一道直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)試題的探究與拓展

湯 琴 (江蘇省姜堰中學(xué) 225500)

在一次測(cè)試中,我們遇到一道直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題,題目看上去并不難,但是學(xué)生做下來(lái)的情況并不好.從學(xué)生的答題過(guò)程來(lái)看,方法偏繁、運(yùn)算量大,以及對(duì)未知變量的范圍控制不準(zhǔn)確,導(dǎo)致出現(xiàn)各種錯(cuò)誤．解決這道解析幾何題的基本思路是運(yùn)用解析法解決問(wèn)題,這也是大多數(shù)學(xué)生選擇的方法．在通性通法比較繁的情況下,我們希望學(xué)生能夠認(rèn)真分析條件,從多個(gè)角度思考問(wèn)題,選擇更加優(yōu)化的解法解決問(wèn)題．

1 試題

如圖1,平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),∠AOB=60°．

圖1

2 解法

先考慮第(1)題．

評(píng)價(jià)常規(guī)做法容易想到,但是運(yùn)算量大,比較繁瑣,耗時(shí)長(zhǎng)．

評(píng)價(jià)向量是溝通代數(shù)和幾何的橋梁,這個(gè)方法靈活建立了a,b間的關(guān)系,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,很棒!

在實(shí)際解題過(guò)程中,設(shè)線(xiàn)和設(shè)點(diǎn)是解析幾何中最常用的兩種設(shè)法,因此大部分學(xué)生選擇了解法1或者解法2,但在這些學(xué)生中只有不到一半最終得到了正確的結(jié)果．這暴露了部分學(xué)生的運(yùn)算能力存在問(wèn)題．

圖2

評(píng)價(jià)對(duì)平面圖形進(jìn)行分割,運(yùn)用相似建立變量間的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新出現(xiàn)的兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行研究,激活學(xué)生思維．

評(píng)價(jià)妙!善于觀(guān)察圖形的位置關(guān)系,直觀(guān)想象能力較強(qiáng).借助等面積法建立變量之間的關(guān)系,是一種非常有創(chuàng)新的想法．

下面考慮第(2)題．

評(píng)價(jià)常規(guī)方法,根據(jù)題意寫(xiě)出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),表示出直線(xiàn)方程,求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

評(píng)價(jià)關(guān)注問(wèn)題間的關(guān)聯(lián),找到突破口,運(yùn)用向量中的共線(xiàn)解決問(wèn)題．

3 拓展

4 啟示

從這道題的解答過(guò)程可以看出,學(xué)生的思維層次大概分為三層:第一層次,在直角坐標(biāo)系中很容易想到的是設(shè)點(diǎn)或者設(shè)直線(xiàn)方程,運(yùn)用解析法解決問(wèn)題;第二層次,觀(guān)察到題目中有三角形,有邊長(zhǎng),有角度,會(huì)聯(lián)想到解三角形的方法,聯(lián)想到向量的三點(diǎn)共線(xiàn);第三層次,對(duì)研究過(guò)程中的思想方法進(jìn)行遷移,拓展出其他結(jié)論．顯然,第一個(gè)層次是大多數(shù)學(xué)生都能想到的,第二層次則體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通,第三層次體現(xiàn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)遷移的能力．

數(shù)學(xué)解題過(guò)程是一個(gè)思維過(guò)程,是一個(gè)把知識(shí)與問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)思考、分析、探索的過(guò)程[1]．在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,我們要教給學(xué)生如何思考問(wèn)題,如何將問(wèn)題深化,如何挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．