追溯知識本源 深化概念理解
——HPM視角下圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)

戴祥輝 (甘肅省蘭州市蘭煉一中 730060)

劉夢哲 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

雷沛瑤 (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

1 引言

圓錐曲線作為解析幾何的重要部分之一,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:了解圓錐曲線的實(shí)際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用;經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì);了解拋物線與雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).也強(qiáng)調(diào)了教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[1]．

在已往的圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課中,教師更多的是以試題為導(dǎo)向,關(guān)注圓錐曲線的代數(shù)特性,例如:陳靜以一道高考題為源逐步展開變式,以此幫助學(xué)生建立知識的廣泛聯(lián)系[2];吳清清站在整體設(shè)計(jì)的角度,深入挖掘課本中的例題或習(xí)題中的思想方法,通過試題的重組加工,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]．然而,在“重代數(shù)(重解析)”的背后,卻隱藏著“輕幾何”的問題,學(xué)生迷失在“繁重的計(jì)算”和“復(fù)雜的技巧訓(xùn)練”之中,甚至學(xué)習(xí)完本章之后還會(huì)覺得圓錐曲線離他們很遙遠(yuǎn),不明白到底圓錐曲線在哪里,又為什么要學(xué)習(xí)它．產(chǎn)生這樣的困惑正是因?yàn)閷W(xué)生沒有經(jīng)歷知識的形成過程,從而缺乏對知識本質(zhì)的理解,也難以體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活、用于生活．

數(shù)學(xué)史對學(xué)生具有豐富的教育價(jià)值,它有助于構(gòu)建知識之諧、彰顯方法之美、營造探究之樂、實(shí)現(xiàn)能力之助、展示文化之魅、達(dá)成德育之效[4]．鑒于此,本節(jié)課嘗試從HPM的視角重構(gòu)教學(xué),用學(xué)生熟悉的情景再現(xiàn)圓錐曲線的產(chǎn)生和發(fā)展過程,揭示三種曲線的內(nèi)在聯(lián)系,統(tǒng)一軌跡定義與截線定義,讓學(xué)生回到知識之源,體驗(yàn)像數(shù)學(xué)家一樣的探索過程,認(rèn)識到圓錐曲線的本質(zhì),從而對數(shù)學(xué)有更加完整的認(rèn)識．

2 歷史材料及其運(yùn)用

公元前4世紀(jì),梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus,約前380—約前320)為研究倍立方問題,用垂直于母線的平面分別去截頂角為直角、銳角和鈍角的正圓錐,分別得到直角圓錐曲線、鈍角圓錐曲線和銳角圓錐曲線,即今日之拋物線、橢圓和雙曲線,被后人稱之為“梅內(nèi)克繆斯三線”,但梅內(nèi)克繆斯只研究了雙曲線的一支．后來,阿波羅尼奧斯(Apollonius,約前262—約前190)對前人的工作進(jìn)行了綜合和創(chuàng)新,并編著了《圓錐曲線論》.他是第一個(gè)使用同一正圓錐或斜圓錐來得到三種不同圓錐曲線的人,也是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人．其后的古希臘數(shù)學(xué)家囿于純幾何的方式,依然從靜態(tài)的角度研究圓錐曲線性質(zhì),故而對圓錐曲線的研究貢獻(xiàn)不多．

17世紀(jì)初,笛卡爾(R.du P.Descartes,1596—1650)和費(fèi)馬(P.de Fermat,1601—1665)創(chuàng)立了解析幾何,圓錐曲線的研究進(jìn)入一個(gè)新紀(jì)元,數(shù)學(xué)家開始從代數(shù)的角度,運(yùn)用解析的方法,研究圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)．1679年,法國數(shù)學(xué)家拉伊爾(P.de La Hire,1640—1718)在《圓錐曲線新基礎(chǔ)》中給出了橢圓的軌跡定義(第一定義).1707年法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(L’ Hospital,1661—1704)在《圓錐曲線分析論》中用該定義推導(dǎo)了橢圓的方程．1822年,比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(G.P.Dandelin,1794—1847)利用圓錐的內(nèi)切球,得到了圓錐曲線的焦半徑性質(zhì),直觀地證明了截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．

基于此,本課例采用多種方法來運(yùn)用歷史材料．首先,整體上采用重構(gòu)式,如圖1,按照圓錐曲線定義的發(fā)展歷史創(chuàng)設(shè)情境,促進(jìn)學(xué)生對圓錐曲線本質(zhì)的深入理解;其次,利用附加式呈現(xiàn)了阿波羅尼奧斯的成就和對幾何學(xué)發(fā)展的影響,從歷史的角度說明軌跡定義產(chǎn)生的必要性,并對旦德林的貢獻(xiàn)作了簡單說明,同時(shí),為了融入更多的數(shù)學(xué)文化,還呈現(xiàn)了阿波羅尼奧斯、拉希爾、旦德林的畫像以及《圓錐曲線論》書影;最后,順應(yīng)式地改編了圓柱旦德林雙球模型,把其作為例題,將平面斜截圓錐模型作為練習(xí)．

圖1 數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

3.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——生活中的圓錐曲線

問題1我們把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.它們?yōu)槭裁唇袌A錐曲線?和圓錐有什么關(guān)系?

為了回答問題1,教師給學(xué)生演示了3個(gè)實(shí)驗(yàn),見表1．

表1 生活中的圓錐曲線

問題2實(shí)驗(yàn)中你得到了什么圓錐曲線?這些圓錐曲線是怎么形成的?

生:橢圓,雙曲線,拋物線．液面與杯子的交線,墻面與光束的交線．

師:實(shí)際上,圓臺形的杯子和手電筒的光束可以看成是哪種幾何體的一部分?

生:圓錐!

師:杯子與水面相交、光束與墻面相交,盡管形式和內(nèi)容不同,但是實(shí)質(zhì)相同,都可以看成是“平面斜截圓錐面”的數(shù)學(xué)模型．

設(shè)計(jì)意圖古希臘數(shù)學(xué)家從削尖的圓木樁發(fā)現(xiàn)了橢圓,截線定義便是源于這一原始形態(tài).從發(fā)生教學(xué)的角度設(shè)計(jì)相似情景——生活中尋找圓錐曲線的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),從引導(dǎo)學(xué)生找到共性,抽象出數(shù)學(xué)模型——平面斜截圓錐面,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的本源,也為后面的“再創(chuàng)造”截線定義埋下伏筆．

3.2 溯本求源——?dú)v史上的截線定義

師:用平面去截圓錐面,可以得到橢圓、雙曲線、拋物線,古希臘幾何學(xué)家將這類曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．這就是圓錐曲線的截線定義,也是圓錐曲線命名的由來．

學(xué)生觀看平面斜截圓錐的動(dòng)畫．

問題3怎么才能截出橢圓、雙曲線、拋物線?即圓錐截面的形狀和什么有關(guān)?

生:圓錐截面的形狀和平面與圓錐的位置關(guān)系有關(guān)．

設(shè)計(jì)意圖通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和動(dòng)畫展示,讓學(xué)生動(dòng)態(tài)地認(rèn)識圓錐曲線,并自主探究平面與圓錐的位置關(guān)系如何影響截線形狀,教師進(jìn)行補(bǔ)充完善,師生共同形成圓錐曲線的截線定義,實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”．

圖2

A．圓 B．雙曲線的一部分

C．橢圓 D．拋物線的一部分

師:實(shí)際上,大家剛才得到的結(jié)論與希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯得到的一樣.早在公元前200年左右,他就在其所著的《圓錐曲線論》一書中總結(jié)了這一結(jié)論．這本巨著包括了400多個(gè)命題,將圓錐曲線的性質(zhì)幾乎囊括殆盡,使后人難有插足的余地.但是這種單一的純幾何形式,也使其后近兩千年的幾何學(xué)裹足不前．到了16世紀(jì),隨著運(yùn)動(dòng)學(xué)、天文學(xué)的興盛,行星運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)要求人們用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)研究圓錐曲線[5].直到17世紀(jì)末,法國數(shù)學(xué)家拉伊爾才摒棄了古希臘的截線定義,給出軌跡定義,即大家課本上學(xué)習(xí)的第一定義,為后續(xù)用方程研究圓錐曲線奠定了基礎(chǔ)．

設(shè)計(jì)意圖利用數(shù)學(xué)史的介紹,讓學(xué)生了解阿波羅尼奧斯的成就和對幾何學(xué)發(fā)展的影響,從歷史的角度說明我們要從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究圓錐曲線,也即闡明圓錐曲線的軌跡定義產(chǎn)生的必要性．

3.3 上下求索——圓錐旦德林雙球模型

問題4截線定義與軌跡定義有什么關(guān)系呢?

師:事實(shí)上這個(gè)問題也困擾了數(shù)學(xué)家們100多年,直到1822年才由比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林用模型巧妙地解決了這個(gè)問題,架起了圓錐曲線的截線定義與軌跡定義之間的聯(lián)系．后人就以他的名字命名了該模型——旦德林雙球模型．下面讓我們以橢圓為例一起揭開旦德林雙球模型神秘的面紗．

教師利用GeoGebra制作了旦德林雙球模型,由此證明橢圓的第一定義(圖3)．

圖3 橢圓的旦德林雙球模型

師:顧名思義,旦德林在截面的兩側(cè)分別放置兩個(gè)小球,使得球與截面和圓錐內(nèi)表面均相切.我們能觀察到兩球與截面各有一個(gè)切點(diǎn).大家猜想一下,這兩個(gè)切點(diǎn)可能是什么?

生:焦點(diǎn)．

師:我們就記這兩點(diǎn)分別為F1,F2,既然這里涉及球的切線問題了,我們不妨先來復(fù)習(xí)一下:過圓外一點(diǎn)作切線,可以作幾條?切線長有何關(guān)系?

生:兩條,且切線長相等．

師:類比到空間,過球外一點(diǎn)作切線,可以作幾條?切線長有何關(guān)系?

生:無數(shù)條,切線長也相等．

師:在圓錐與截面的交線上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓錐的母線,與兩球相切于點(diǎn)M,N,連接PF1,PF2,由切線長相等可知什么?

生:PM=PF1,PN=PF2,則PF1+PF2=PM+PN=MN為定值,所以截線為橢圓．

師:利用這個(gè)方法,旦德林不僅證明了橢圓的定義,也證明了雙曲線與拋物線的定義,從而統(tǒng)一了圓錐曲線的截線定義與軌跡定義,填平了截線定義與軌跡定義跨越2000年的歷史鴻溝．

設(shè)計(jì)意圖從截線定義到軌跡定義,學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生“這兩者有何關(guān)系,能否統(tǒng)一”的疑問,于是,教師順勢提出旦德林雙球模型,并以橢圓為例進(jìn)行證明．證明過程中借助GeoGebra演示,并類比圓的切線結(jié)論,得到球的切線結(jié)論,由此為學(xué)生搭建“腳手架”,降低學(xué)生思維難度.在這個(gè)過程中也對旦德林的貢獻(xiàn)作簡單說明,讓學(xué)生體會(huì)到旦德林模型之“妙”.

3.4 自探模型——圓柱旦德林雙球模型

師:實(shí)際上,旦德林發(fā)現(xiàn)的這個(gè)數(shù)學(xué)秘密就隱藏在我們身邊．

問題5我們用點(diǎn)光源照射小球,觀察它形成的影子,可能是什么(圖4)?

圖4 點(diǎn)光源照射小球示意圖

生:橢圓、雙曲線、拋物線．

師:從“旦德林的視角”,你能發(fā)現(xiàn)什么?

生:點(diǎn)光源可以看成圓錐面,小球內(nèi)切于圓錐面!

師:除了用點(diǎn)光源照射小球,我們還能用什么光源照射小球呢?

生:平行光!

問題6現(xiàn)在我們用太陽光照射小球,會(huì)形成什么形狀的影子呢(圖5)?

圖5 平行光照射小球示意圖

生:橢圓!

師:一定是橢圓?

生:垂直照射得到圓,斜射得到橢圓．

師:請大家再次進(jìn)入“旦德林的視角”,可以發(fā)現(xiàn)什么?

生:小球內(nèi)切于圓柱．

探究2 請大家類比“平面斜截圓錐”的證明方法,證明平面斜截圓柱得到的截線是橢圓．

學(xué)生展示如圖6所示．

圖6 學(xué)生展示

設(shè)計(jì)意圖利用光照小球,讓學(xué)生體會(huì)到旦德林雙球模型實(shí)際上就隱藏在我們身邊,數(shù)學(xué)無處不在,提醒學(xué)生要善于觀察和思考,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界;從點(diǎn)光源到平行光源,自然地從圓錐過渡到圓柱的旦德林模型,類比遷移,讓學(xué)生自主探究,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考．

3.5 乘風(fēng)破浪——學(xué)以致用

例2如圖7,在一個(gè)高為10、底面半徑為2的圓柱體內(nèi)放兩個(gè)小球,球與圓柱底面及側(cè)面均相切．若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切,則此平面截圓柱邊緣所得的圖形是一個(gè)橢圓,該橢圓的離心率為．

圖7

練習(xí)正方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)P是側(cè)面BB′C′C上一點(diǎn),且滿足:

(1)若∠BD′D=∠PD′D,則點(diǎn)P的軌跡是( );

(2)若∠BD′D=∠BD′P,則點(diǎn)P的軌跡是( )．

A．圓的一部分 B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分

3.6 開源引流——小結(jié)課堂

師:今天的圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課大家有什么收獲?

生1:我學(xué)習(xí)了如何用平面斜截圓錐得到不同的圓錐曲線,平面圖形也可以在空間幾何體中得到．

生2:我知道了圓錐曲線的發(fā)展歷史、來源,還有橢圓、雙曲線、拋物線是有內(nèi)在聯(lián)系的．

生3:數(shù)學(xué)就在我們的生活中,那些看似平常的現(xiàn)象中也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué),我們要有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛,去觀察身邊的現(xiàn)象．

師:伽利略曾經(jīng)說過,“大自然這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成的”,當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界時(shí),你會(huì)發(fā)現(xiàn)圓錐曲線就在身邊,希望同學(xué)們也能在追求真理的路上繼續(xù)開拓和創(chuàng)造!

3.7 舉一反三

擴(kuò)展作業(yè):類比橢圓的證明方法,利用旦德林模型證明截面圖形是雙曲線和拋物線．

設(shè)計(jì)意圖將課堂上未完成的探究延伸至課外,讓學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升得以持續(xù)．

4 總結(jié)與反思

4.1 深化概念理解

數(shù)學(xué)心理學(xué)家斯根普(R.Skemp)把數(shù)學(xué)理解分為“工具性理解”和“關(guān)系性理解”[6].在此基礎(chǔ)上,任偉芳等提出了數(shù)學(xué)理解的三個(gè)層次,即工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解[7]．

傳統(tǒng)教學(xué)中的“兩釘一線”“拉拉鏈”等數(shù)學(xué)活動(dòng)服務(wù)于圓錐曲線的軌跡定義,這些數(shù)學(xué)活動(dòng)脫離了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)范圍,讓概念的產(chǎn)生有種“從天而降”的感覺,也導(dǎo)致學(xué)生無法理解三種曲線內(nèi)在的聯(lián)系,對圓錐曲線概念的理解停留在“工具性理解”層次．

回到知識產(chǎn)生的源頭,平面斜截圓錐所形成的交線是圓錐曲線的原始定義,基于此先設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——生活中的圓錐曲線,讓學(xué)生在不同情境下抽象出同一數(shù)學(xué)模型,動(dòng)態(tài)地認(rèn)識圓錐曲線,并形成截線定義.這不僅能揭示知識發(fā)生的過程,也能促進(jìn)學(xué)生理解三種曲線之間的本質(zhì)關(guān)系;接著利用圓錐旦德林雙球模型揭示兩種定義之間的聯(lián)系,把截線定義聯(lián)結(jié)到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,揭示了知識的發(fā)展過程,讓學(xué)生對圓錐曲線的概念理解達(dá)到“關(guān)系性理解”層次．

通過光線照射小球啟發(fā)學(xué)生提出新問題“平面斜截圓柱的截面圖形是什么?”得到新猜想“平面斜截圓柱的截面圖形是橢圓”,進(jìn)而完成新驗(yàn)證“證明平面斜截圓柱的截面圖形是橢圓”,把已有的知識推廣、擴(kuò)展,推陳出新,讓學(xué)生對圓錐曲線定義的理解達(dá)到“創(chuàng)新性理解”的層次,讓數(shù)學(xué)史的融入真正有效地深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解．

4.2 落實(shí)立德樹人

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)在數(shù)學(xué)與人文之間架起了一座橋梁,因而可以發(fā)揮獨(dú)特的德育優(yōu)勢．已有的HPM教學(xué)實(shí)踐表明,數(shù)學(xué)史可以在培養(yǎng)學(xué)生的理性、信念、情感和品質(zhì)上發(fā)揮重要作用[4]．

一是“理性”．歷史上幾何學(xué)的概念經(jīng)歷了三個(gè)步驟:一是直觀感知,即無意識幾何階段;二是實(shí)驗(yàn)操作階段;三是演繹證明階段．本課例隱含的主線是直觀感知、實(shí)驗(yàn)操作、演繹證明,學(xué)生通過觀察—建?！C明,把直觀感性的認(rèn)識通過演繹證明上升到了理性的認(rèn)識,培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維方式——不僅要知道是什么,還要知道為什么．

二是“信念”．任何知識背后都有其發(fā)生和發(fā)展的歷史動(dòng)因,所以本課例借鑒數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識不是從天而降的,了解圓錐曲線的現(xiàn)實(shí)來源,促進(jìn)學(xué)生對其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,從而樹立正確的數(shù)學(xué)觀,形成數(shù)學(xué)信念．

三是“情感”．本課例中學(xué)生探究出的截線定義與阿波羅尼奧斯提出的一致,甚至考慮到雙曲線兩支的問題,超越了古代數(shù)學(xué)家;學(xué)生經(jīng)歷猜想(太陽光斜射籃球的影子是橢圓)—建模證明(類比得到圓柱旦德林雙球模型)—應(yīng)用(例2解橢圓的離心率)的過程,體會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣思考和解決問題．這樣人人性化的數(shù)學(xué),讓學(xué)生更親近數(shù)學(xué),感受數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展,體會(huì)創(chuàng)獲知識的快樂,增強(qiáng)對數(shù)學(xué)積極的情感和自信心．

四是“品質(zhì)”．從阿波羅尼奧斯的偉大成就及對幾何學(xué)發(fā)展的影響,到拉伊爾順應(yīng)科學(xué)發(fā)展勇敢摒棄統(tǒng)治兩千年的截線定義,提出軌跡定義,再到旦德林巧妙架起了溝通兩種定義的橋梁,本課例從圓錐曲線兩千多年的發(fā)展歷史中選取學(xué)生能夠理解且具有教學(xué)價(jià)值的部分按照歷史順序進(jìn)行重構(gòu),將這些豐富的數(shù)學(xué)文化以符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)形態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生,讓學(xué)生跨時(shí)空與數(shù)學(xué)家對話,體會(huì)到數(shù)學(xué)的曲折發(fā)展、數(shù)學(xué)家追求真理時(shí)鍥而不舍的精神、對待科學(xué)求真務(wù)實(shí)的態(tài)度、敢于質(zhì)疑權(quán)威的無畏精神等優(yōu)秀的品質(zhì)．