學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與思考
——以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例*

袁江玉 (山東省臨沂高新區(qū)高級(jí)中學(xué) 276000)

1 引言

學(xué)習(xí)進(jìn)階是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和探究某一主題時(shí),依次進(jìn)階、逐層漸進(jìn)地進(jìn)行思維和科學(xué)探究的過程．教師幫助學(xué)生設(shè)置認(rèn)知過程中許多中間水平的“階梯”,用這些“階梯”構(gòu)成學(xué)習(xí)進(jìn)階鏈,將學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階起點(diǎn)和學(xué)習(xí)進(jìn)階終點(diǎn)連接起來,使課堂學(xué)習(xí)變成學(xué)生不斷探索、不斷發(fā)展的進(jìn)階過程[1]．目前,基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論,合理組織較短時(shí)間內(nèi)的課堂教學(xué).按照由淺入深的發(fā)展路徑實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)科學(xué)概念的深層理解進(jìn)行設(shè)計(jì)的高中數(shù)學(xué)案例還不多,筆者以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例,通過學(xué)習(xí)進(jìn)階理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),供同行參考．

2 學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 學(xué)習(xí)進(jìn)階背景分析

本節(jié)課是人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書(2017年版)必修第一冊(cè)第四章“函數(shù)的應(yīng)用(二)”第一節(jié)“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”,是1課時(shí)的概念課,主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在定理．在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)之上,本節(jié)課利用函數(shù)圖象和性質(zhì)來判斷方程的解的存在性及解的個(gè)數(shù),讓學(xué)生掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法,為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．因此本節(jié)課的內(nèi)容具有承前啟后的作用,地位至關(guān)重要．

2.2 學(xué)習(xí)進(jìn)階學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生,他們函數(shù)知識(shí)比較豐富,智力發(fā)展已經(jīng)到了形式運(yùn)演階段,具備了較強(qiáng)的抽象思維能力,也具備初步的數(shù)形結(jié)合的能力,但要上升到用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)零點(diǎn)存在定理還比較困難．

2.3 學(xué)習(xí)進(jìn)階重難點(diǎn)

掌握方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系及零點(diǎn)存在性的判定．

2.4 學(xué)習(xí)進(jìn)階目標(biāo)

(1)一次進(jìn)階目標(biāo):通過觀察二次函數(shù)的圖象,準(zhǔn)確判斷一元二次方程解的存在性及解的個(gè)數(shù),抽象出函數(shù)的零點(diǎn)概念,并能描述函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系．

(2)二次進(jìn)階目標(biāo):從研究具體的對(duì)數(shù)函數(shù)再到研究一般的函數(shù),讓學(xué)生經(jīng)歷“類比→歸納→辨析→應(yīng)用”的過程,歸納出零點(diǎn)存在定理,感悟由具體到抽象的研究方法．

(3)三次進(jìn)階目標(biāo):在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的意義與價(jià)值,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)．

2.5 學(xué)習(xí)進(jìn)階教學(xué)過程

2.5.1 溫故知新,學(xué)習(xí)進(jìn)階起點(diǎn)

思考1方程的解和其相應(yīng)的函數(shù)圖象有什么關(guān)系呢?

方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的實(shí)數(shù)解函數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)

請(qǐng)回答下列問題:

(1)上述一元二次方程有沒有解?

(2)相應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與x軸有沒有交點(diǎn)?

(3)方程的解和其相應(yīng)函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有什么關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生對(duì)初中所學(xué)的二次方程進(jìn)行回憶,尋找方程的解和其相應(yīng)函數(shù)的圖象間的關(guān)系,通過以“形”助“數(shù)”給出二次函數(shù)的零點(diǎn)的概念,為后面學(xué)生抽象出一般函數(shù)的零點(diǎn)的概念以及一般函數(shù)的零點(diǎn)及相應(yīng)方程的解的關(guān)系進(jìn)行鋪墊,挑選好學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)．

師生活動(dòng) 學(xué)生積極思考,認(rèn)真填表,利用實(shí)物投影分享結(jié)果．回答出方程的解與函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系．

2.5.2 抽象概括,學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)階

思考2你能給出一般函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)的概念嗎?

思考3你能說出函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)、方程f(x)=0的解以及函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系嗎?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生由特殊到一般歸納出函數(shù)零點(diǎn)的概念并得到等價(jià)關(guān)系,加深對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)概念的理解,讓學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)階．

師生活動(dòng) 學(xué)生思考,類比,歸納．

練習(xí)判斷下列函數(shù)是否有零點(diǎn):

(1)y=log2x;(2)y=2x.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)層面來理解函數(shù)的零點(diǎn)這個(gè)概念,通過例題的設(shè)置,讓學(xué)生體會(huì)求函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法,求解過程體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合思想．

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立完成,教師巡視學(xué)生的做法并實(shí)物投影學(xué)生不同的做法,再由學(xué)生給出判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法:

①代數(shù)法:解方程f(x)=0,得到y(tǒng)=f(x)的零點(diǎn)．②畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)．

2.5.3 以“數(shù)”解“形”,思維方式進(jìn)階

問題1當(dāng)函數(shù)圖象在區(qū)間[a,b]上穿過x軸時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]一定存在零點(diǎn)嗎?(以剛才畫的y=log2x的圖象為例)

問題2如何用代數(shù)語言,從函數(shù)值的變化情況來描述函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上穿過x軸這種幾何特征呢?

設(shè)計(jì)意圖利用對(duì)之前例題中具體問題的探究,讓學(xué)生以“數(shù)”解“形”,從代數(shù)的角度來分析幾何特征,是對(duì)之前以“數(shù)”助“形”理解的思維反轉(zhuǎn),讓學(xué)生學(xué)會(huì)逆向思考問題,從而達(dá)到思維方式的進(jìn)階．

師生活動(dòng) 學(xué)生思考,分析可利用的條件,計(jì)算出端點(diǎn)函數(shù)值,判斷其符號(hào),結(jié)合圖象的連續(xù)性得到“函數(shù)圖象穿過x軸的幾何特征等價(jià)于在零點(diǎn)附近的函數(shù)值異號(hào)”這一代數(shù)特征．

問題3對(duì)于一般的函數(shù),上述結(jié)論也成立嗎?

觀察圖1中函數(shù)的圖象并填空:

圖1

①在區(qū)間[a,b]上f(a)f(b)0(<或>),是否連續(xù)?在區(qū)間[a,b]上(有/無)零點(diǎn);

②在區(qū)間[b,c]上f(b)f(c)0 (<或>),是否連續(xù)?在區(qū)間[b,c]上(有/無)零點(diǎn);

③在區(qū)間[a,d]上f(a)f(d)0 (<或>),是否連續(xù)?在區(qū)間[a,d]上(有/無)零點(diǎn);

④在區(qū)間[d,e]上f(d)f(e)0 (<或>),是否連續(xù)?在區(qū)間[d,e]上(有/無)零點(diǎn)．

問題4你能給出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件嗎?

設(shè)計(jì)意圖利用問題的不斷遞進(jìn),讓學(xué)生從特殊到一般地發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)存在的條件,并歸納出函數(shù)零點(diǎn)存在定理.從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想讓學(xué)生的思維再次進(jìn)階．

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立完成,教師挑一排學(xué)生從前往后回答并給出零點(diǎn)存在定理．

2.5.4 合作交流,理解認(rèn)識(shí)進(jìn)階

定理反思 (請(qǐng)觀察問題3的圖象,合理安排區(qū)間端點(diǎn)m,n的位置完成)

一思若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù),且f(m)f(n)>0,則f(x)在區(qū)間(m,n)內(nèi)就一定沒有零點(diǎn)嗎?

再思已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù),且f(x)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有零點(diǎn),則一定有f(m)f(n)<0嗎?

三思已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù),且f(m)f(n)<0,則f(x)在區(qū)間(m,n)內(nèi)是否存在唯一零點(diǎn)?

追問再加上什么條件就會(huì)存在唯一零點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖利用具體圖象,讓學(xué)生通過觀察、對(duì)比,加深對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解,并總結(jié)出判斷函數(shù)唯一零點(diǎn)的方法.正例鞏固,反例強(qiáng)化,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解不斷進(jìn)階．

師生活動(dòng) 各小組積極討論,小組代表總結(jié)發(fā)言,讓學(xué)生在討論辨析中不斷產(chǎn)生思維的火花,促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)．

2.5.5 融會(huì)貫通,學(xué)習(xí)進(jìn)階終點(diǎn)

例1求方程lnx+2x-6=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．(e=2.718 28…)

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生需要先將方程的解的問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的問題,進(jìn)而通過零點(diǎn)存在定理判斷有無零點(diǎn).有函數(shù)零點(diǎn)后再根據(jù)追問 得到的拓展判斷函數(shù)存在唯一零點(diǎn),不是簡(jiǎn)單的知識(shí)應(yīng)用,而是將本節(jié)課的學(xué)習(xí)路徑再次梳理并升華,真正教會(huì)學(xué)生分析問題和解決問題的方法,走向?qū)W習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn),即融會(huì)貫通．同時(shí),這個(gè)例題也為下一節(jié)用二分法求方程的近似解埋下伏筆．

師生活動(dòng) 學(xué)生積極思考,獨(dú)立完成,并利用實(shí)物投影講解答題過程．

3 幾點(diǎn)思考

3.1 學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)注重基礎(chǔ)性

學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)要關(guān)注學(xué)生的實(shí)際情況.只有充分了解學(xué)情,才能設(shè)置好學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn).因此進(jìn)階的起點(diǎn)要注重基礎(chǔ)性,選擇從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),對(duì)舊知進(jìn)行再認(rèn)識(shí),不斷攀登,學(xué)習(xí)新知．在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過舊知“一元二次方程的解”,但是對(duì)于解的存在性的判斷僅限于借助韋達(dá)定理從“數(shù)”的角度解決,而沒有考慮從“形”的角度解決.因此本節(jié)課先從學(xué)生熟悉的基礎(chǔ)知識(shí)“一元二次方程和一元二次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”入手,讓學(xué)生進(jìn)行深度思考,尋找它們之間的聯(lián)系,之后再推廣到一般方程與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)之間的關(guān)系,這樣符合學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．

3.2 學(xué)習(xí)進(jìn)階的過程注重層次性

學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)選好之后,通過搭建“階梯”,讓學(xué)生在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上不斷順梯而上達(dá)到終點(diǎn)．因此“階梯”的設(shè)置要有層次性,環(huán)環(huán)相扣,步步相依,讓學(xué)生一步邁一個(gè)臺(tái)階,扎扎實(shí)實(shí)地登頂．以一元二次方程為進(jìn)階起點(diǎn),以抽象概括為立足點(diǎn),讓學(xué)生利用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想給出函數(shù)零點(diǎn)的概念,揭示零點(diǎn)概念的內(nèi)涵,達(dá)到學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)階;以探究函數(shù)零點(diǎn)存在定理為生成點(diǎn),以“數(shù)”解“形”發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)概念的外延,讓學(xué)生通過探究歸納出零點(diǎn)存在定理,達(dá)到思維方式進(jìn)階;以合作交流為關(guān)鍵點(diǎn),通過“三思”的剖析,加深學(xué)生對(duì)零點(diǎn)存在定理的理解,達(dá)到理解認(rèn)識(shí)進(jìn)階．每個(gè)“階梯”都在原來的基礎(chǔ)上遞進(jìn),讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)不斷進(jìn)階．

3.3 學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn)注重綜合性

經(jīng)歷學(xué)習(xí)進(jìn)階的過程后,就要走向本次學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn),即鞏固性練習(xí),應(yīng)用所學(xué)新知解決問題．如果這個(gè)鞏固性練習(xí)毫無挑戰(zhàn)性,只是知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,那么學(xué)生的思維無法得到升華,也就形成不了分析問題和解決問題的能力．因此最后的鞏固性練習(xí)必須具有綜合性,讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程,而不僅僅是知識(shí)的簡(jiǎn)單模仿練習(xí)．本節(jié)課設(shè)置的鞏固性練習(xí)是求方程lnx+2x-6=0的解的個(gè)數(shù)(e=2.718 28…)．學(xué)生需要從本節(jié)課學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)出發(fā),先將方程的解的個(gè)數(shù)的判斷轉(zhuǎn)化成函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的判斷,進(jìn)而應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解決問題．在解決的過程中,不僅僅應(yīng)用了學(xué)習(xí)的零點(diǎn)存在定理,還讓學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)分析問題和解決問題的過程,這樣的學(xué)習(xí)終點(diǎn)讓學(xué)生的思維不斷進(jìn)階,真正實(shí)現(xiàn)了從學(xué)會(huì)“解題”到學(xué)會(huì)“解決問題”．

4 結(jié)束語

應(yīng)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論要把握好三個(gè)環(huán)節(jié):一是找好學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn);二是在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上設(shè)置好學(xué)習(xí)進(jìn)階的“階梯”;三是讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程后,能融會(huì)貫通地走向?qū)W習(xí)進(jìn)階的終點(diǎn)．任何一個(gè)環(huán)節(jié)把握不好,不僅不能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階,還可能阻擋學(xué)生的學(xué)習(xí)提升,因此教師要精心設(shè)計(jì)好學(xué)習(xí)進(jìn)階的環(huán)節(jié),如此學(xué)生才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階．