數(shù)學(xué)文化中的建筑藍(lán)圖
——與建筑有關(guān)的高考試題賞析

沈丹丹 (江蘇省無錫市東北塘中學(xué) 214191)

安愷凱 (江蘇省天一中學(xué) 214101)

建筑是根據(jù)美感和功能的需求,對土地、材料、結(jié)構(gòu)通過精密的數(shù)學(xué)計算進行設(shè)計的．當(dāng)人們徜徉在人類建筑的長廊中流連忘返、被震撼的時候,應(yīng)該知道這些建筑與數(shù)學(xué)的發(fā)展密不可分．新高考重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.建筑作為屹立著的“凝固的數(shù)學(xué)”,作為抽象的數(shù)學(xué)在現(xiàn)實中形象化的典型,逐漸成為新高考命題的熱門情境載體．下面結(jié)合近幾年高考與聯(lián)考中的數(shù)學(xué)文化題賞析之．

1 舉架結(jié)構(gòu)——建模來解舉步比

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

圖1 圖2

背景賞析舉架結(jié)構(gòu)是中國古代建筑確定屋頂曲面曲度的方法,這種建筑在梁架層疊加高時,用舉架方法使屋頂?shù)钠露仍酵显蕉?從而呈凹曲面,以利于屋面排水和檐下采光,形成中國古代建筑獨有的風(fēng)貌．本題將舉架結(jié)構(gòu)圖抽象得到數(shù)學(xué)幾何圖形,考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)建模能力．中國古代建筑獨樹一幟,其成果在世界建筑史上具有重要地位,試題設(shè)置相關(guān)情境對引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國古代優(yōu)秀成果、增強民族自信心具有積極的教育意義．

2 著名斜塔——三角函數(shù)話傾斜

例2(2022年臺灣地區(qū)學(xué)測B考科第19題)瘦長的塔因為年代久遠(yuǎn),塔身容易傾斜(圖3)．在圖4中,以粗黑線條代表塔身,而塔身的長度稱為塔高,塔身與鉛直虛線的夾角θ稱為該塔的傾斜度(0≤θ<90°),又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離．

圖3 圖4

(1)中國虎丘塔、護珠塔與意大利的比薩斜塔是三座著名斜塔,它們的塔高分別為48,19與57(公尺),偏移距離分別為2.3,2.3與4(公尺),塔的傾斜度分別記為θ1,θ2與θ3,試比較θ1,θ2與θ3三數(shù)的大小關(guān)系．

背景賞析意大利的比薩斜塔是世界斜塔中最知名的一座,而在中國很多地方也有斜塔．上海天馬山山頂?shù)淖o珠塔,建于北宋元豐二年,早于比薩斜塔94年建造.從題中可以看出護珠塔的傾斜度甚至超過比薩斜塔．蘇州的虎丘塔建造的年代則更加久遠(yuǎn),建于五代后周顯德六年,至今已有一千多年,同時也比護珠塔更加高大雄偉,成為蘇州古城的標(biāo)志.宋代文人蘇東坡曾說過:“到蘇州而不游虎丘,乃憾事也．”本題從數(shù)學(xué)的視角對不同地域、不同時期的建筑進行對比研究,彰顯出建筑藝術(shù)超越時間、空間、文化的審美趨同．

3 北京天壇——數(shù)列性質(zhì)環(huán)中藏

例3(2020年新課標(biāo)II卷(理科)第4題)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )．

圖5

A．3 699塊 B．3 474塊

C．3 402塊 D．3 339塊

背景賞析圜丘壇為露天三層圓形,象征天．中國古人把一、三、五、七、九單數(shù)稱為“陽數(shù)”,又叫“天數(shù)”,而九則是陽數(shù)之極．因此,圜丘的層數(shù)、臺面的直徑、墁砌的石塊、四周的欄板均用天數(shù),表示天體至高至大．圜丘最高一層臺面直徑是九丈,名“一九”;中間一層十五丈,名“三五”;最下一層二十一丈,名“三七”．站在臺面中央的天心石上高呼,回音很大,好似一呼百應(yīng)．據(jù)聲學(xué)專家揭秘,從發(fā)音到聲波再回到圓心石的時間僅為0.07秒,說話者根本無法分清它是原音還是回聲,所以有一呼百應(yīng)的感覺．圜丘壇是中國古人的宇宙哲學(xué)觀通過數(shù)學(xué)知識蘊含在建筑中的典范,同時也反映出中國古人在數(shù)學(xué)、聲學(xué)、建筑學(xué)上的非凡智慧．

4 十字歇山——立體幾何巧組合

例4(2022年天津高考卷第8題)如圖6,“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象,重疊后的底面為正方形,直三棱柱的底面是頂角為120°,腰為3的等腰三角形,則該幾何體的體積為( )．

A．23 B．24 C．26 D．27

圖6

背景賞析中國古建筑屋頂?shù)膸缀涡螒B(tài)千變?nèi)f化、瑰麗多姿,不同幾何體的相互組合、穿插,又會形成不同的屋頂形式．十字歇山頂是由兩個歇山頂呈90°垂直相交而成,從空中看屋頂平面像一個十字形,形成的四個山面都是歇山式,四個山花朝外,建筑立面從而更加豐富,造型也更加美觀.目前留存的比較有代表性的便是題中圖6左圖中的北京故宮的角樓．建筑設(shè)計要運用結(jié)構(gòu)理論,體現(xiàn)出技術(shù)與藝術(shù)的完美結(jié)合,而結(jié)構(gòu)理論的運用,需要借助于大量的數(shù)學(xué)模型與幾何知識,正如本題中的十字歇山頂．

5 大興機場——歐拉公式道曲率

圖7

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足:頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類多面體的總曲率是常數(shù)．

解析 (1)因為四棱錐有5個頂點,5個面,其中四個側(cè)面是三角形,一個底面是四邊形,所以四棱錐的總曲率為5×2π-4π-2π=4π．

背景賞析在傳統(tǒng)建筑行業(yè),幾乎所有的作品都是橫梁、立柱、平墻、方窗,涇渭分明．換言之,幾乎所有的建筑表面都是平直的．大興國際機場在建筑結(jié)構(gòu)上卻有很多光滑的曲線,仰望穹頂,航站樓屋頂?shù)匿摷芙Y(jié)構(gòu),被兩簇彼此垂直的曲線結(jié)構(gòu)剖分,和諧優(yōu)雅,流暢靈動．如此優(yōu)美的形態(tài)在幾何學(xué)中對應(yīng)著一個非常深刻的數(shù)學(xué)幾何概念——黎曼葉狀結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展讓建筑大師的偉大構(gòu)想得以實現(xiàn),在建筑中更能窺見數(shù)學(xué)應(yīng)用的奧妙玄機．

上述幾例闡明了建筑作為人類棲居與活動的主要場所,從古代的石木結(jié)構(gòu),到現(xiàn)在的高科技建筑,都蘊含著許多數(shù)學(xué)奧秘．期待隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展,建筑在數(shù)學(xué)的啟發(fā)下能有更多的表現(xiàn)形式,為世界創(chuàng)造出更多令人嘆為觀止的美．