數(shù)學(xué)理解視角下“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的評(píng)析與啟示
——以2022年江蘇省各市數(shù)學(xué)中考為例

黃賢明 徐芳影 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215129)

理解是教育永恒的追求,隨著國(guó)際教育改革的不斷推進(jìn),“為理解而教,為理解而學(xué)”成為了當(dāng)代教育改革的重要思潮.自1935年布勞內(nèi)爾(W.A.Brownell)提出從理解的視角認(rèn)識(shí)算術(shù)教學(xué)以來(lái)[1],數(shù)學(xué)理解就成為了研究者關(guān)注的重點(diǎn),并被列為國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的主題之一.不難發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)理解是發(fā)展核心素養(yǎng)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),是培育數(shù)學(xué)思想的前提條件,是涵養(yǎng)數(shù)學(xué)精神的重要源泉,在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展中起著不可替代的作用.數(shù)學(xué)理解既可以認(rèn)為是學(xué)習(xí)者獲得數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)性理解的過(guò)程,也可以認(rèn)為是學(xué)習(xí)者經(jīng)歷了數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解水平[2].中考作為初中生學(xué)習(xí)的終點(diǎn),自然會(huì)涉及對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)理解水平的檢測(cè).以2022年江蘇省各市數(shù)學(xué)中考中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題為例,分析其所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)理解水平,并對(duì)初中“抽樣與數(shù)據(jù)分析”內(nèi)容的教學(xué)得到相關(guān)啟示.

1 數(shù)學(xué)理解的理論框架

1.1 數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)在于學(xué)習(xí)者建立新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié),進(jìn)而將新知納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu),并隨時(shí)提取應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中.從結(jié)果上看,數(shù)學(xué)理解是學(xué)生經(jīng)歷了“經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解、文化性理解”這五大環(huán)節(jié),獲得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)內(nèi)涵及其外延知識(shí)的深入認(rèn)識(shí),建立形成新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),并達(dá)到一定的數(shù)學(xué)理解水平.受多方面因素的影響,不同學(xué)習(xí)者對(duì)于同一數(shù)學(xué)對(duì)象可能會(huì)產(chǎn)生不同水平層次的理解,而高水平層次的數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)教育所追求的目標(biāo).

1.2 數(shù)學(xué)理解的水平框架

李春雷等[3]將數(shù)學(xué)理解的水平劃分為認(rèn)知和情感兩大維度.從認(rèn)知維度出發(fā),數(shù)學(xué)理解可 以劃分為工具性理解、關(guān)系性理解與創(chuàng)造性理解;從情感維度出發(fā),主要包括文化性理解水平,目 前還未出現(xiàn)更細(xì)致的劃分.基于該劃分框架,結(jié) 合“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查內(nèi)容與試題特點(diǎn), 可將各個(gè)水平在考查中的具體體現(xiàn)闡述如下(表1).

表1 數(shù)學(xué)理解水平框架

在“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的設(shè)計(jì)中,大多圍繞認(rèn)知維度的考查展開,重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生工具性理解水平的達(dá)成情況.近年來(lái),圍繞關(guān)系性理解和創(chuàng)造性理解水平的試題也逐漸增多,但幾乎沒(méi)有針對(duì)文化性理解水平的相關(guān)試題.

2 2022年江蘇省各市中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題的評(píng)析

2.1 總體分析

從整體上看,2022年江蘇中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2022年版)》)的內(nèi)容要求,在立足基礎(chǔ)的前提下更關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)情境化的應(yīng)用,并且部分地區(qū)的中考突破了對(duì)“抽樣與數(shù)據(jù)分析”內(nèi)容的顯性考查,更趨向于將知識(shí)內(nèi)隱于問(wèn)題情境中,考查這些統(tǒng)計(jì)量的重要特征.

經(jīng)統(tǒng)計(jì),2022年江蘇省中考共有26道“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的試題,考查知識(shí)點(diǎn)包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等計(jì)算,統(tǒng)計(jì)圖(表)中信息的提取與分析等.縱觀試題的問(wèn)題情境,其中生活情境占據(jù)了84.62%,表明抽樣與數(shù)據(jù)分析擁有著較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值與意義,這也與《課標(biāo)(2022年版)》所提出的教學(xué)建議相吻合.從數(shù)學(xué)理解水平角度對(duì)試題進(jìn)行劃分,發(fā)現(xiàn)工具性理解水平試題占84.62%,關(guān)系性理解水平試題占7.69%,創(chuàng)新性理解水平試題占7.69%.由此可知,抽樣與數(shù)據(jù)分析的考查大多圍繞工具性理解水平而展開,僅做知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)與應(yīng)用,而關(guān)于統(tǒng)計(jì)量的特征、預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)、推斷事物發(fā)展規(guī)律、綜合性的數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容卻幾乎未涉及,不能真正彰顯學(xué)生經(jīng)歷三年學(xué)習(xí)后所形成的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.2 不同理解水平下的試題評(píng)析

以下從數(shù)學(xué)理解的認(rèn)知維度來(lái)具體分析“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查特點(diǎn).

(1)工具性理解水平試題

工具性理解水平是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的起始性要求,也是大多數(shù)“抽樣與數(shù)據(jù)分析”試題所考查的數(shù)學(xué)理解水平.這些試題的編制圍繞《課標(biāo)(2022年版)》中的內(nèi)容要求,創(chuàng)設(shè)生活情景或數(shù)學(xué)情景,體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的基本概念、統(tǒng)計(jì)表(圖)等內(nèi)容的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

圖1

評(píng)析本題考查了方差的性質(zhì)及計(jì)算,屬于工具性理解水平中理解事實(shí)性知識(shí)、理解操作程序的范疇.學(xué)生可以根據(jù)方差的計(jì)算公式算出兩組數(shù)據(jù)的方差來(lái)進(jìn)行判斷,也可以根據(jù)方差的性質(zhì)從折線圖觀察兩組數(shù)據(jù)偏離程度的大小.因此,學(xué)生只要掌握其中任意一種方法就可以解決該問(wèn)題,得出甲的方差較大.

(2)關(guān)系性理解水平試題

關(guān)系性理解水平更關(guān)注知識(shí)之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系,更體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,是對(duì)基本知識(shí)內(nèi)涵的深入探究.這一水平試題的編制立足知識(shí)的本質(zhì),并關(guān)注到學(xué)生數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

A.①② B.①③ C.①④ D.③④

(3)創(chuàng)造性理解水平試題

創(chuàng)造性理解水平強(qiáng)調(diào)在新情境、新問(wèn)題中對(duì)于知識(shí)的拓展與應(yīng)用,更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐價(jià)值與跨學(xué)科融合.創(chuàng)新性理解水平是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)導(dǎo)向,也是當(dāng)今時(shí)代發(fā)展下對(duì)人才培養(yǎng)的基本訴求.在此思想的指導(dǎo)下,對(duì)于“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的考查也出現(xiàn)了新的趨勢(shì),即知識(shí)內(nèi)隱于問(wèn)題情境中,這對(duì)教師的教學(xué)提出了新挑戰(zhàn).

例3(徐州)如圖2,5枚裝在相同的透明密封盒內(nèi)的古錢幣,其密封盒上分別標(biāo)有古錢幣的尺寸及質(zhì)量,例如:錢幣“文星高照”密封盒上所標(biāo)“45.4*2.8 mm,24.4 g”是指該枚古錢幣的直徑為45.4 mm,厚度為2.8 mm,質(zhì)量為24.4 g.已知這些古錢幣的材質(zhì)相同.

圖2

根據(jù)圖中信息,解決下列問(wèn)題:

(1)略.

(2)由于古錢幣無(wú)法從密封盒內(nèi)取出,為判斷密封盒上所標(biāo)古錢幣的質(zhì)量是否有錯(cuò),桐桐用電子秤測(cè)得每枚古錢幣與其密封盒的總質(zhì)量如下:

名稱文星高照狀元及第鹿鶴同春順風(fēng)大吉連中三元總質(zhì)量/g58.758.155.254.355.8

請(qǐng)你應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),判斷哪枚古錢幣所標(biāo)的質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量差異較大,并計(jì)算該枚古錢幣的實(shí)際質(zhì)量約為多少克.

評(píng)析本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析綜合能力,屬于創(chuàng)新性理解新情境下數(shù)學(xué)本原知識(shí)、理解數(shù)學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用的范疇.學(xué)生需要先根據(jù)實(shí)際質(zhì)量與所標(biāo)質(zhì)量之差(即密封盒的質(zhì)量)來(lái)判斷存在問(wèn)題的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)鹿鶴同春的質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量差異較大,進(jìn)而計(jì)算出其余四個(gè)密封盒質(zhì)量的平均值34.2 g,得到鹿鶴同春的實(shí)際質(zhì)量為21 g.在此題的解決過(guò)程中,學(xué)生經(jīng)歷了“數(shù)據(jù)分析—發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—數(shù)據(jù)處理—得出結(jié)論”的思考過(guò)程,彰顯了數(shù)據(jù)分析的現(xiàn)實(shí)價(jià)值意義,是學(xué)生數(shù)據(jù)分析綜合能力的直接反映.

例4(常州)某汽車評(píng)測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)市面上多款新能源汽車0～100 km/h的加速時(shí)間和滿電續(xù)航里程進(jìn)行了性能評(píng)測(cè),評(píng)測(cè)結(jié)果繪制如 圖3,每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一款新能源汽車的評(píng)測(cè)數(shù)據(jù).已知0～ 100 km/h的加速時(shí)間的中位數(shù)是ms,滿電續(xù)航里程的中位數(shù)是nkm,相應(yīng)的直線將平面分成了①、②、③、④四個(gè)區(qū)域(直線不屬于任何區(qū)域).欲將最新上市的兩款新能源汽車的評(píng)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繪制到平面內(nèi),若以上兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均保持不變,則這兩個(gè)點(diǎn)可能分別落在( ).

圖3

A.區(qū)域①、② B.區(qū)域①、③

C.區(qū)域①、④ D.區(qū)域③、④

評(píng)析本題考查了中位數(shù)的性質(zhì),屬于創(chuàng)造性理解水平試題.本題構(gòu)建了學(xué)生較為陌生的情境,并且將兩組數(shù)據(jù)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來(lái)表示,需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解問(wèn)題的本原,并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在添加了兩組數(shù)據(jù)之后,中位數(shù)保持不變的方法”.當(dāng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化后,只需要保證0～100 km/h的加速時(shí)間的數(shù)值分別處于直線m的上方和下方,滿電續(xù)航里程的數(shù)值分別位于直線n的左側(cè)和右側(cè),即可得出兩個(gè)點(diǎn)可能分別落在區(qū)域①、③或區(qū)域②、④.此題將對(duì)中位數(shù)性質(zhì)的考查內(nèi)隱于問(wèn)題情境中,較好地體現(xiàn)了知識(shí)的綜合性與靈活性,是對(duì)學(xué)生閱讀理解、問(wèn)題分析、知識(shí)應(yīng)用等能力的檢測(cè).

3 教學(xué)啟示

3.1 夯實(shí)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ),達(dá)成工具性理解

《課標(biāo)(2022年版)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科需要確立以學(xué)生發(fā)展為本、以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標(biāo),強(qiáng)調(diào)學(xué)生“四基”的獲得與“四能”的發(fā)展[4]2.從2022年江蘇省中考試題中可以發(fā)現(xiàn),抽樣與數(shù)據(jù)分析的考查圍繞工具性理解水平的達(dá)成,即要求學(xué)生掌握基本的統(tǒng)計(jì)量與統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題.那么教師的教學(xué)目標(biāo)就應(yīng)將重點(diǎn)放在基礎(chǔ)性統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用上,促進(jìn)學(xué)生在小學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的基礎(chǔ)上形成數(shù)據(jù)分析觀念、掌握數(shù)據(jù)分析方法、感悟數(shù)據(jù)分析價(jià)值.在教學(xué)實(shí)踐中,教師要把握好知識(shí)的本質(zhì),從現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的分析與解決中感悟統(tǒng)計(jì)量的價(jià)值意義,理解它們的內(nèi)涵與本質(zhì),并將其應(yīng)用于預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)規(guī)律、解釋現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題中.例如,在方差的教學(xué)中,教師可以給出甲、乙運(yùn)動(dòng)員射靶成績(jī)的兩組數(shù)據(jù):“7,8,8,8,9”和“10,6,10,6,8”,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)在刻畫數(shù)據(jù)離散程度中的局限性,并在折線圖的直觀感受下激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,形成方差的定義與計(jì)算公式,進(jìn)而獲得對(duì)方差最本質(zhì)的理解,達(dá)到工具性理解水平.總之,夯實(shí)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)、達(dá)成工具性理解是數(shù)學(xué)理解發(fā)展的基本訴求,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的基本要求.

3.2 建立關(guān)系圖式,形成關(guān)系性理解

“抽樣與數(shù)據(jù)分析”中的各個(gè)概念是相互聯(lián)系的一個(gè)整體,但這些聯(lián)系卻常常被教師所忽視.倘若以一種孤立的視角教授這些概念,必將會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維受到限制.因此,在教學(xué)中教師要以大單元、大概念的視角解構(gòu)統(tǒng)計(jì)知識(shí),重建統(tǒng)計(jì)知識(shí)的“大廈”.同時(shí),教師要利用好單元復(fù)習(xí)課,選擇開設(shè)相關(guān)專題課,組織繪制統(tǒng)計(jì)知識(shí)的思維導(dǎo)圖,讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建各個(gè)統(tǒng)計(jì)量之間的內(nèi)在聯(lián)系.在習(xí)題的講評(píng)中,教師也應(yīng)注意滲透統(tǒng)計(jì)試題的問(wèn)題分析思路與方法,體會(huì)數(shù)據(jù)分析的必要過(guò)程,進(jìn)一步推進(jìn)“四基”“四能”的發(fā)展,推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

以例2的講評(píng)為例,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以一般的視角分析問(wèn)題,給出第2組數(shù)據(jù)的一般形式,滲透分類討論思想,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,避免就題論題.在解決例3后,可以引導(dǎo)學(xué)生改變問(wèn)題條件,提出新的探究問(wèn)題,如:“若第3組數(shù)據(jù)為m個(gè)a和n個(gè)a+1,此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差分別如何表示?它們與第2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差相比有何變化?”最后,教師在探究總結(jié)中帶領(lǐng)學(xué)生整理回顧相關(guān)知識(shí)、形成知識(shí)體系,并布置開放性作業(yè):請(qǐng)參考這三組數(shù)據(jù)與問(wèn)題的設(shè)置,仿照設(shè)計(jì)一道相關(guān)統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)的試題,并給出詳細(xì)的參考答案.在探究中,不僅讓學(xué)生從大觀念的視角下解決了問(wèn)題,構(gòu)建了統(tǒng)計(jì)知識(shí)的關(guān)系圖式,促進(jìn)了學(xué)生關(guān)系性理解的形成,而且還借助數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展了學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與數(shù)學(xué)興趣.

3.3 關(guān)注實(shí)踐拓展,推動(dòng)創(chuàng)造性理解

隨著《課標(biāo)(2022年版)》的頒布,“抽樣與數(shù)據(jù)分析”也新增了“經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動(dòng),知道按照組內(nèi)離差平方和最小的原則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類的方法”和“會(huì)計(jì)算四分位數(shù),了解四分位數(shù)與箱線圖的關(guān)系,感悟百分位數(shù)的意義”兩大內(nèi)容,這一變動(dòng)指明了“抽樣與數(shù)據(jù)分析”更應(yīng)立足于現(xiàn)實(shí)世界、服務(wù)于現(xiàn)實(shí)世界,教學(xué)要給予學(xué)生更全面的數(shù)據(jù)分析方法,彰顯數(shù)據(jù)分析的價(jià)值意義[4]74.這也意味著未來(lái)“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的中考命題將逐漸向?qū)嵺`性、綜合性、靈活性的方向發(fā)展,也將更為關(guān)注學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的創(chuàng)新性理解水平的達(dá)成,更為關(guān)注學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.這些啟示著教師要在達(dá)成工具性理解、形成關(guān)系性理解的基礎(chǔ)上,開展實(shí)踐與拓展性數(shù)學(xué)活動(dòng),推動(dòng)學(xué)生創(chuàng)造性理解的發(fā)展.

《課標(biāo)(2022年版)》在“抽樣與數(shù)據(jù)分析”中給出了“設(shè)計(jì)調(diào)查方案”“分布式計(jì)算平均數(shù)或百分?jǐn)?shù)”“數(shù)據(jù)分組的原則”等案例.案例均從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā),以求用統(tǒng)計(jì)的思想或工具加以解決.這些案例都是教師開展實(shí)踐拓展型教學(xué)活動(dòng)的重要素材來(lái)源.此外,教師還可以與物理、化學(xué)、心理、體育等學(xué)科教師協(xié)作,開展相關(guān)跨學(xué)科主題的統(tǒng)計(jì)研究活動(dòng),如:運(yùn)動(dòng)前后的心率變化、學(xué)生心理問(wèn)題調(diào)查、不同石塊的密度研究等,引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的形式,借助網(wǎng)絡(luò)信息、實(shí)地調(diào)查或?qū)嶒?yàn)操作等方式,經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集的過(guò)程,并在數(shù)據(jù)整理中 以理性的眼光發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)、剔除無(wú)關(guān)的數(shù)據(jù),最后選擇合適的統(tǒng)計(jì)工具與統(tǒng)計(jì)方法,預(yù)測(cè)事物發(fā)展規(guī)律、估計(jì)事物總體情況,得出較為科學(xué)的結(jié)論與建議,并形成相關(guān)文字材料.在此過(guò)程中,學(xué)生全身心地參與到了研究中去,完整經(jīng)歷了數(shù)據(jù) 分析的全過(guò)程,靈活應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題,感悟統(tǒng)計(jì)思想.最終學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)的 推動(dòng)下形成了創(chuàng)造性理解,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展.