聚焦數(shù)學思維高度的解題研究*

劉 鵬 陳建新 (浙江省義烏市北苑中學 322015)

數(shù)學家波利亞說過,掌握數(shù)學就意味著善于解題.當前教育環(huán)境和素質教育背景下,作為教師,在關注解題答案的同時,更應該重視解題的思維過程,以促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.用“題海戰(zhàn)術”來代替思維能力的培養(yǎng)從而避開數(shù)學思維發(fā)展的觀念,是不可取的.實際上,數(shù)學解題活動本身是一種數(shù)學的思維活動.在原有的思維結構下,思維活動呈現(xiàn)出同時性、歷時性、多聯(lián)系的特征[1].具體來說,一個數(shù)學問題的解決,思維品質起主導作用.尤其是探究、解后反思的環(huán)節(jié),主要受思維深刻性的影響.然而,回顧理論之維和實踐之徑兩個方面發(fā)現(xiàn),試題中思維深刻性的研究普遍過于單一、片面,難以清晰地揭示解題與思維兩者的關系.筆者認為,以教師專業(yè)發(fā)展為價值取向,借助“高觀點”的視角審視解題中的思維深刻性,能夠開拓初等數(shù)學問題的研究思路,更是一線教師提升自身專業(yè)水平的絕佳路徑.基于此,本文依據(jù)高觀點的基本內涵,著力深化對數(shù)學思維深刻性的認知,尋求兩者之間的契合點,構建數(shù)學思維高度分析視角,以二次方程解的有關代數(shù)問題為例展開分析,試圖啟發(fā)解題研究的方法與智慧.

1 高觀點的內涵

眾所周知,菲利克斯·克萊因在其著作《高觀點下的初等數(shù)學》中首先提出“高觀點”這一思想[2].所謂高觀點,即“高觀點下的初等數(shù)學”,用高等數(shù)學的知識、思想和方法分析和解決初等數(shù)學的問題.包括現(xiàn)代數(shù)學的思想與方法在中學數(shù)學中的滲透、高等數(shù)學對中學數(shù)學的具體指導、借助高等數(shù)學的背景分析中學數(shù)學中不易處理的問題[3].于初中數(shù)學而言,以揭示數(shù)學概念本質屬性,并根據(jù)其發(fā)生發(fā)展的過程,衍生出各種思想方法為目的,從而架起初等數(shù)學與高等數(shù)學之間的橋梁.簡單來說,中學里的許多問題是高等數(shù)學的下位具體表現(xiàn),高等數(shù)學是作為中學數(shù)學解題的上位宏觀指導.這意味著在進行解題研究的過程中,應當站在更高的視角,加深對初等數(shù)學的理解.

2 數(shù)學思維深刻性的內涵

數(shù)學思維深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平,以及思維活動的廣度、深度和難度.能夠把握數(shù)學對象的內在特征,減少思維中表面化和絕對化的通病[4].不僅體現(xiàn)在解決問題過程中,更體現(xiàn)在解后的進一步思考中.具體表現(xiàn)為兩方面:一是從知識角度來看,對數(shù)學概念理解的深刻程度;二是從方法角度來看,對數(shù)學問題的內容或形式進行重組、變式、舉反例等,體現(xiàn)為層次性.

3 解題研究中的數(shù)學思維高度

當前,一線教師對試題中所蘊含數(shù)學思維深刻性的分析往往停留在初等數(shù)學的階段.在講解題目中的相關數(shù)學概念時,多以復述的形式將教材中的定義原封不動地呈現(xiàn),機械地記憶使得數(shù)學知識孤立于學生大腦中,難以形成完整的結構,從而陷入零散型與碎片化的學習困境,以致學生在解題時概念模糊,運用方法不得當,在解題反思中只是將常規(guī)的解題方法再強化,而少有創(chuàng)新、突破.長此以往,思維深刻性的發(fā)展遇到了瓶頸.

在筆者看來,由于高觀點與數(shù)學思維深刻性在知識與方法兩個角度上具有共性,高觀點的思想在一定程度上能夠促進思維深刻性的發(fā)展.根據(jù)兩者的基本特征得出以下兩點:一方面,深刻性本身體現(xiàn)“聯(lián)系”這一觀點,即初等數(shù)學與高等數(shù)學是統(tǒng)一的整體.以知識的發(fā)生發(fā)展為線,追根溯源,從更高的視角看問題,體現(xiàn)了知識歷時性與思維活動多聯(lián)系結合的特征,即數(shù)學內容上的思維高度.另一方面,以思想方法為脈,由具體相應的解題策略逐步向一般性思維策略過渡,從而優(yōu)化數(shù)學問題的重組、變式,體現(xiàn)方法的多樣化與思維活動多層次、多水平結合的特征,即數(shù)學方法上的思維高度.綜上所述,聚焦數(shù)學思維高度的解題研究,即借助高等數(shù)學的知識與方法來加深對初等數(shù)學知識與方法的理解,從數(shù)學知識與方法構成數(shù)學思維高度,并據(jù)此進行解題研究.現(xiàn)結合具體案例進行說明.

4 聚焦數(shù)學思維高度的解題分析

4.1 聚焦知識,呈現(xiàn)思維高度

問題1求方程5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0的實數(shù)解.

本題普遍采用判別式法,將y看作是常數(shù),構成關于x的一元二次方程,得如下解法.

解法1原方程即5x2+(6y-14)x+2y2-8y+10=0,由于方程有實數(shù)解,所以判別式大于或等于0,得Δ=(6y-14)2-20(2y2-8y+10)= -4(y+1)2≥0,當且僅當y=-1時,方程有實數(shù)解,得x=2,y=-1.

說明 這一思路說明解題者對中學階段的判別式法已經爛熟于心,是常規(guī)方法.倘若對教材理解深刻,仔細觀察解答過程中的Δ≥0部分,就能夠發(fā)現(xiàn)這里實際上運用了配方法.追根溯源,教材中在討論實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)是否有實數(shù)解的問題時指出需要利用判別式,對等式兩邊乘以4a,得4a2x2+4abx+4ac=0,變形得到(2ax)2+2·(2ax)·b+b2=b2-4ac,對等式左邊配方,得b2-4ac=(2ax+b)2≥0.從數(shù)學思維高度的視角來看,這里配方法的本質是作了一次線性變換,令y=2ax+b,使得上述方程缺失x的一次項,并轉化為y2=b2-4ac來求解.這就自然想到三次方程、四次方程都可以相應地缺失x2和x3項,進行線性變換[5].這里不再拓展.

教師應將教材中冰冷的知識加以錘煉,變成火熱的思考,而這種思考應具有一定的思維高度,能夠站在以中學直至大學為背景的知識發(fā)生發(fā)展的角度.不僅僅是本題配方法所運用的線性變換,還有其他許多內容.以配方法為例,在中學層面,在因式分解、二次根式、解方程、不等式、函數(shù)最值或性質等多個方面都涉及;大學層面,最小二乘法、二次型、矩陣打洞、積分換元等也有涉及[6].這就說明,數(shù)學知識不是孤立的個體,而是一個完整、龐大的體系.回過頭來,我們對原問題所需的知識作了一個數(shù)學思維高度上的分析,那么是否能夠將知識轉化為方法呢?

4.2 聚焦方法,提升思維高度

根據(jù)上述線性變換的有關內容,結合一元二次方程的配方思路,亦可得到另一種解法.

解法2將原方程兩邊乘以5,得25x2+5(6y-14)x+5(2y2-8y+10)=0,配方得(5x)2+2×(5x)×(3y-7)+(3y-7)2-(3y-7)2+5(2y2-8y+10)=0,化簡得(5x+3y-7)2+(y+1)2=0,得解x=2,y=-1.

說明 在代數(shù)方程問題上,從知識角度來看,由判別式的由來引出配方法.以高等代數(shù)中線性變換的思路出發(fā),達到了消元的目的,減少未知數(shù)的個數(shù),得到解法2.相比于解法1,學生更能理解教材中判別式的來路、去路,規(guī)避了解題思維的盲點,減少了思維走向中的坡道和可能的彎路、岔路.當然,本題對代數(shù)式恒等變形的過程與步驟要求較高,不適用于多數(shù)學生,卻是一種思維提升的路徑.既然利用線性變換的有關知識能夠形成解法2,那么進一步思考是否還有其他的思路.先看問題2.

說明 不難發(fā)現(xiàn),這一解法正是大學數(shù)學《高等代數(shù)》課本中有關二次型化為標準型的一種方法,其實質就是將其化為平方的形式,只不過配方的對象更為一般化.對形如a2+2ab+2ac的等式也能配方,變形為(a+b+c)2-b2-c2-2bc=(a+b+c)2-(b+c)2,那么對于問題1又會有新的思路:

說明 對比來看,解法2是乘上系數(shù)5,而解法3卻是提取系數(shù)5,有異曲同工之妙.解法3先將含有x的項整理到一起,提取系數(shù)后配成平方,增減其余項.對剩下的項依次配方,即可完成整個式子的配方.借助高觀點的思想,使得配方形式逐漸多樣化,在方法的變化上,提升了數(shù)學的思維高度.那么,進一步反思:是否有第三種或者第四種配方的形式能夠用來解本題呢?

4.3 探究反思,突破思維高度

解題研究中,解決問題固然重要,但是解題反思依然是鍛煉思維的關鍵步驟,而真正有價值的反思決不是為了多幾種解題方法,如此并沒有揭示本質.能夠根據(jù)問題回歸教材,依綱靠本,才是當前解題所倡導的.因此,針對問題1,我們從教材中的公式ax2+bx+c=0(a≠0)出發(fā),根據(jù)前文配方法的多樣化可知并不是無規(guī)律可循.有了以上分析,馬上可以看出頂點式就是將含x的二次項和一次項進行配方所得到:

那么,進一步思考,能否對公式中含x的二次項和常數(shù)項進行配方呢?形式如下:

同理,對公式中含x的一次項和常數(shù)項也進行配方的嘗試:

說明 至此,根據(jù)配方的不同對象進行組合,得到以上三個不同的配方形式.說明同一個數(shù)學式子的配方形式往往不止一種,可以配多個平方式,每個平方式又可以含有多項,每一項又可以用來解決不同的數(shù)學問題或者是為同一問題提供不同的方法.從數(shù)學思維高度來看,是由具體的配方策略向一般性配方策略逐漸過渡的體現(xiàn),可以說是數(shù)學“再創(chuàng)造”的過程,明確配方的方向與對象是產生多種配方形式的根本所在.數(shù)學探究就是數(shù)學思維活動的過程,學生若是能夠經歷這樣的環(huán)節(jié),那么提升思維高度的效果是不言而喻的.并且,基于方法層面的數(shù)學思維高度來看,當數(shù)學方法達到一定的數(shù)量或程度時,為了能夠清晰地揭示問題的本質,我們應當繼續(xù)深入思考:是否能將方法一般化呢?于是我們又可以將問題1進行重組.

問題3方程5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0的解為x=2,y=-1,可得哪些配方形式?

解5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=a(x+2y)2+b(x-2)2+c(y+1)2+d(x-y-3)2+e(x+y-1)2=x2(a+b+d+e)+x(4ay-4b-2dy-6d+2ey-2e)+y2(4a+c+d+e)+y(2c+6d-2e)+4b+c+9d+e,對應方程系數(shù)有a+b+d+e=5,4a+c+d+e=2,2c+6d-2e=-8,4b+c+9d+e=10.得

(出現(xiàn)無窮多解).

說明 在問題1的基礎上,逆向重組得到問題3.已知方程的解,發(fā)現(xiàn)問題3中根據(jù)對應系數(shù)可得滿足方程的字母系數(shù)有無窮多組,從而可以寫出無數(shù)個滿足方程解的配方形式.同時,也揭示了前文的方法并不是空穴來風,而是有據(jù)可循.只不過在日常的解題活動中,幾乎不會有教師或學生對問題1進行類似的反思:如何解這樣的方程?為什么要這樣解方程?還能怎樣解方程?只是將固定的解題程序搬到課堂中,學生也只能靠著死板的記憶將其吞下,而沒有“消化”.以上的探究突破了原有的數(shù)學思維高度,充分把握知識發(fā)生與發(fā)展的不同階段,并找到了各個階段之間的聯(lián)系,為開展豐富的思維活動創(chuàng)造了空間.我們說,人的思維依賴于必要的知識與經驗,而數(shù)學知識正是解題思維活動的出發(fā)點與依據(jù),知識的“整體觀”為題意的本質理解與思路的優(yōu)化提供了成功的條件,使得我們在探討解題方法時,透過機械的解題程序,找到不同的方法與數(shù)學知識之間的對應性,最終提煉出方法的一般性,以達到“一題可破萬題山”的解題策略.這樣的解題研究,才能突破思維的局限性,開拓思維高度.

5 結語

從解題研究來看,試題的研究本身是一個封閉性的學科問題,其結果是固定的,解決這些問題所需要的知識、方法大體上也是比較明確的.從思維活動來看,這些是作為數(shù)學思維品質的具體表現(xiàn)形式.簡而言之,部分數(shù)學問題中體現(xiàn)的思維品質也是特定的,只不過由于思維結構的特殊性、思維活動的復雜性,我們難以獨立地對試題進行分析.因此,本文從解題和思維兩個方面出發(fā),指出當前解題研究中關于思維深刻性探討的局限,注入了高觀點的思想與方法,對原有的缺陷進行了一定的彌補,形成應用于試題分析的數(shù)學思維高度概念,并優(yōu)化知識與方法兩個客觀指標,用以描述解題過程中思維深刻性所體現(xiàn)的程度.并以代數(shù)方程問題為例,進一步解釋聚焦數(shù)學思維高度的解題研究,既要體現(xiàn)數(shù)學知識歷史的發(fā)展性,又能體現(xiàn)知識的整體性,真正突出“高度”.進而在知識的“高度”上,落實為方法實施的“高度”,使得整個解題分析的思維活動深刻、有效.當然,對于解題過程的探討遠遠不止這些,思維的研究更是一個漫長、艱難的任務,需要廣大數(shù)學教師進一步思考與實踐.