波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學幾何解題中的應用
——以一道中考題為例

楊 娟 鐘文雯

(成都市新都一中實驗學校,四川 成都 610500)

1 問題提出

通過對中考中難題的完成情況以及解題方法、策略的了解,學生發(fā)現(xiàn)他們在平時的解題中存在思路不清晰、思維過程不完整、沒有對問題進行及時的回顧反思和深入思考等現(xiàn)象,導致在時間有限的中考中,很難在短時間內(nèi)找到解決問題的方法并得出最終的正確答案.因此筆者希望能夠通過利用經(jīng)過長期實踐驗證的對學生解題有切實幫助的解題方法——波利亞“怎樣解題表”,彌補學生思考的不完整性,幫助學生在日常的解題學習中,形成完整的解題思路,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學思維,從根本上提高他們的數(shù)學素養(yǎng).

2 波利亞“怎樣解題表”

首先,理解題目.理解題目是解題的首要前提.從題目的敘述開始,熟悉題目,找出“未知量”,深入理解題目,將題目的主要部分分離出來,“已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?[1]”

其次,擬定方案.擬定方案是解題的關鍵步驟.首先通過觀察未知量,并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目[1].通過對比兩者的共同點和區(qū)別,總結出類似題目的解決方法和策略,并嘗試應用到待解題目中,找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的直接或間接聯(lián)系,必要時考慮輔助題目,最終得出一個解題方案.這個過程需要聯(lián)系舊知,符合學生最近發(fā)展區(qū).

再次,執(zhí)行方案.執(zhí)行方案是解題的具體實施過程.執(zhí)行之前擬定的方案是對解題方案的合理性和正確性的檢驗,培養(yǎng)學生整理零散思路,形成條理性思維.

最后,回顧.回顧是對解題過程的檢驗和完善,是對數(shù)學思維和素養(yǎng)培養(yǎng)的提升.通過檢驗解題中所得到的結果和論證、用不同的方法推導結果實現(xiàn)一題多解并進行方法優(yōu)劣的比較從中擇優(yōu)擇簡、考慮所得結果和方法在其它題目中的適用性最終實現(xiàn)對知識的遷移.但這個步驟在實際解題往往是最容易被忽略的.

“怎樣解題表”的四個環(huán)節(jié)是在完整解答一道題目時必定會涉及到的,是思維的層層遞進,且更多的是教師啟發(fā)性的提問,而不是一種解題的固定模式,所以教師在啟發(fā)學生解答題目時,并非要涉及到表中的所有問題,而應根據(jù)不同題目靈活運用,創(chuàng)造性地使用“怎樣解題表”[2].

3 波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學解題及教學中的具體應用

例1面積為6的ABCD紙片中,AB=3,∠BAD=45°,按下列步驟進行剪裁和拼圖.

圖1 ABCD剪開圖 圖2 平行四邊形剪開圖 圖3 三角形DCF翻轉圖

第二步:如圖2,將△ABE紙片平移至△DCF處,將△ADE紙片平移至△BCG處;

第三步:如圖3,將△DCF紙片翻轉過來使其背面朝上置于△PQM處(邊PQ與DC重合,△PQM與△DCF在CD同側),將△BCG紙片翻轉過來使其背面朝上置于△PRN處(邊PR與BC重合,△PRN與△BCG在BC同側).

則由紙片拼成的五邊形PMQRN中,對角線MN長度的最小值為____.

3.1 第一步:耐心審題,理解題目

首先要明確目標:“該題的未知量是什么?”

“五邊形的一條對角線的最小值.”

“已知數(shù)據(jù)是什么?”

“條件是什么?”

“未知量和條件之間的聯(lián)系是什么?或者說通過現(xiàn)有的條件是否能夠確定未知量?”

3.2 第二步:探索思路,擬定方案

“我們已經(jīng)知道了未知量是五邊形的一條對角線的最小值,那你們能想到一道和該題未知量相同的題嗎?”

“沒有吧,我們沒有學過怎樣求五邊形的對角線.”

“那能想到一道和該題未知量相似的題嗎?拋開“五邊形”這個前提,把重點放到“對角線”上,請大家仔細想想,有沒有學過求其它多邊形的對角線?”

“有的,我們學過求正方形、長方形、還有菱形的對角線.”

“非常好!大家想到了以前學過的三個特殊的四邊形,那還能想起它們的對角線是怎么求的嗎?”

“連接MN后得到△MNP(如圖4),但不知道它是否為直角三角形.”

圖4 圖3變式1圖 圖5 圖3變式2圖 圖6 圖3變式3圖

“所以下一步需要去嘗試判斷它是否為直角三角形?如果△MNP是直角三角形,那此時未知量是什么呢?”

“未知量是Rt△MNP(如圖5)的斜邊MN.如果我們知道了直角邊MP和直角邊NP的值,那我們就可以用勾股定理求出MN啦!”

“那直角邊MP和直角邊NP的值是否已知呢?”

“未知,但通過題目中的已知數(shù)據(jù)和條件應該是可以求出MP和NP的值,是等于AE.所以只要求出AE的最小值,MN的最小值就求出來啦!”

“非常棒!現(xiàn)在解決這道題的方案就擬訂好了:先證明△MNP是直角三角形,MP=NP=AE;再求AE的最小值.”

3.3 第三步:執(zhí)行方案,細化推理

待解決的問題一:證明△MNP是直角三角形,MP=NP=AE.

回歸定義:平移、翻折是全等變換,變換前后的全等圖形中對應邊、對應角相等.

證明:由題意可知:△ADE≌△BCG≌△PRN,△ABE≌△DCF≌△PQM,

因為∠MPQ=∠EAB,∠RPN=∠DAE,PM=PN=AE,

所以∠MPQ+∠RPN=∠EAB+∠DAE=45°,又因為ABCD,所以∠DAB=∠DP(C)B=45°,

所以∠MPN=∠MPQ+∠RPN+∠DPB=45°+45°=90°,

待解決的問題二:求AE的最小值

回歸定義:垂線段最短.

3.4 第四步:回顧反思,深化理解

3.4.1 轉換角度,一題多解

解法一(分析法):在上述解答過程中,我們的關注點是放在未知量上,此時解題的思維模式是找未知量解出未知量所需要的條件 →對比題目已知數(shù)據(jù)和條件是否符合.

解法二(直接法):在學生自主思考解題時,他們可能會把更多關注點是放在已知量上,此時解題的思維模式是看已知量 →通過已知量能得出的可能結果 →在眾多結果中找到該題的結果.

兩種解法的思維方式和立足點是截然不同的.解法一是從結果找條件,解法二則是由已知推未知,顯然解法一能很好的避免學生在解題過程中偏題,但對學生的知識儲備和思維能力要求較高,而解法二則降低了對學生的思維能力要求,但同時也容易使學生在解題過程中偏離,浪費時間.

3.4.2 原題目條件不變,只改問題

將原問題“則由紙片拼成的五邊形PMQRN中,對角線MN長度的最小值為____.”改為:則由紙片拼成的五邊形PMQRN中,當對角線MN長度取最小值時,求陰影部分的面積?

通過這樣的改編,是在能夠解決原問題的基礎上,進一步加強了對三角形相似知識點的考查,拓寬了考查面,從不同角度探析其解題思路,并通過變式探究這一類問題的通解[3].

通過利用波利亞“怎樣解題表”解決上述問題,很好地展現(xiàn)了波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學解題中的具體應用,同時也反映出波利亞“怎樣解題表”中所提供的完整的解題步驟.理解題目,弄清已知未知;聯(lián)系舊知,以舊法解新題,已知未知建立聯(lián)系,細化目標,逐一求解;回顧反思,深化結果遷移解題方法,為學生的數(shù)學解題提供了清晰的思路,能夠幫助學生找到明確的解題方向最終得出正確答案.同時波利亞“怎樣解題表”中所提到的“回顧”的環(huán)節(jié),指導學生學習深入思考問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出新問題,使學生的思維不僅僅局限于解這一道題上,對于提高學生的數(shù)學思維的培養(yǎng)也有很大幫助.

因此,在日常解題教學中,教師應該起到積極引導的作用,有目的性地引導學生,靈活利用波利亞“怎樣解題表”的解題思維進行解題,啟發(fā)學生思考,從而有效提升解題效率.