從“第一課”到“數(shù)學學習的價值”

鄭毓信 (南京大學哲學系 210093)

無論是小學生、初中生或高中生入學以后,還是后來每一學期的“第一課”,又無論所涉及的是數(shù)學、語文還是別的什么學科,這都應說具有特別的重要性．又由于中央電視臺和教育部從2008年起聯(lián)合推出了“開學第一課”這一專題節(jié)目,從而自然引起了人們對“第一課”的更多重視．

在這方面可以看到不少很好的實例,盡管這未必是數(shù)學課:

例1“我的第一節(jié)語文課”[1]．

“語文自身的魅力,是學生對語文產(chǎn)生濃厚興趣的最重要因素……我努力讓第一節(jié)課展現(xiàn)語文的獨特魅力……

“‘語文里藏著什么呢?’我輕點鼠標,屏幕上出現(xiàn)了‘語文里有美妙的音樂’幾個大字．學生一臉疑惑,而我則開始背誦《聲律啟蒙》的選段:‘云對雨,雪對風,晚照對睛空……’

“誦完,我問學生是否好聽,他們都說‘好聽,好聽’．我問他們是否愿意自己讀讀,他們連呼‘愿意’．屏幕上的文字一出現(xiàn),他們就迫不及待地讀了起來,越讀越感受到文字的悅耳．盡管他們還不太清楚其中的意思……

“‘語文里除了動聽悅耳的音樂,還有什么呢?’隨著我的發(fā)問,‘語文里有深深的智慧’出現(xiàn)在屏幕上．‘我要開始講故事了．’一聽有故事,學生們興奮得不得了,幾乎要歡呼雀躍．

“有一次,美國代表來我們國家訪問,代表團里有名官員當著周總理的面說:‘中國人很喜歡低著頭走路,而我們美國人卻總是抬著頭走路．’此語一出,震驚四座,因為誰都聽得出來,這位官員在嘲笑、諷刺中國人．周總理卻不慌不忙,面帶微笑地說:‘這并不奇怪．因為我們中國人喜歡走上坡路,而你們美國人走下坡路．’話音剛落,那位官員立即低下了頭,不敢出聲了．

“學生聽后哈哈大笑,我朗聲說:‘周總理的話就是智慧!學好語文,你也會擁有智慧!’……

“‘語文里還有濃濃的情感．我將要為大家朗讀一篇文章,題目就叫《娘,我的瘋子娘》,里面就蘊含著濃濃的情意,不信你聽!’……我讀了起來……讀著,讀著,教室里越來越安靜,到后來幾乎能聽到彼此的呼吸聲……

“我的聲音有些哽咽!讀完整篇文章,大家都沉默了．有些學生眼中閃動著晶瑩的淚花．我說:‘樹兒的娘對他的愛讓人十分感動!我們每個人的媽媽都非常偉大．她們的愛讓我們感到溫暖,快樂,誰愿意說說你的媽媽對你的關(guān)愛?只要說一件,并講講,母愛讓你感覺像什么?’……

“快要下課了,我總結(jié)道:語文里有‘音樂’,有智慧,有情感,想必這節(jié)課我們已經(jīng)有所體會了,但是語文里其實還有很多有意思、有意味的寶藏,這就有待你們以后自己去尋找、挖掘了．”

數(shù)學教育領域中當然也有不少相關(guān)的努力．以下就是一個實例:

例2“春種一粒粟,秋收萬顆子——初中數(shù)學‘入學第一課’教學設計與反思”[2]．

活動1 小學到初中,感受數(shù)學的嚴謹性．

問題1:我們學習數(shù)學離不開數(shù),你能列舉出一些數(shù)嗎?

追問1:生活中,你在哪里見到過負數(shù)呢?請舉例說明．

追問2:正數(shù)與負數(shù)是表示一對具有相反意義的量,小學時我們知道,正數(shù)可以進行加減乘除運算,負數(shù)是否也可以進行類似的運算呢?

……

問題2:用小棒按圖1(略)所示的方式搭三角形,你能提出并解決哪些問題?

……

活動2 用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美．

問題3:用數(shù)學的眼光觀察圖2、圖3、圖4(略),你有哪些發(fā)現(xiàn)?

……

追問3:生活中還有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的例子嗎?

……

追問7:通過這個活動的討論,大家有什么收獲呢?

活動3 從數(shù)學視角決策,感受數(shù)學的價值．

問題4:力新小學和春風小學的籃球隊上學期一共進行了5場比賽,圖6(略)是這5場比賽得分情況統(tǒng)計圖,觀察后你有哪些發(fā)現(xiàn)?

……

師:通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲呢?

對于上述課例你有什么評價?顯然,盡管不同的人對此很可能有不同看法,但我們應當首先思考一個問題,即應當按照什么標準對“第一課”做出評價,包括相對于一般意義上的“日常課”而言,“數(shù)學第一課”是否也應有一些特殊的要求?

以下可以視為這方面的兩個具體要求:(1)我們應當通過“第一課”幫助學生了解教師,包括教師自己對于學生學習數(shù)學有哪些具體要求,特別是,如果這是他第一次在這個班級任教的話;(2)對于課程內(nèi)容與特點的簡要介紹,包括學習相關(guān)內(nèi)容的重要性．

當然,在這兩點之間也有一定的聯(lián)系．具體來說,如果相關(guān)教師并非只是簡單地去轉(zhuǎn)述教材或其他論著中的論述,那么,學生由“第一課”獲得的關(guān)于課程的初步了解主要就反映了教師的看法,而這自然也有助于學生了解教師本人,特別是,能從姓名、年齡、長相等“外部特征”過渡到更重要的一些方面,即如教師的專業(yè)水準和教學能力等,盡管大多數(shù)學生在這方面還不能說具有較強的判斷能力,“以一概全”也可能有很大的局限性．

顯然,后一分析更清楚地表明了上好“第一課”的重要性．因為,盡管學生對課程與教師的看法并非一成不變,但仍然會對他們后繼的學習活動產(chǎn)生重要和持久的影響．因此,我們應確保自己在“第一課”上表達的觀點不會對學生產(chǎn)生消極的影響,并認真地思考如何進行表述才能給學生留下深刻的印象．

從上述立場進行分析,以下實例即使不應被看成純粹的反例,顯然也應歸屬于真正的奇葩:

例3一名“奇葩”的物理老師．

這是一名中學物理教師在剛剛接手初三年級的教學任務時所做的“開場白”:如果你聽了我的課有什么不懂,不用來問我,因為,我的課是專門為聰明學生設計的．

但在她接手物理課以后,全班的物理成績都下降了．以下則是她在課堂上對學生所做的“解釋”:我的特點就是善于將差生變成優(yōu)秀生,因此,你們完全不用著急!

也正因此,我們對于“第一課”應提出這樣兩個進一步的要求:(1)“第一課”應當幫助學生很好地認識學好相關(guān)課程的重要性,從而能夠在這方面做出自覺的努力;(2)相對于簡單地去引用各種現(xiàn)成的論述,我們應更加注重自己在這方面的體會和感受,這樣才會對學生有更大的感染力和啟發(fā)性．

例如,依據(jù)上述分析我們可以對以下論述有更好的理解,盡管它們并不是專門針對“第一課”而言的:

例4教師應有的“激情”．

“每一個學科背后都是一個廣博的領域．數(shù)學,是理性之王;語文,是精神的母體,是文化的脈搏……這里有足夠多的美,足夠多的智力歷險,足夠多的探索發(fā)展,吸引每一個學生．”“然而,一個語文教師,如果從來沒有過激情,沒有過詩意,沒有過精神高地,他就不可能‘占據(jù)’孩子的心靈,他的‘語文’也絕不會有感染力;一個數(shù)學教師,如果從來不懂得什么叫嚴謹之美,從來沒有抵達過數(shù)學思想的密林,沒有過對數(shù)學理性的深刻體驗,那么,他的數(shù)學課自然是乏味的,甚至是令人生厭的．”[3]

例5一條絕對無誤的教學法原則．

“有一條絕對無誤的教學法——假如教師厭煩他的課題,那么整個班級也將無例外地厭煩它．這就足夠證明第一和首要的一誡:要對你講的課題有興趣．”[4]

當然,由此我們可以清楚地認識到這樣一點:作為數(shù)學教師,我們應對數(shù)學學習的重要性有清楚的認識,并將自己在這方面的感受和體會作為“第一課”最重要的內(nèi)容很好地傳遞給學生,而不只是停留于純粹的空話、套話．

以下就是這方面的兩個實例:

其一,這是我國著名數(shù)學家姜伯駒先生在接受采訪時,面對“什么是數(shù)學對您最重要的影響”這一問題所做的回答:“數(shù)學使我學會長時間的思考,而不是忽忙地做出解答．”(教育頻道,2011年5月2日)

其二,作為20世紀最有影響的西方哲學家之一,維特根斯坦在談及自己的學術(shù)生涯時,也明確提到了數(shù)學的影響,特別是這樣一點:“能說的就應說清楚,說不清楚的就應保持沉默．”

在此,筆者愿特別強調(diào)這樣一點:盡管這是一個十分常見的做法,為了調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性,人們往往會特別強調(diào)數(shù)學的應用價值,但是,自已在這方面究竟有哪些真切的體會和感受,特別是,除去數(shù)學在日常生活中的應用以外,自己能否在這方面舉出真正的實例?

例如,盡管以下兩個論述并不能很好地說明相關(guān)的道理,對此我們?nèi)詰挚隙ǖ膽B(tài)度,因為這反映了相關(guān)人士的獨立思考,從而對于其他人、特別是學生都有一定的啟示意義:

其一,“學好數(shù)學買菜可能用不上,但是它決定著你將來在哪里買菜．”(張道玉語)

其二,“數(shù)學圈內(nèi)可能只會有怪人,而不會有真正的瘋子,因為,數(shù)學的主要作用之一就是使人保持理性．”

筆者在這方面還有一個更重要的認識:相對于數(shù)學的應用價值,我們更應重視數(shù)學學習的這樣一個功能,數(shù)學十分有益于人們思維的發(fā)展,或者說智能的提升．

對此我們可與語文教學做一簡單的對照比較:如果說語文教學的主要目標是“用詩意的語言感染學生”,那么,數(shù)學教學的主要作用就是“用深刻的思想啟迪學生”,更通俗地說,讓學生通過數(shù)學變得更加聰明,或者說通過數(shù)學學會思維．

但是,究竟什么作用可以被看成這里所說的“智能”或“思維”的主要涵義?我們又如何能夠通過日常的數(shù)學教學、特別是數(shù)學基礎知識和基本技能的學習很好地實現(xiàn)所說的目標?以下就人工智能研究為背景對此做出簡要分析,希望能引發(fā)讀者、特別是一線教師的積極思考,并很好地落實于自己的教學工作之中,包括如何結(jié)合自己的感受和體會在“第一課”中對此做出很好的概述．

具體地說,由于人工智能研究的主要目標是用計算機代替人類完成各種原先被認為只有依靠人類的智能才能完成的任務,因此,相關(guān)研究事實上也就為我們?nèi)绾文軐Α爸悄堋弊龀銮宄缍ㄌ峁┝酥匾尘埃斎?這方面的一個基本事實是相關(guān)認識必然有一個不斷發(fā)展、逐步深化的過程,特別是,有不少原先被認為很好地體現(xiàn)了人類的特有智慧、從而也就是機器無法實現(xiàn)的行為(如下棋、自主學習等),后來都被證明并非絕對不可超越的界限．

在此筆者愿特別提及國際上有較大影響的一部著作,由候世達(D.Hofstadter)撰寫的《哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異壁之大成》(Godel,Escher,Bach:AnEternalGoldenBraid)．這一著作有一個明確論點:“誰也不知道非智能行為和智能行為之間的界限在哪里．事實上,認為存在明顯界限也許是愚蠢的．”但作者同時又認為,“智能的基本能力還是確定的”,從而我們可以此為背景思考如何通過數(shù)學教學提升學生的智力．當然,后一方面工作必須遵循這樣一個原則:我們不應將學生智力的提升與具體數(shù)學知識與技能的學習絕對地對立起來,而應更加重視如何能夠通過后一途徑促進學生的思維發(fā)展,包括什么是實現(xiàn)這一目標應特別重視的一些方面,我們并應注意引導學生在這些方面做出自覺的努力．

以下是上述著作中提到的“智能的基本能力”:

“它們是:

對于情境有很靈活的反應;

充分利用機遇;

弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息;

認識到一個情境中什么是重要的因素,什么是次要的;

在存在差異的情景之間發(fā)現(xiàn)它們的相似處;

從那些由相似之處聯(lián)系在一起的事物中找出差別;

用舊的概念綜合出新的概念,把它們用新的方法組合起來;

提出全新的觀念．”[5]34-35

當然,這一論述不能被看成已經(jīng)包含了智力的所有方面,恰恰相反,對此我們?nèi)詰罁?jù)自己的感受和體會做出進一步的分析,但我們?nèi)钥梢源藶楸尘白龀龀醪降乃伎迹诖?筆者有這樣一個具體的建議:我們可以聯(lián)系所說特征的對立面去進行分析思考．這是筆者何以要對上述的八個方面(下稱“特征一”“特征二”等)做出進一步歸并的主要原因．

第一,上述的“特征一”和“特征二”顯然都與思維的靈活性密切相關(guān)．在筆者看來,這或許是相關(guān)作者何以將此看成人類智能首要表現(xiàn)的主要原因,即“計算機的本性就是極不靈活”,也正因此,人們在從事人工智能的研究時往往就會特別關(guān)注如何能夠很好地突破所說的局限性．

再者,這也是人們的一項共識,認為數(shù)學學習特別有益于提升人們思維的靈活性,因為,數(shù)學學習顯然不應被等同于死記硬背、機械模仿,而應更加重視思維的靈活性．例如,這就是數(shù)學教學為什么特別重視“問題解決”、或者說解題實踐的重要原因．

當然,在這一方面也有不少可以改進的地方,如對“熟能生巧”與“經(jīng)驗積累”的不恰當強調(diào)．就當前而言,我們應特別重視對于這樣一個現(xiàn)象的糾正,即“題海戰(zhàn)術(shù)”的盛行,不加思考地要求學生大量做題,做各種各樣的題,乃至于將學生解決問題能力的提升歸結(jié)為題型的辨識與方法的套用,包括對于“題型”的過度細分,并要求學生牢牢地加以記憶,等等．

應強調(diào)的是,對于“思維的靈活性”我們還應從更高的層面做出理解．例如,“思維的靈活性”顯然是與“思維的刻板性”直接相對立的,而這事實上也是后者的具體表現(xiàn),即人們在從事問題解決時常常會“一條道走到黑”,未能在具體采取某一方法或解題途徑時首先認真地去思考選用相關(guān)方法或途徑的合理性,即使在解題過程中遇到了無法克服的困難也未能做出及時的調(diào)整,包括盡管取得了某些結(jié)果卻對解決原來的問題毫無作用……

正如人們普遍了解的,這也是人們引出以下結(jié)論的重要原因,我們應當努力提高學生的元認知水平,即對自身正在從事的解題活動始終保持清醒的自我意識,并能及時做出評價和調(diào)整．更一般地說,我們應當將“元認知”水平的高低看成決定人們解題能力十分重要的一個因素．從歷史的角度看,這是人們由人工智能、特別是“解題機”的研究獲得的直接啟示．

還應提及的是,從實踐的角度看,這也是人們何以常常將思維的“靈活性”與“有效性(可靠性)”聯(lián)系在一起的主要原因,即我們?nèi)绾文茉谶@兩者之間保持適度的平衡,或如侯世達所說:“在可靠性與靈活性之間走鋼絲．”[5]388

再者,這也可視為數(shù)學學習的一個重要作用,即十分有益于學生學會用“變化的思想”分析與處理問題．例如,由直接的檢索可以發(fā)現(xiàn),后者正是波利亞“數(shù)學啟發(fā)法”最重要的一項內(nèi)容,即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^問題、包括已知條件與結(jié)論的適當變化去解決問題．另外,這顯然也是我們?yōu)槭裁磻斕貏e重視“化歸思想”的主要原因．就目前的論題而言,這也就是指,我們應當通過這一途徑更好地提升學生思維的靈活性．

第二,上述的“特征三”和“特征四”可以看成與思維的清晰性有著直接的聯(lián)系,并清楚地表明了我們應當如何去理解“思維的清晰性”．以下的常見說法就十分清楚地表明了在數(shù)學學習與思維清晰性之間所存在的重要聯(lián)系:“這個孩子一腦袋漿糊,實在不適合學習數(shù)學．”

例如,這就是解題活動最基本的一個要求,我們在實際從事解題活動前必須很好地弄清題意,包括仔細地區(qū)分什么是有用的信息、什么是多余的信息;我們應將要實現(xiàn)的目標牢牢記在心中,或如波利亞所說“盯緊目標”．

進而,以下分析可以視為達到了更高的層次,即相對于各個細節(jié)而言,我們應當更加注重整體的把握,包括很好地弄清“什么是重要的因素,什么是次要的”,從而就與以下狀態(tài)構(gòu)成了直接的對照,即“胡子眉毛一把抓”,乃至“撿了芝麻丟了西瓜”．

顯然,這是現(xiàn)今得到人們普遍重視的“整體性教學”的核心所在,特別是,我們不應認為其中所包含的各項內(nèi)容都具有同樣的重要性,以致最終無可避免地陷于了“忙于應付”這樣一種完全被動的局面,而應切實做好“分清主次,以主帶次”．容易想到,我們事實上也可從同一角度很好地去理解為什么應對解題活動的“序”予以特別的重視,包括學會“概念圖”和“流程圖”的重要性．這也就如龐加萊所指出的:“數(shù)學證明不是演繹推理的簡單并列,它是按某種次序安置演繹推理．這些元素安置的順序比元素本身更為重要．如果我具有這種次序的感覺,也可以說這種次序的直覺,以便一眼就覺察到作為一個整體的推理,那么我已無需害怕我忘掉這些元素之一,因為它們之中的每一個都在排列中得到它的指定位置,而且不要我本人費心思記憶．”[6]376

以下是“整體性把握”更加重要的一個涵義,相對于一般所說的“由少到多”“由簡單到復雜”,我們應當更加重視如何能夠通過進一步的分析研究很好地實現(xiàn)“化多為少”“化復雜為簡單”,包括由局部性認識過渡到整體性、結(jié)構(gòu)性的認識,并能在思想方法等方面也都能有較大的收獲．

在筆者看來,這就是各種“以學為主”的教學模式的最大局限性所在,或者說,我們應將此看成教師“引領作用”最重要的一個方面．具體地說,我們應在以下各個方面做出切實的努力(詳見文獻[7]第二章):(1)理清發(fā)展線索,突出“核心問題”;(2)概念的綜合分析,“核心概念”的提煉;(3)重要數(shù)學思想的梳理,即與學習內(nèi)容密切相關(guān)的“概念上很強大的思想”與普遍性的數(shù)學思想方法;(4)“大道理”的剖析,即相關(guān)教學所應遵循的最大的指導性原則,從而不僅能真正做好“以大馭小”“小中見大”,并能很好地做到“以發(fā)展代替重復,以深刻促成簡約”．

第三,與先前提到的四個特征相比較,“特征五”和“特征六”可以說與日常的數(shù)學活動有著更加密切的聯(lián)系,事實上可將此看成數(shù)學活動、包括數(shù)學學習活動最基本的形式之一,就是如何能在存在差異的情景之間發(fā)現(xiàn)它們的相似處,又如何能從那些由相似之處聯(lián)系在一起的事物中找出差別．

例如,前者就可視為“找規(guī)律”此類活動的基本涵義,更構(gòu)成了一般意義上的抽象活動的直接基礎．例如,從同一角度我們可以很好地理解數(shù)學中為什么要引入“比”這樣一個概念;當然,從更高的層面看,這又直接關(guān)系到了我們?yōu)槭裁磻獙ⅰ昂瘮?shù)”的 概念看成中學數(shù)學、特別是代數(shù)學習最重要的核心概念．

另外,從同一角度我們也可更好地理解“變式理論”對于改進教學的重要意義,特別是,我們在教學中應通過引入“非標準變式”和“非概念變式”幫助學生很好地掌握相關(guān)概念的本質(zhì).當然,通過這方面的反復實踐我們還可以使學生逐步培養(yǎng)起這樣一種習慣和能力:善于“在存在差異的情景之間發(fā)現(xiàn)它們的相似處”,包括較強的抽象能力．

應當提及的是,依據(jù)相關(guān)分析我們可以清楚地認識到以下做法的局限性,即片面強調(diào)“情境設置”,卻未能認識到在強調(diào)情境設置的同時我們也應很好地實現(xiàn)“去情境”．因為,歸根結(jié)蒂,數(shù)學并非對真實事物或現(xiàn)象的直接研究,而是以抽象思維的產(chǎn)物、也即一般意義上的“模式”和“結(jié)構(gòu)”作為研究的對象．

其次,無論就數(shù)學或是其他方面而言,類比聯(lián)想都可說具有廣泛的應用,這可以看成成功應用這一方法去解決問題、包括做出新的發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵,即我們不僅應當善于發(fā)現(xiàn)不同事物或現(xiàn)象的共同點或相似之處,也應善于從相似中找出不同之處,從而由已知事實引出可能的結(jié)論或新的猜想,包括如何依據(jù)兩者的差異對此做出必要的調(diào)整．總之,這里的關(guān)鍵就在于“求同存異”——就我們當前的論題而言,這清楚地表明了“同與不同”之間的辯證關(guān)系．

最后,與先前的分析相類似,我們也可將“特征五”和“特征六”與“思維的品質(zhì)”直接聯(lián)系起來,這也是指,我們應當善于用聯(lián)系的觀點去看待事物和現(xiàn)象;進而,所說的兩個“特征”則具體地表明了我們應當圍繞哪些問題去進行分析思考．

還應強調(diào)的是,相關(guān)研究不僅直接關(guān)系到了思維的廣度,也與思維的深度密切相關(guān)．因為,在這兩者之間顯然也存在相互依賴、互相促進的密切聯(lián)系,特別是,正如以上關(guān)于抽象能力的分析所表明的,只有適當?shù)赝貙捯曇?我們才能達到更大的認識深度;也只有達到了更大的認識深度,我們才能更好地發(fā)現(xiàn)不同事物與現(xiàn)象之間的聯(lián)系．

綜上可見,這就是數(shù)學教學應當特別重視的又一方面,即“聯(lián)系的觀點”與思維的深刻性．

第四,除去已提及的“同與不同”之間的辯證關(guān)系以外,對于前面所提及的另外兩個要點,我們顯然也可分別圍繞“變與不變”與“部分與整體”之間的關(guān)系做出進一步的分析,再者,“特殊化與一般化”無疑也應被看成數(shù)學活動又一重要的涵義．以下就圍繞數(shù)學活動的兩種基本形式:“問題的提出與解決”和“概念的生成、分析與組織”,對此做出簡要的分析說明．

首先,正如著名數(shù)學家希爾伯特所指出的,無論是所謂的“一般化方法”還是“特殊化方法”,都可視為對數(shù)學研究具有特別的重要性;“在解決一個數(shù)學問題時,如果我們沒有獲得成功,原因常常在于我們沒有認識到更一般的觀點,即眼下要解決的問題不過是一連串有關(guān)問題中的一個環(huán)節(jié)．”又,“在討論數(shù)學問題時,我們相信特殊化比一般化起著更重要的作用．可能在大多數(shù)場合,我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因在于這樣的事實,即有一些比手頭的問題更簡單、更容易的問題沒有完全解決或完全沒有解決．這時,一切有賴于找出這些比較容易的問題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們．這種方法是克服數(shù)學困難的最重要的杠桿之一”[8]．再者,正如人們普遍認識到的,問題解決不應被看成數(shù)學活動的終點,恰恰相反,我們應當以此為基礎并通過提出新的問題積極從事新的研究,從而促進數(shù)學的進一步發(fā)展．由此我們可以更清楚地認識“一般化”的重要性,就如我們能否對已獲得的結(jié)果做出推廣,又是否可以將所使用的方法應用于更多場合,等等．

其次,所謂的“概念的生成、分析與組織”,顯然與“特征七”和“特征八”有著直接的聯(lián)系,我們?nèi)绾巍坝门f的概念綜合出新的概念,把它們用新的方法組合起來”,又如何“提出全新的觀念”,由此我們可以更清楚地認識“特殊化”與“一般化”對于數(shù)學的特殊重要性．

如果說一般意義上的抽象,即由特殊向一般的過渡主要被視為分析性的工作,也即我們?nèi)绾文苡稍椭羞x取某一(些)特征加以抽象從而形成比前者具有更大普遍性的概念或理論(對此可稱為“弱抽象”),那么,數(shù)學中經(jīng)常也會用到另一種形式的抽象(“強抽象”),即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^引入新的特征、或者說概念的適當組合生成新的概念,后者與前者相比具有更大的特殊性(詳見文[9]第三章)．

例如,由一般三角形的概念出發(fā),通過引入“兩條邊相等”或“一個角為直角”這樣兩個特征,我們可以分別得到“等腰三角形”和“直角三角形”的概念;進而由兩者的綜合,我們就可以獲得“等腰直角三角形”這一更特殊的概念．

在一些學者看來,我們可以將“概念的適當組合”看成發(fā)明創(chuàng)造的本質(zhì)．這清楚地表明了數(shù)學學習在后一方面所能發(fā)揮的重要作用．

綜上可見,以人工智能的研究為背景進行分析確實有助于我們更好地認識數(shù)學學習的價值,也即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^數(shù)學教學有效促進學生思維的發(fā)展．當然,作為問題的另一方面,我們應清楚地認識到超越人工智能的研究框架、并從更廣泛的角度進行分析思考的重要性.因為,無論后一方面的研究取得了什么成就,也即機器能在多大程度上代替人類思維,我們都不應因此而停止思考,恰恰相反,我們?nèi)詰獙⒋龠M人們思維的發(fā)展看成數(shù)學學習最主要的功能,也即應當通過數(shù)學教學幫助學生逐步做到樂于思考、勤于思考、善于思考．

進而,從同一角度我們可以更好地理解這樣一個主張的合理性,即相對于各種具體思維方法的學習而言,我們應當更加重視提升學生的思維品質(zhì),特別是,正如先前的分析所表明的,應當努力提升學生思維的靈活性、清晰性、深刻性和創(chuàng)造性．

當然,上述分析也不能被看成已經(jīng)窮盡了所有的重要方面．例如,除去已提及的各個方面以外,我們也應十分重視思維的自覺性,這是侯世達在上述著作中所特別強調(diào)的一點,即我們應將高度的自覺性看成人類思維十分重要的一個特點,就如“人的意識有一個固有的特點,他總是能看出關(guān)于他正在做的事情的某些事實”以及“某種自我意識似乎是意識的關(guān)鍵所在．”[5]50,538例如,前面所提到的“元認知”顯然就可看成“自我意識”的重要表現(xiàn);當然,對于“思維的自覺性”我們應做出更加廣義的理解,特別是,除去元認知的能力以外,我們也應通過數(shù)學教學幫助學生逐步養(yǎng)成這樣一種思維習慣或品質(zhì),即善于通過總結(jié)、反思與再認識實現(xiàn)認識的不斷優(yōu)化．例如,除去對于“元認知”這樣一種“即時反思”以外,我們也應十分重視事后的全面總結(jié)和反思:“在我們關(guān)于有意識的心智的觀念中,能反思自己和評判自己的所作所為是它固有的特點,不需要外加的部分:它已經(jīng)是完備的了．”[5]514進而,人們的認識必定又有一個不斷發(fā)展和深化的過程,從而我們應當在后一方面做出自覺的努力,這就是我們?yōu)槭裁从謶貏e強調(diào)“再認識”的主要原因．(筆者以為,我們應當圍繞“總結(jié)、反思與再認識”更好地去理解“長時間思考”的重要性,特別是,對此不應簡單地理解為“放慢節(jié)奏”,而應更加重視“慢下來以后究竟干什么?”)

在筆者看來,這可視為數(shù)學學習的本質(zhì),即這主要是一個不斷優(yōu)化的過程,也即表現(xiàn)為認識的不斷深化,而不只是橫向的擴展．也正因此,我們就應對于上面所提及的要點做出進一步的拓展,應當將以下四個方面看成這方面工作的重點:(1)“聯(lián)系的觀點”與思維的深刻性;(2)“變化的思想”與思維的靈活性;(3)“序的思想”與思維的清晰性;(4)“總結(jié)反思和再認識”與思維的自覺性．

顯然,依據(jù)上述分析我們可以更好地理解筆者在先前所提出的這樣一個主張:“數(shù)學基礎知識的學習,不應求全,而應求聯(lián);數(shù)學基本技能的學習,不應求全,而應求變;數(shù)學思維的學習,不應求全,而應求用．”再者,這是筆者在當前為什么又要特別倡導“數(shù)學深度教學”的主要原因,這也就是指,為了更好地發(fā)揮數(shù)學教學對于促進學生思維發(fā)展的積極作用,我們應當超越具體的數(shù)學知識和數(shù)學技能深入到思維的層面,由具體的數(shù)學方法和策略深入到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升,還應幫助學生由主要是在教師(或書本)指導下進行學習逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W習,包括善于通過同學間的合作與互動進行學習,從而真正成為學習的主人．

再則,這也應視為“走向深度教學”又一重要的涵義,即我們還應通過數(shù)學教學幫助學生由理性思維逐步走向理性精神,從而真正成為未來社會的合格公民,而不是行事隨性、更不具有任何社會責任感的“自由主義者”．顯然,從后一角度我們可以更好認識創(chuàng)建這樣一種“數(shù)學課堂文化”的重要性:“思維的課堂,安靜的課堂,互動的課堂,理性的課堂,開放的課堂．”[10]

最后,筆者以為,這即是數(shù)學學習更高層次的一個價值,即有助于我們更好地認識精神與物質(zhì)世界之間的關(guān)系,特別是,我們既應很好地實現(xiàn)精神的自由發(fā)展,又應以此為基礎實現(xiàn)“主客體”在更高層次的統(tǒng)一:“數(shù)學……是一種活動,在這種活動中,人類精神似乎從外部世界所取走的東西最少,在這種活動中,人類精神起著作用,或者似乎只是自行起著作用和按照自己的意志起作用．”“……它充分向我們表明,當人類精神越來越擺脫外部世界的羈絆時,它能夠創(chuàng)造出什么東西,因此它們就愈加充分地讓我們在本質(zhì)上了解人類精神．”[6]374,367又,“當數(shù)學越是退到抽象思想的更加極端區(qū)域時,它就越是在分析具體事實方面相應地獲得腳踏實地的重要成長．沒有比這事實更令人難忘的了．”[11]

在不少數(shù)學家看來,這就是我們?yōu)槭裁磻獙?shù)學看成一門藝術(shù)而不是自然科學的主要原因(詳見文[12])．當然,后一論題已在很大程度上超出了基礎數(shù)學的范圍,但在筆者看來,我們作為數(shù)學教師仍應努力提升自身在這一方面的修養(yǎng),從而可以對學生發(fā)揮潛移默化、然而又是十分重要的作用,并能在適當場合結(jié)合自身的感受和體會為學生打開一扇通向未來的窗戶．

顯然,“第一課”就是這樣的一個場合．

后記剛剛完成這一文章,恰好又讀到了日本著名數(shù)學家、菲爾茲獎得主廣中平祐所著《數(shù)學與創(chuàng)造:廣中平祐自傳》[13]．這一著作所表達的主要觀點之一是,我們應當很好地認識與處理“(數(shù)學)知識的學習”與“智慧的發(fā)展”之間的關(guān)系,并應將后者看成數(shù)學學習的主要目標,我們更可將“靈活性”“深刻性”與“強大性”看成智慧的主要涵義．顯然,這與正文中所提倡的觀點也是十分一致的．又由于這一著作與文[5]相比可以說具有更大的可讀性,因此,筆者在此愿對這一著作做特別的推薦,希望廣大數(shù)學教育工作者、特別是一線老師都能認真地進行閱讀學習．