5E視角下“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程”教學(xué)設(shè)計(jì)*

余建國 (江蘇省南京市大廠高級中學(xué) 210044)

1 基本情況

1.1 授課對象

授課對象為四星級高中普通班,基礎(chǔ)一般,對數(shù)學(xué)概念從理解到運(yùn)用需要在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷多次反復(fù)的學(xué)習(xí)過程．

1.2 教材分析

“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一第3.3節(jié),第1課時(shí)為“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程”,主要是引入“二次函數(shù)的零點(diǎn)”概念,并系統(tǒng)歸納二次函數(shù)的零點(diǎn)情況,通過兩個(gè)例題,示范求二次函數(shù)的零點(diǎn)、判斷某區(qū)間上二次函數(shù)的零點(diǎn)是否存在．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的一個(gè)顯著變化是解決了初高中過渡和銜接問題,設(shè)置了“預(yù)備知識”,改變了過去通過補(bǔ)課僅僅解決知識層面的問題,強(qiáng)調(diào)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,采用適合高中階段的學(xué)習(xí)方法．將函數(shù)的零點(diǎn)融合到預(yù)備知識《不等式》一章,在系統(tǒng)地介紹了不等式性質(zhì)之后,在回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中引入函數(shù)的零點(diǎn),再用函數(shù)的思想方法解一元二次不等式,體現(xiàn)了函數(shù)應(yīng)用的兩個(gè)基本方面:一是用“函數(shù)的思想方法”思考、解決其他數(shù)學(xué)問題;二是用“函數(shù)的思想方法”描述、分析和解決實(shí)際問題．

1.3 學(xué)情分析

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,通過一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生知道了求一次函數(shù)y=kx+b圖象與x軸的交點(diǎn)的本質(zhì)就是解方程kx+b=0;對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸是否相交和方程ax2+bx+c=0的解的關(guān)系,也有一些直觀的認(rèn)識．“函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0根的直接推廣,新、舊知識之間只有一層窗戶紙,一捅就破．”[1]從方程到函數(shù)體現(xiàn)了“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想,學(xué)習(xí)中需要教師創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?讓學(xué)生體會到轉(zhuǎn)化的必要性,轉(zhuǎn)化過程是自然的．

1.4 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和以上分析確定如下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)．

教學(xué)目標(biāo) (1)回顧求解一元一次方程、一元二次方程的過程,了解函數(shù)零點(diǎn)定義;(2)從函數(shù)零點(diǎn)、方程的根及函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者之間的關(guān)系理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系,體會數(shù)學(xué)的整體性;(3)能系統(tǒng)歸納一元二次函數(shù)的零點(diǎn)情況．

教學(xué)重點(diǎn) 用函數(shù)思想統(tǒng)領(lǐng)本節(jié)課的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程,實(shí)現(xiàn)“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化．

2 教學(xué)過程

2.1 參與(engagement)

教師創(chuàng)設(shè)情境或提出問題,喚醒學(xué)生的先前知識經(jīng)驗(yàn)和產(chǎn)生認(rèn)知沖突,吸引學(xué)生的注意力和激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生積極思考、動手、動腦．

問題1同學(xué)們解過哪些方程?你會解方程x5+x2+2x-3=0嗎?

學(xué)生對這個(gè)五次方程肯定為難,教師改變問法:(1)解方程2x-3=0;(2)解方程x2+2x- 3=0;(3)借助函數(shù)y=2x-3的圖象來求解2x-3=0,2x-3>0,2x-3<0．

設(shè)計(jì)意圖問題1為什么選擇五次方程?因?yàn)槿魏退拇畏匠虒?shí)際上都有求根公式,如果預(yù)設(shè)為三次或四次方程,雖然學(xué)生不一定知道有求根公式存在,但本質(zhì)與二次方程一樣,教者將陷入兩難,所以教師創(chuàng)設(shè)的情境必須將學(xué)生逼到“死角”,與學(xué)生的先前知識經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生認(rèn)知沖突．當(dāng)然,這里的五次函數(shù)是單調(diào)的,即它只有一個(gè)零點(diǎn)．

2.2 探究(exploration)

在教師提供素材的基礎(chǔ)上,鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流,教師聆聽、觀察,必要時(shí)給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),如追問、反問、提供新的素材等,其角色是學(xué)習(xí)的促進(jìn)者．

問題2反過來,結(jié)合剛才所畫圖象,也可以通過求解2x-3=0,2x-3>0,2x-3<0,來深入理解函數(shù)y=2x-3的性質(zhì)．因此,對于求解方程x2+2x-3=0,你認(rèn)為還可以選擇什么視角?

畫一元二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象．由圖可知,該函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(-3,0)和(1,0),也就是說方程y=0有兩個(gè)相異實(shí)根-3,1．不僅如此,圖象還告訴我們,當(dāng)x<-3或x>1時(shí),y>0;當(dāng)-30,即x2+2x-3>0這樣的不等式稱為一元二次不等式．

追問 那么,你認(rèn)為如何解方程x5+x2+2x-3=0?

設(shè)計(jì)意圖用學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,引出一元二次不等式的概念,開辟研究方程、不等式問題的新視角——函數(shù)的視角．對于函數(shù)y=x5+x2+2x-3,教師可以借助幾何畫板等工具先畫出它的圖象(圖1),先感受其根的存在性,讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成借助直觀理解概念、進(jìn)行邏輯推理的習(xí)慣．另外,這個(gè)追問在本課最后還會再提起．

圖1

2.3 解釋(explanation)

對學(xué)生自主探究階段得到的原因、過程及結(jié)果進(jìn)行梳理,形成比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忉?在此基礎(chǔ)上定義新的概念,用數(shù)學(xué)語言規(guī)范地表達(dá).通常還可以指引進(jìn)一步探究的方向．

由此,從函數(shù)的視角我們發(fā)現(xiàn),使y=0的x值聯(lián)系了函數(shù)、方程和不等式,這個(gè)值有特別重要的意義,我們給它一個(gè)新的身份:函數(shù)的零點(diǎn)．給出一元二次函數(shù)零點(diǎn)的定義(略)．

問題3完成下列表格:

函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+2方程的根函數(shù)零點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖一方面用于理解二次函數(shù)零點(diǎn)定義,感受求零點(diǎn)的方法;另一方面,復(fù)習(xí)二次方程根的3種情況,并與求零點(diǎn)相聯(lián)系,為進(jìn)一步歸納做準(zhǔn)備．當(dāng)然,理解了這些也為一般函數(shù)的零點(diǎn)及求法(或判斷存在性)做鋪墊．在“解釋”環(huán)節(jié),教師還要注意對學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)給予必要的糾正,促進(jìn)學(xué)生對新概念的正確理解,因?yàn)閷W(xué)生很容易將新概念與舊有的知識相混淆,如將零點(diǎn)說成交點(diǎn)．

2.4 精致(elaboration)

教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的情境,如一個(gè)開放性的問題或一個(gè)逐漸深入的問題串,讓學(xué)生通過小組合作、討論交流,將新概念與原有的知識建立聯(lián)系,從而使其構(gòu)成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

問題4一元二次函數(shù)零點(diǎn)、一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者有什么關(guān)系?

從本質(zhì)上講,三者是一樣的．既然一樣,這就為解決問題提供了新的途徑．教師可以追問,試舉例說明新用途．例如,可以借助于函數(shù)圖象解不等式;也可以借助于函數(shù)圖象解方程(這個(gè)說法暫時(shí)給予肯定);等等．

問題5列表歸納:當(dāng)a>0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)之間的關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖通過歸納,讓新知識形成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),形成“長時(shí)記憶”;同時(shí)歸納也是培養(yǎng)從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法,“代數(shù)靠歸納,幾何靠類比”,提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)．當(dāng)然,對于“a>0”的提出過程,也是滲透“一般化”的機(jī)會．

追問 當(dāng)a<0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)之間的關(guān)系請同學(xué)們自行完成．

例1求證:二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)零點(diǎn)．

例2判斷二次函數(shù)y=x2-2x-1在區(qū)間(2,3)上是否存在零點(diǎn)．

對于例1和例2,求出零點(diǎn)是顯而易見的方法,教師需要引導(dǎo)學(xué)生用習(xí)得的新視角——函數(shù)視角,尤其對例2進(jìn)行新的探究．如畫出函數(shù)的圖象看看究竟,是否能發(fā)現(xiàn)新的有價(jià)值的線索,如“兩端異號”?又如“縮短區(qū)間”?用幾何畫板動態(tài)演示函數(shù)y=x2-2x+a在區(qū)間(2,3)上是否存在零點(diǎn),追問“異號”是否為必要的,觀察、思考、討論,或者引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化:y=0?a=-x2+2x,從函數(shù)圖象的視角怎么理解?單調(diào)性、對稱性、連續(xù)性……在這里,函數(shù)的“序幕”已徐徐展開．

2.5 評價(jià)(evaluation)

對結(jié)果的評價(jià)是必須的,同時(shí)更應(yīng)該對過程進(jìn)行評價(jià),且評價(jià)的形式要綜合化、多元化,提倡學(xué)生自評、互評,評價(jià)應(yīng)該貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過程．

問題6通過以上學(xué)習(xí),結(jié)合圖1,你對解方程x5+x2+2x-3=0提出什么有價(jià)值的研究問題?

設(shè)計(jì)意圖首先是學(xué)會用函數(shù)和零點(diǎn)等數(shù)學(xué)語言表述所提問題;其次是為什么函數(shù)y=x5+x2+2x-3有零點(diǎn)?再次是為什么只有1個(gè)零點(diǎn)?不同的提法反映了學(xué)生本節(jié)課達(dá)到的思維層次．顯然,教師不可能在本節(jié)課解決學(xué)生所提的所有問題,但它們是新的學(xué)習(xí)、新的探究的起點(diǎn),也是課堂“留白”的藝術(shù)．

問題7(本課小結(jié))通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)到了哪些方法或者思想?對照學(xué)習(xí)目標(biāo),你是否完成了目標(biāo)?下節(jié)課我們應(yīng)該做什么?

小結(jié)是學(xué)生自我評價(jià)的重要形式,也是教師把握學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成度的觀察窗口．能夠清晰而有條理地表達(dá)新概念和新方法,學(xué)會應(yīng)用新概念和新方法來解決新問題,大膽地提出開放性問題,深懷對未知數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)期待等,都是目標(biāo)達(dá)成度高的體現(xiàn)．

3 回顧反思

3.1 簡述5E教學(xué)模式

5E教學(xué)模式是美國生物學(xué)課程研究(BSCS)開發(fā)出的、以建構(gòu)主義為理論指導(dǎo)的一種教學(xué)模式．它包括5個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),即參與、探究、解釋、精致和評價(jià),因?yàn)槊總€(gè)環(huán)節(jié)的首字母都是E,故簡稱5E教學(xué)模式[2]．雖然它起源于生物學(xué)課程研究、眾多的研究成果也以生物學(xué)科教學(xué)為例,但筆者研究發(fā)現(xiàn),5E教學(xué)模式與數(shù)學(xué)教育有相通之處,尤其在數(shù)學(xué)概念與原理的教學(xué)中．從圖2的結(jié)構(gòu)可以看出,5E教學(xué)模式與數(shù)學(xué)概念的形成是相通的[3],實(shí)證研究表明它是一種操作性強(qiáng)、實(shí)用性好的教學(xué)模式．

圖2

3.2 5E指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)

在實(shí)際生產(chǎn)生活中,人們面對和迫切需要解決的是方程的近似解．圍繞零點(diǎn)的存在性、近似解的研究,數(shù)學(xué)取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,因此課本把零點(diǎn)概念提前,零點(diǎn)問題貫穿函數(shù)學(xué)習(xí)的始終,當(dāng)然它也是高考評價(jià)的熱點(diǎn)．“讀書無疑者,須教有疑”(朱熹),本節(jié)課以五次方程“啟疑”,再以五次方程“拓疑”,強(qiáng)化了函數(shù)視角,拓展了思維空間,發(fā)展了函數(shù)觀點(diǎn)．

在“參與”環(huán)節(jié),教師創(chuàng)設(shè)特定的問題情境,讓學(xué)生展示和暴露已有概念,以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．在“探究”環(huán)節(jié),學(xué)生通過仔細(xì)觀察,認(rèn)真分析,概括規(guī)律,建立方程、函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系,這是引入零點(diǎn)的重要前提．在“解釋”環(huán)節(jié),學(xué)生會用自己的語言解釋探究結(jié)果,并能求解具體的一元二次方程的零點(diǎn)．在“精致”環(huán)節(jié),教師為學(xué)生提供時(shí)間和空間,系統(tǒng)整理“三個(gè)二次”,達(dá)到從術(shù)語到內(nèi)涵全方位地理解零點(diǎn)．最后在“評價(jià)”環(huán)節(jié),及時(shí)了解學(xué)生在零點(diǎn)構(gòu)建過程中教學(xué)和學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度,同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出未來函數(shù)學(xué)習(xí)中需要研究的問題或方向．

顯然,5E模式也不一定以線性方式展開,更多的時(shí)候是交叉的、立體的,尤其是“探究”和“精致”2個(gè)環(huán)節(jié)[4]．先以一次函數(shù)、二次函數(shù)為背景,后以高次函數(shù)為背景;先探開口向上,后探開口向下;后續(xù)學(xué)習(xí)中先研究多項(xiàng)式函數(shù),再研究超越函數(shù);等等.這種周期性的5E教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心,通過創(chuàng)設(shè)層層遞進(jìn)的問題情境,驅(qū)動學(xué)生自主探究,促進(jìn)學(xué)生對概念的整體理解與知識建構(gòu)．

3.3 豐富5E模式內(nèi)涵

5E教學(xué)模式的核心階段是“探究”,教學(xué)主體過程和重點(diǎn)也是在“探究”[5]．在數(shù)學(xué)概念形成 過程中,不僅要求教師設(shè)置好探究活動,更重要的是教會學(xué)生如何探究．教師的作用是給予學(xué)生 恰時(shí)恰點(diǎn)的引導(dǎo),實(shí)現(xiàn)探究過程的連續(xù)、自然和有效．這與新課標(biāo)提倡的“四基”“四能”在理念和 實(shí)施層面是一致的．教學(xué)中不應(yīng)囿于固定的模式,而是應(yīng)該緊扣模式的核心,豐富和發(fā)展5E教學(xué) 模式．