zhì)的分布根據(jù)體積分?jǐn)?shù)定律進(jìn)行分級(jí)。同傳統(tǒng)復(fù)合材料相比,一個(gè)顯著的區(qū)別是功能梯度材料可以減少應(yīng)力集中[2-3],增加粘結(jié)強(qiáng)度[4],提高斷裂韌性[5],并提高耐腐蝕性[6]。此外,FGM所需的機(jī)械特性,包括材料密度、泊松比和楊氏模量,可以通過(guò)調(diào)整沿優(yōu)選方向的體積分?jǐn)?shù)變化來(lái)調(diào)整[7-8]。隨著材料制造技術(shù)的進(jìn)步,復(fù)合材料的制造方式也越來(lái)越多樣化,其中燒結(jié)法是制備功能梯度材料的一種靈活而合適的方法。然而,在使用無(wú)壓燒結(jié)技術(shù)[9]或多步驟順序填充技術(shù)[10]制造FGM的過(guò)程中,材料內(nèi)部不可避免地會(huì)出現(xiàn)孔隙和微孔。在這里,孔隙度對(duì)管道的影響有兩個(gè)方面:一方面是作為一個(gè)缺點(diǎn),由于制造FGM的制造技術(shù)問(wèn)題或質(zhì)量差,它可能會(huì)削弱結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能;另一方面是可以?xún)?yōu)化孔隙度的適當(dāng)分布,以實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的結(jié)構(gòu)和機(jī)械性能,包括有效的能量耗散和所需的強(qiáng)度和剛度[11]。因此,含孔隙流體輸送功能梯度材料管道在核反應(yīng)堆、飛機(jī)工程等工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

近幾十年來(lái),功能梯度材料在熱環(huán)境中的工程應(yīng)用讓人類(lèi)越來(lái)越重視功能梯度材料的物理性質(zhì)。在熱環(huán)境中,材料的力學(xué)性能(如彈性模量、熱膨脹系數(shù))并不穩(wěn)定,會(huì)隨著溫度的改變而改變,所以熱載荷下的熱屈曲問(wèn)題的研究十分重要。黃懷偉等[12]對(duì)不同梯度溫度場(chǎng)下的功能梯度薄壁管進(jìn)行了熱屈曲分析,分析了溫度場(chǎng)參數(shù)、材料參數(shù)對(duì)臨界溫度的影響。Li 等[13]利用邊界層理論對(duì)溫度場(chǎng)中承受外壓和軸壓耦合載荷的層合圓柱殼的屈曲進(jìn)行了研究,考慮非線性初始屈曲及幾何缺陷,采用奇異攝動(dòng)法獲得數(shù)值解。徐凱[14]對(duì)功能梯度材料厚壁圓柱殼進(jìn)行了熱屈曲分析,基于 Reddy 高階剪切理論,對(duì)不同參數(shù)條件的圓柱殼進(jìn)行了熱屈曲分析。李亞杯等[15]利用 Rayleigh-Ritz 法對(duì)復(fù)合材料薄壁管的熱屈曲和振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。侯子豪等[16]確定了碳納米管在濕熱環(huán)境中的后屈曲路徑。聶聰聰?shù)萚17]研究了纖維起始角和終止角的變化對(duì)管的屈曲臨界荷載的影響。劉子赫等[18]研究了管道保溫層變化對(duì)管道屈曲能力的影響。武行等[19]研究了不同缺陷位置及尺寸對(duì)管道屈曲壓力的影響。王小龍等[20]研究了含缺陷管道的屈曲失穩(wěn)臨界外壓的拐點(diǎn)方法。李學(xué)松等[21]研究了熱環(huán)境下對(duì)圓弧拱的非線性屈曲的影響。龔順風(fēng)等[22]研究了外壓作用下含缺陷管道的屈曲失穩(wěn),利用模擬實(shí)驗(yàn),測(cè)得屈曲失穩(wěn)時(shí)的壓力和形變。諸多學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的興趣導(dǎo)致屈曲失穩(wěn)成為連續(xù)結(jié)構(gòu)中的一個(gè)吸引人的話題。同時(shí),結(jié)構(gòu)元件的后屈曲強(qiáng)度對(duì)于設(shè)計(jì)和分析各種工程結(jié)構(gòu)具有重要意義。

對(duì)于多孔的功能梯度材料,目前研究人員主要研究的是關(guān)于線性和非線性響應(yīng)以及穩(wěn)定性。而且對(duì)于功能梯度材料在溫度場(chǎng)中的熱穩(wěn)定性、屈曲響應(yīng)均有研究。但是,在溫度場(chǎng)中,對(duì)存在缺陷的功能梯度管道,如幾何缺陷、制造缺陷等研究還十分匱乏。在工程中,研究在溫度場(chǎng)中存在缺陷的功能梯度管道的振動(dòng)特性,對(duì)工程指導(dǎo)具有重要的工程意義。為了更好的預(yù)測(cè)管道系統(tǒng)的力學(xué)性能,需要對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入的討論。

本文考慮了由中性面拉伸而引起幾何非線性的現(xiàn)象,故控制方程存在非線性項(xiàng)?；贓uler-Bernouilli理論,建立了在溫度場(chǎng)中的多孔功能梯度管道的數(shù)學(xué)模型。首先研究了孔隙度體積分?jǐn)?shù)、冪律指數(shù)和溫度對(duì)屈曲的靜態(tài)平衡的影響;其次研究了偽非線性動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng);最后通過(guò)數(shù)值解,討論了孔隙度體積分?jǐn)?shù)、冪律指數(shù)和溫度等重要參數(shù)對(duì)模型振動(dòng)分析的影響。

1 動(dòng)力模型的建立

圖1所示為多孔功能梯度管道熱-流-固耦合系統(tǒng)的示意圖,該管道的長(zhǎng)度為L(zhǎng),內(nèi)徑為Ri,外徑為Ro的直管。在均勻流速U內(nèi),管道兩端鉸接。假設(shè)材料成分的微觀結(jié)構(gòu)形態(tài)僅在厚度方向上連續(xù)變化,但是由于加工缺陷,橫截面內(nèi)存在均勻的空隙。同溫度相關(guān)的材料特性如表1和圖1所示。

表1 Si3N4和SUS304的熱擴(kuò)散系數(shù)、楊氏模量、質(zhì)量密度和泊松比的溫度相關(guān)系數(shù)

圖1 多孔功能梯度輸流管道物理模型

建立笛卡爾坐標(biāo)系,引入孔隙度α(α≤1),空隙均勻分布在陶瓷相和金屬相之間的FGM管道的材料的修正系數(shù)可以表示為[23]:

(1)

式中:Pm,Pc是金屬和陶瓷的材料特性;α是孔隙度;Vm和Vc分別是堿金屬和陶瓷的體積分?jǐn)?shù),成分表示為[24]:

Vc+Vm=1。

(2)

陶瓷相的體積分?jǐn)?shù)可以表示為:

(3)

式中:r為管道橫截面任意一點(diǎn)半徑;n為功能梯度材料冪律指數(shù)。

金屬和陶瓷材料的與溫度相關(guān)的材料特性(楊氏模量E、熱膨脹系數(shù)δ、導(dǎo)熱系數(shù)k、密度ρ)可通過(guò)Touloukian模型得到[25]:

Pf(T)=P0(P-1T-1+1+P1T1+P2T2+P3T3)。

(4)

式中:Pf代表功能梯度材料的楊氏模量E、熱膨脹系數(shù)δ、傳導(dǎo)率K以及密度ρ;P-1、P0、P1、P2、P3是溫度系數(shù);T是以開(kāi)爾文為單位的溫度。

(5)

式中:εxx為應(yīng)變;u和w分別為管道中間平面的軸向積橫向位移。

基于Euler-Bernoulli梁理論,功能梯度管道的位移場(chǎng)定義如下:

(6)

u2(x,z,t)=0,

(7)

u3(x,z,t)=w(x,t)。

(8)

根據(jù)Euler-Bernoulli理論,將式(6)～(8)代入式(5)中可以得到:

(9)

在溫度場(chǎng)中,溫度產(chǎn)生的熱應(yīng)變?yōu)?

εT=δ(r,T)(T(r)-T0) 。

(10)

對(duì)于溫度升高的功能梯度材料,根據(jù)式(4)應(yīng)力-應(yīng)變可以表示為:

σxx=E(r,T)ε(x)-E(r,T)δ(r,T)(T(r)-T0)。

(11)

功能梯度管道的應(yīng)變能u1可以表示為:

(12)

將式(12)代入,可以得到:

(13)

式中:

(14)

(15)

(16)

(17)

在該系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)時(shí),管道發(fā)生彎曲變形而伸長(zhǎng),會(huì)有附加的軸向力。因彎曲而誘導(dǎo)發(fā)生的應(yīng)變能u2可以表示為:

(18)

式中P0為初始軸向力。

系統(tǒng)總的應(yīng)變能U可以表示為:

U=U1+U2。

(19)

功能梯度輸流管的總動(dòng)能可以表示為:

T=Tf+Tp。

(20)

式中:Tf為管道內(nèi)流體產(chǎn)生的動(dòng)能;Tp為管道產(chǎn)生的動(dòng)能。具體為:

(21)

(22)

式中:v表示管道內(nèi)流體的流速;mf、mp分別表示管道和流體單位長(zhǎng)度的質(zhì)量,且

mf=ρfAf,

(23)

(24)

根據(jù)Hamilton原理:

(25)

將式(20)和(21)帶入到式(23)和(24)中,然后進(jìn)行分部積分,就可以得到控制方程:

(26)

(27)

邊界條件在(x=0,L)可以表示為:

(28)

(29)

對(duì)于具有2個(gè)簡(jiǎn)單支承的FGM管道,滿(mǎn)足的邊界條件為:

u(0)=u(L)=0,

(30)

w(0)=w(L)=0,

(31)

w″(0)=w″(L)=0。

(32)

在本文的研究中,假設(shè)功能梯度管的振動(dòng)是一個(gè)有限拉伸的問(wèn)題,只考慮橫向運(yùn)動(dòng)時(shí),可以得到:

(33)

對(duì)式(33)進(jìn)行2次積分可以得到縱向位移的表達(dá)式:

(34)

根據(jù)簡(jiǎn)支輸流管的邊界條件,可以得到:

(35)

(36)

將式(36)代入到式(29)中可以得到橫向振動(dòng)的控制方程為:

(37)

將控制方程無(wú)量綱化,引入無(wú)量綱參數(shù):

(38)

通過(guò)引入無(wú)量綱參數(shù),無(wú)量綱控制方程可以表示為:

(39)

2 傳熱模型

考慮內(nèi)表面溫度為T(mén)a,外表面溫度為T(mén)o的非理想功能梯度材料管。通過(guò)求解一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題,得到了功能梯度材料管截面的溫度分布。FGM管穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的熱邊界條件和微分方程可表示為[27]:

(40)

T(ra)=Ti,T(rb)=To。

(41)

式中k(r,T)由式(4)確定。將邊界條件(41)代入式(40)中可以得到:

(42)

式中:r表示管道橫截面任意一點(diǎn)的半徑;ra和rb分別表示材料管的內(nèi)、外半徑;C1和C2是2個(gè)積分常數(shù),由FGM管內(nèi)、外表面的熱邊界條件確定。因此,根據(jù)熱邊界條件,可獲得溫度分布函數(shù):

(43)

進(jìn)而可以得到熱合力的表達(dá)式為:

(44)

(45)

3 后屈曲靜態(tài)特性:

眾所周知,如果流體速度接近臨界值,則輸送流體的簡(jiǎn)單支承管道會(huì)出現(xiàn)發(fā)散不穩(wěn)定或屈曲[28]。為了確定后屈曲行為,通過(guò)刪除式(39)中同時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)來(lái)分析靜態(tài)問(wèn)題。因此,結(jié)果可以寫(xiě)成:

(46)

(47)

屈曲方程可以表示為:

(48)

式中:

λ2=u2+Λ-P-?。

(49)

式(4)的通解形式可以寫(xiě)為:

η(ξ)=C1+C2ξ+C3cos(λξ)+C4sin(λξ)。

(50)

邊界條件可以表示為:

(51)

將邊界條件代入到方程(48)中,可以的得到:

C1=C2=C3=0,C4sin(λξ)=0,λ=nπ,n=1,2,3……。

(52)

將式(9)帶回到式(4)中可以得到:

(53)

進(jìn)而得到后屈曲的精確表達(dá)式:

(54)

4 屈曲后的動(dòng)力學(xué)行為

為研究屈曲條件下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),假設(shè)位移的表達(dá)式為:

φ(ξ,t)=η(ξ)+φ(ξ,t)。

(55)

式中φ(ξ,t)表示在屈曲位形η(ξ)附近的擾動(dòng)。將式(55)帶入到方程(39)中,可以得到輸流管繞非平衡位置的控制方程:

(56)

利用式(56)去掉方程中的非線性項(xiàng)阻尼項(xiàng),可以得到后屈曲偽非線性控制方程:

(57)

由文獻(xiàn)[29]可知,簡(jiǎn)支梁屈曲后的模態(tài)函數(shù)與屈曲前是相同的。采用伽遼金截?cái)喾▉?lái)離散控制方程,假設(shè):

(58)

η(ξ)=μ1φ1(ξ)。

(59)

5 數(shù)值分析與討論

為了驗(yàn)證該方法的正確性與準(zhǔn)確性,本文作者將其同現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。同Dai等[30]的工作相比,圖2給出了流體速度變化時(shí)各向同性管道的前四階屈曲前和屈曲后頻率?？梢钥闯?目前的結(jié)果同文獻(xiàn)[31]中報(bào)告的結(jié)果非常一致,這接受了目前模型的準(zhǔn)確性。此外,臨界流體速度等于3.14,這同文獻(xiàn)[32]的結(jié)果一致。

圖3顯示了管道的前3個(gè)屈曲配置的靜態(tài)分叉圖。根據(jù)無(wú)量綱流速繪制四分之一跨度處管道的無(wú)量綱橫向位移。在沒(méi)有達(dá)到臨界流速時(shí),管道在其原始靜態(tài)平衡位置穩(wěn)定。當(dāng)軸向速度達(dá)到π時(shí),第一次達(dá)到屈曲的不穩(wěn)定性臨界值通過(guò)分支點(diǎn)分叉發(fā)生,導(dǎo)致?lián)隙任灰仆蝗簧仙３^(guò)這一點(diǎn),可以看到橫向位移的2個(gè)可能的穩(wěn)定解和一個(gè)不穩(wěn)定解。當(dāng)軸向速度增加到超過(guò)對(duì)應(yīng)于第二臨界屈曲的第二臨界值2π時(shí),管道有3種平衡狀態(tài):不穩(wěn)定的直線結(jié)構(gòu)、對(duì)應(yīng)于第一和第二屈曲結(jié)構(gòu)的另外兩種平衡狀態(tài)。當(dāng)流速超過(guò)臨界流速時(shí),屈曲幅度增大。隨著軸向速度增加超過(guò)第三臨界屈曲值時(shí),管道呈現(xiàn)出與3種屈曲構(gòu)型相關(guān)的3種非平凡平衡。對(duì)應(yīng)于圖3所示的3種屈曲配置。

圖2 隨流體速度變化的各向同性管道的 前和后屈曲頻率(β=0.030 5)

圖4顯示了在初始軸向力的作用下,管道的前3個(gè)屈曲配置的靜態(tài)分叉圖。在未達(dá)到初始臨界值時(shí),管道在其原始靜態(tài)平衡位置穩(wěn)定。當(dāng)初始軸向力達(dá)到第一臨界值時(shí),未偏轉(zhuǎn)位置變得不穩(wěn)定。超過(guò)該臨界載荷后,直線構(gòu)型變得不穩(wěn)定,輸流管獲得其他穩(wěn)定平衡位置,即已知的屈曲構(gòu)型。當(dāng)?shù)诙闻R界屈曲后軸向載荷增加時(shí),管道具有3個(gè)平衡。當(dāng)軸向荷載繼續(xù)增加超過(guò)第三臨界屈曲荷載時(shí),管道表現(xiàn)出同屈曲配置相對(duì)應(yīng)的3種非平凡平衡。由此可見(jiàn),無(wú)量綱撓度隨著初始軸向力的增加而增加。

圖3 FGM管道屈曲行為隨流速變化的分叉圖

圖4 FGM管道屈曲行為隨初始軸向力變化分叉圖 Fig.4 Bifurcation diagrams of buckling behavior of FGM pipe as a function of initial tension

圖5研究了FGM管道在不同冪律指數(shù)和孔隙度參數(shù)下的分叉圖。首次屈曲時(shí)的無(wú)量綱橫向位移隨速度和初始軸力的變大而變大。FGM管道的屈曲配置如圖5所示,顯示了不同的冪律指數(shù)和孔隙度參數(shù)的結(jié)果。冪律指數(shù)和孔隙度參數(shù)對(duì)臨界值的影響是顯而易見(jiàn)的。對(duì)于冪律指數(shù),當(dāng)所考慮的控制參數(shù)較低時(shí),FGM管道呈現(xiàn)出穩(wěn)定且未發(fā)生分叉的靜態(tài)平衡。然而,當(dāng)參數(shù)值超過(guò)一定值時(shí),管道在經(jīng)歷叉式分叉后又表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)和后屈曲。此外,當(dāng)冪律指數(shù)逐漸增大時(shí),FGM管道的后屈曲位移增加,表明陶瓷組件到金屬組件的過(guò)渡后屈曲行為。值得注意的是,冪律指數(shù)變化的大小影響后屈曲響應(yīng)的絕對(duì)值,這表明僅通過(guò)控制冪律指數(shù)就可以獲得所需要的響應(yīng)。隨著冪律指數(shù)增大,同管道不穩(wěn)定性相關(guān)的控制參數(shù)顯著降低。這意味著隨著冪律指數(shù)的增加,管道在較低的控制參數(shù)下發(fā)生屈曲。

圖5 冪律指數(shù)對(duì)第一階屈曲配置的 靜態(tài)分叉的影響

由表1可知,SUS304的楊氏模量遠(yuǎn)小于Si3N4的楊氏模量,這表明當(dāng)冪律指數(shù)逐漸增大時(shí),材料由Si3N4組件向SUS304組件過(guò)渡,楊氏模量逐漸減小,導(dǎo)致材料的剛度降低,從而使得管道的抗屈曲能力減小。

根據(jù)式(45),將流速和初始軸向力作為物理控制參數(shù)。圖6顯示了不同孔隙度參數(shù)下FGM管道屈曲行為的分叉圖?？梢杂^察到,這樣的控制參數(shù)可以改變臨界值。故FGM管道在控制參數(shù)較大時(shí)表現(xiàn)出穩(wěn)定和未變形的靜態(tài)平衡狀態(tài);然而,當(dāng)流速超過(guò)第一臨界值時(shí),管道在經(jīng)歷叉式分叉后呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)和后屈曲。

在后屈曲狀態(tài)下,圖7為第一階屈曲配置周?chē)鸁o(wú)量綱自然頻率隨流體流速和初始軸向力的變化。在后屈曲區(qū)域,第一自然頻率隨著控制參數(shù)的改變而改變,而第二、三自然頻率基本保持不變,即流體流速和初始軸向力在后屈曲狀態(tài)下對(duì)高階的頻率影響比較小。

圖6 孔隙度體積分?jǐn)?shù)對(duì)第一階 屈曲配置的靜態(tài)分叉的影響

圖8(a)顯示了流體流速和初始軸向力對(duì)第一階屈曲配置周?chē)牡谝浑A無(wú)量綱頻率的影響。初始軸向力從零開(kāi)始增大時(shí)(此時(shí)為拉力),使系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的臨界值也隨著初始軸向力的增加而增加。不同冪律指數(shù)和孔隙度下流體流速第一階無(wú)量綱頻率的影響。在后屈曲區(qū)域中,流速較低時(shí),冪律指數(shù)對(duì)頻率的影響較小,而孔隙度參數(shù)對(duì)頻率的影響在低流速比高流速更明顯。圖8(c)顯示了溫度對(duì)頻率的影響,當(dāng)輸流管存在內(nèi)外溫差時(shí),就會(huì)產(chǎn)生熱軸力。由圖8(c)中可知,隨著內(nèi)外溫差的加大,使得在較小流速下,系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生失穩(wěn)。而隨著流速的增加,系統(tǒng)頻率也會(huì)迅速增加。

為了展示孔隙度體積分?jǐn)?shù)和溫度變化對(duì)屈曲前后固有頻率以及臨界溫度的影響。圖9給出了在不同的孔隙度(α=0,0.1,0.2)下,頻率和溫度的變化關(guān)系。在發(fā)生屈曲前,無(wú)量綱頻率隨著溫度的升高而降低,直至接近零。接近零點(diǎn)的點(diǎn)為該系統(tǒng)發(fā)生屈曲的臨界點(diǎn)。在臨界溫度后,頻率隨著溫度的增加而增加。從圖9中還可以看出,臨界溫度隨著空隙度的增加而升高。從式(4)可知,孔隙度的改變會(huì)改變材料的楊氏模量、密度和熱膨脹系數(shù)等,進(jìn)而影響系統(tǒng)的剛度。

圖7 管道一階屈曲位形配置前三階固有頻率 隨控制參數(shù)的變化

圖10展示了不同的功能梯度體積分?jǐn)?shù)下,溫度的變化對(duì)頻率的影響。在沒(méi)有達(dá)到臨界溫度時(shí),無(wú)量綱頻率隨著溫度的增加而減小,在達(dá)到臨界溫度之后,這種行為則完全相反。由式(3)可知,當(dāng)梯度指數(shù)為零時(shí),輸流管材質(zhì)為陶瓷單一材料。而當(dāng)梯度指數(shù)為∞時(shí),輸流管的材質(zhì)為金屬單一材料。從圖9可以看出,臨界溫度隨著梯度指數(shù)的增加而減小,這是因?yàn)楫?dāng)梯度指數(shù)增加時(shí),材料中的金屬含量增加,而金屬更易受溫度的影響,陶瓷的耐熱性能更好。

圖8 超臨界輸流管一階固有頻率隨控制參數(shù)的變化

圖9 孔隙度和溫度變化對(duì)屈曲前后的無(wú)量綱頻率的影響

圖11顯示了不同的長(zhǎng)徑比下,溫度變化對(duì)頻率的影響。長(zhǎng)徑比小會(huì)使頻率下降得更加緩慢,而且頻率變化的曲線向高溫方向移動(dòng)。長(zhǎng)徑比大會(huì)使得輸流管的結(jié)構(gòu)剛度降低。故長(zhǎng)徑比越大,發(fā)生屈曲的臨界值就越小。

圖10 功能梯度指數(shù)和溫度變化對(duì)屈曲 前后的無(wú)量綱頻率的影響

系統(tǒng)就越容易發(fā)生屈曲,在實(shí)際工程中,通過(guò)調(diào)整長(zhǎng)徑比來(lái)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性也是較為常見(jiàn)的方法。

圖11 長(zhǎng)徑比和溫度變化對(duì)屈曲前后的無(wú)量綱頻率的影響

6 結(jié)論

(1)對(duì)于較低的流速和初始軸向力,FGM管道保持穩(wěn)定,靜態(tài)分叉變形率為零。當(dāng)流速和初始軸向力進(jìn)一步升高超過(guò)各自的臨界值時(shí),系統(tǒng)發(fā)生叉式分叉并進(jìn)入不穩(wěn)定的屈曲狀態(tài)。

(2)在一階屈曲配置附近,橫向位移與冪律指數(shù)成正比。相反,隨著冪律指數(shù)的增加,控制參數(shù)的臨界值降低。而孔隙度體積分?jǐn)?shù)與橫向位移成反比。與冪律指數(shù)不同的是,隨著孔隙度體積分?jǐn)?shù)的增加,控制參數(shù)的臨界值有明顯提高。

(3)屈曲前后某一階模態(tài)的固有頻率是近似相等的。而控制參數(shù)對(duì)后屈曲的高階頻率幾乎沒(méi)有影響。

(4)初始軸向力、溫度、冪律指數(shù)、孔隙度體積分?jǐn)?shù)和長(zhǎng)徑比對(duì)第一階屈曲位形的動(dòng)態(tài)特性有顯著的影響。