指向?qū)W生思維進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)策略

楊宏偉　趙國防

【摘 要】習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生思維的重要載體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以在尊重習(xí)題原創(chuàng)并融合個人思考的基礎(chǔ)上，靈活巧妙地設(shè)計(jì)習(xí)題，從而促進(jìn)學(xué)生在問題解決過程中更好地培養(yǎng)思維的靈活性、系統(tǒng)性、深刻性，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；思維進(jìn)階；習(xí)題設(shè)計(jì)；靈活性；系統(tǒng)性；深刻性

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）14-0045-05

【作者簡介】1.楊宏偉，江蘇省無錫連元街小學(xué)（江蘇無錫，214000）教導(dǎo)處副主任，一級教師，無錫市教學(xué)新秀；2.趙國防，江蘇省無錫通德橋?qū)嶒?yàn)小學(xué)（江蘇無錫，214000）校長，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)說到底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)?！蹦暇┐髮W(xué)鄭毓信教授指出：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，提升思維的綜合性與靈活性、自覺性與創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性與深刻性等。作為訓(xùn)練學(xué)生思維的重要載體，習(xí)題的價(jià)值不言而喻。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意巧妙設(shè)計(jì)習(xí)題，使其更好地體現(xiàn)知識的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生在問題解決過程中更好地培養(yǎng)思維的靈活性、系統(tǒng)性、深刻性，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階。

一、從“一題”到“多題”：在巧妙變化中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

靈活多變不僅僅是對習(xí)題的基本要求，也是訓(xùn)練學(xué)生思維的一種重要方式。教材中呈現(xiàn)的例題與習(xí)題由于側(cè)重知識的應(yīng)用與實(shí)踐，常常比較簡約。在教學(xué)中，教師可以在尊重教材原創(chuàng)的基礎(chǔ)上，融入個人的思考與理解，創(chuàng)造性地將“一題”轉(zhuǎn)化為“多題”，引導(dǎo)學(xué)生站在聯(lián)系的角度感受知識的整體性與連貫性，挖掘其隱性的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升他們思維的聚力點(diǎn)，培養(yǎng)他們思維的靈活性，促進(jìn)其思維向縱深發(fā)展。

如教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體的表面積”時，有這樣一道習(xí)題：一個棱長6厘米的正方體，它的表面積是多少平方厘米？教師引導(dǎo)學(xué)生解答并評析后，依據(jù)知識特點(diǎn)和學(xué)情依次呈現(xiàn)下面兩個問題：（1）把一個棱長6厘米的正方體平均分成兩個一樣的長方體，（如圖1）這兩個長方體的表面積之和比原來增加了多少平方厘米？借助圖例，讓學(xué)生初步感知：這兩個長方體的表面積之和比原來增加了正方體2個面的面積，初步建立知識表象，理清基本概念。（2）把一個正方體平均分成兩個一樣的長方體，其中一個長方體的表面積是144平方厘米，原來正方體的表面積是多少平方厘米？基于概念，用已有知識進(jìn)行解答，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以分析、思考，再次聚焦“分成的兩個長方體的表面積之和比原來的正方體多出其2個面的面積”這一基本概念，促進(jìn)他們感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性。教師收到作業(yè)1（如圖2）和作業(yè)2（如圖3）。毫無疑問，兩種解題方法都合情合理。蘇聯(lián)教育家烏申斯基強(qiáng)調(diào)：比較是一切思維和理解的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。學(xué)生比較后會發(fā)現(xiàn)：作業(yè)1注重知識的生長點(diǎn)，依托原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行常規(guī)性的解答，其中一個長方體的表面積其實(shí)就是原來正方體4個面的面積之和；作業(yè)2注重知識的延伸點(diǎn)，另辟思維路徑，充分、巧妙地轉(zhuǎn)化關(guān)鍵點(diǎn)。

教師巧妙地一題多用，不斷挑戰(zhàn)與刷新學(xué)生的原有認(rèn)知。一方面，通過“這兩個長方體的表面積之和比原來增加了多少平方厘米？”縱向比較，促進(jìn)學(xué)生整體理解這兩個長方體的表面積之和比原來增加的其實(shí)就是原來正方體2個面的面積，積累初步的活動經(jīng)驗(yàn)，感知概念的表象；另一方面，通過“其中一個長方體的表面積是144平方厘米，求原來正方體的表面積”橫向比較，促進(jìn)學(xué)生全方位運(yùn)用概念，體會到兩個長方體的表面積之和其實(shí)就是原來正方體的表面積加上新增的2個面的面積，即正方體8個面的面積之和。促進(jìn)學(xué)生在辨析、思考、對話、交流的過程中，不斷碰撞出思維的火花，產(chǎn)生新思路、新方法，逐步形成對數(shù)學(xué)概念的全方位理解。圍繞“一題”設(shè)計(jì)“多題”，充分打開了學(xué)生的思維，在一定程度上培養(yǎng)他們思維的靈活性。

二、從“新題”到“舊題”：在新舊關(guān)聯(lián)中培養(yǎng)學(xué)生思維的系統(tǒng)性

深度學(xué)習(xí)的一個重要特征就是系統(tǒng)化思維，訓(xùn)練系統(tǒng)化思維也是促進(jìn)兒童思維發(fā)展的一條重要路徑。在習(xí)題設(shè)計(jì)中，教師要巧妙而及時地鏈接之前的學(xué)習(xí)，從知識系統(tǒng)化的角度出發(fā)，實(shí)現(xiàn)從“新題”到“舊題”的理性回歸，引導(dǎo)學(xué)生更加精確、綜合、深入地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)，為培養(yǎng)其思維的系統(tǒng)性提供來自知識本身的結(jié)構(gòu)化支撐。

例如，蘇教版五下“圓”單元的“整理與練習(xí)”中有如圖4所示的一道思考題，要求學(xué)生綜合運(yùn)用本單元所學(xué)的知識解決問題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）強(qiáng)調(diào)：在小學(xué)階段要加強(qiáng)字母式運(yùn)算，加強(qiáng)代數(shù)推理。因此，在解決問題的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助字母r來表示圓的半徑，先求出r2，再計(jì)算圓的面積，（如圖5）整個分析過程看似平淡無奇，卻動態(tài)呈現(xiàn)了知識的本質(zhì)，促使學(xué)生初步嘗試用字母表示來解決問題，滲透了轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，有效推動學(xué)生從知識的表層走向知識的內(nèi)涵，促進(jìn)了他們的思維進(jìn)階。然而，對于“用字母表示”這一解決問題的方法，學(xué)生很多都只是瞬時記憶，后續(xù)難以真正“用起來”?；谡鎸?shí)學(xué)情，教師需要找到更有效、更直接的方法，既能推動學(xué)生串聯(lián)知識，促進(jìn)數(shù)學(xué)方法的遷移，又能使得數(shù)學(xué)知識與學(xué)生思維訓(xùn)練之間有效聯(lián)結(jié)。“圓”單元就有如圖6所示的這樣一道例題。

在實(shí)際教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生通過操作及問題間的比較，初步感知圓的面積是它半徑平方的3倍多一些，即圓面積是正方形面積的π倍。這一題設(shè)是基于學(xué)生循序漸進(jìn)的思考過程而形成的，但這僅僅局限于題設(shè)表面，我們需要掌握知識的本質(zhì)，由“表”及“里”，有結(jié)構(gòu)地呈現(xiàn)此類問題的基本數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解分析與解決此類問題的方法。

鄭毓信教授強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)“求全”，而要“求聯(lián)”。在上述例題中，當(dāng)小正方形的邊長等于圓的半徑，圓面積是正方形面積的π倍，由這一表象關(guān)聯(lián)到一類問題，就能換一種思路來解答了。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：要讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，形成模型意識，構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，分析和解決問題。這樣學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)，可以先求小正方形的面積，再根據(jù)數(shù)學(xué)模型求出圓的面積是5π。（如圖7）

借助習(xí)題，巧妙鏈接之前的例題，這時新舊知識完全打通，學(xué)生的思維得到了有效遷移，培養(yǎng)了他們思維的系統(tǒng)性?；谝陨纤伎?，筆者設(shè)計(jì)了兩道新題，以例題為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度研究，探究知識的本源，建立適配的數(shù)學(xué)模型，旨在推動學(xué)生深刻體會和感悟數(shù)學(xué)，提高其分析與解決問題的能力。

（1）三角形的面積是5，圓的面積是多少？（如圖8）

（2）圓的面積是62.8，陰影部分的面積是多少？（如下頁圖9）

上述教學(xué)中，借助一道例題巧妙連接舊題，并精心設(shè)計(jì)新題，徹底實(shí)現(xiàn)了由“新”到“舊”、由“舊”到“新”的思維體系。同時，以習(xí)題的呈現(xiàn)為明線，以思維的進(jìn)階為暗線，明暗交織，共同指引學(xué)生的思維路徑走向“連續(xù)”，從而促進(jìn)學(xué)生從多個角度建構(gòu)清晰、完整的數(shù)學(xué)模型，形成有序的思考路徑，為其系統(tǒng)性思維的發(fā)展提供了拓展支撐?？傊?，通過“新”“舊”系統(tǒng)化的鏈接，在關(guān)聯(lián)與創(chuàng)新中切實(shí)培養(yǎng)了學(xué)生思維的系統(tǒng)性。

三、從“單題”到“題組”：在對比理解中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程其實(shí)是一種深刻理解的過程。為了促進(jìn)學(xué)生形成清晰的認(rèn)知，教師教學(xué)時要注意借助必要、及時的對比，切實(shí)培養(yǎng)其思維的深刻性。我們要以課堂為載體，借“題”變“題”，延展習(xí)題外延，促進(jìn)學(xué)生理解習(xí)題內(nèi)涵，凸顯其思維能力的培養(yǎng)。同時，要通過巧妙的習(xí)題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從“理解”走向“深思”，從“對比”走向“深刻”，明晰探究思路，優(yōu)化思維進(jìn)階路徑，推動其思維輕松進(jìn)階。蘇教版六上“分?jǐn)?shù)除法”單元呈現(xiàn)了如圖10所示的一道例題，注重基礎(chǔ)知識的生成，反映關(guān)鍵推導(dǎo)能力層面的設(shè)計(jì)?；诹?xí)題外延以及指向不同核心素養(yǎng)要素的目標(biāo)的有機(jī)整合，筆者進(jìn)行了借“題”變“題”。

4米長的彩帶，每2/3米剪一段，可以剪成多少段？

（1）在下圖中分一分，表示出結(jié)果。

（2）結(jié)合圖意，說說計(jì)算過程4÷2/3=4×3/2=4×3/2=6（段）中，4×3/2中的4×3表示（? ?），4×3/2中的3/2表示（? ?）。（把正確答案前的字母填在括號內(nèi)）

A.4米里面包含12個2/3米；

B.4米里面包含12個1/3米；

C.4米里面包含12個1/2米；

D.每段長3/2米；

E.每米可以剪成3/2段；

F.一共可以剪成3/2段

（3）你能利用商不變的規(guī)律來說明4÷2/3=4×3/2嗎？請寫出推導(dǎo)過程。

這樣做，主要體現(xiàn)了以下三點(diǎn)思考：

一是夯實(shí)基礎(chǔ)，激活思維。上題中的題（1）讓學(xué)生在新的學(xué)習(xí)場域中理解數(shù)學(xué)知識，實(shí)則是理解數(shù)學(xué)。在課堂教學(xué)中，不少教師會采用數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生初步理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的方法，但學(xué)生往往只是機(jī)械記憶整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，而忽略計(jì)算方法的形成過程。基于此，上述題（1）從指向知識表面走向深度解析，精準(zhǔn)把握“切入點(diǎn)”，助力學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)深度理解。解題時，首先要請學(xué)生理解2/3米的含義，根據(jù)圖意，選擇1米的2/3作為切入點(diǎn)，細(xì)化單位，畫出示意圖（如圖11）；然后引導(dǎo)學(xué)生理解“圖”與“算”相結(jié)合，用“圖”驗(yàn)證“算”，注重知識的形成過程，促進(jìn)他們理解知識本質(zhì)。

二是引發(fā)探究，延展思維。題（2）需厘清探究思路，深入知識本質(zhì)，聚焦每一個環(huán)節(jié)所指向的問題。題（2）中的第一問要求學(xué)生結(jié)合圖意進(jìn)一步理解算理，構(gòu)建新的學(xué)習(xí)主體環(huán)節(jié)。圖中的4米可以分成4個1米，其中的每一小段表示1米的1/3，即1/3米，1米里有3小段，4米里就有4×3=12（段），所以4×3表示4米里面包含12個1/3米。第二問凸顯“會想”，要求學(xué)生明晰思維路徑，多角度探究其本質(zhì)。4×3/2中的3/2表示什么呢？不妨換一個角度來思考，每段表示2/3米，即每米可以剪成3/2段，這樣4米就可以剪成4×3/2=6（段）?；趯W(xué)科本質(zhì)，通過相互關(guān)聯(lián)的兩道題，聚焦知識外延，關(guān)注問題驅(qū)動下的深度理解，指導(dǎo)學(xué)生開展真實(shí)有效的問題探究，搭建學(xué)習(xí)“支架”——數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)其順利實(shí)現(xiàn)“會算”和“明理”的雙重發(fā)展。

三是問題解決，思維進(jìn)階。題（3）深入挖掘教材，注重追溯知識的本質(zhì)內(nèi)核，把學(xué)生的視域從“知識點(diǎn)”拓展到“系統(tǒng)網(wǎng)”。在此過程中，新舊知識不斷碰撞、驗(yàn)證、運(yùn)用與重構(gòu)，引發(fā)學(xué)生的思維在對比理解中不斷走向深刻。利用商不變的規(guī)律來說明4÷2/3=4×3/2，此題的重點(diǎn)在于驗(yàn)證，并追溯商不變的規(guī)律。一方面實(shí)現(xiàn)“會用”，聚焦一個知識點(diǎn)或核心概念來解決說明新問題，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的完整過程，通過關(guān)聯(lián)新舊知識，使他們初步體會知識的一致性，實(shí)現(xiàn)知識進(jìn)階；另一方面強(qiáng)調(diào)“活用”，在理清知識脈絡(luò)的同時，內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知與探究，多角度引發(fā)他們深度思考，使其形成清晰、穩(wěn)定、可遷移的學(xué)科知識框架，促進(jìn)其素養(yǎng)提升。

綜上所述，教師在進(jìn)行習(xí)題設(shè)計(jì)時，要注意指向?qū)W生的思維進(jìn)階，要在尊重教材完整體系的基礎(chǔ)上融入個人思考，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性改編、創(chuàng)新性設(shè)計(jì)，從而引發(fā)學(xué)生深度思維，促進(jìn)其核心素養(yǎng)全面提升。