無(wú)界區(qū)域上一類帶有權(quán)函數(shù)的半線性橢圓方程解的存在性

韓亮, 謝君輝

( 湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 恩施 445000 )

0 引言

本文研究如下無(wú)界區(qū)域上的一類帶有權(quán)函數(shù)的半線性橢圓方程:

(1)

當(dāng)問(wèn)題(1)中的Ω不包含原點(diǎn)時(shí),問(wèn)題(1)是帶權(quán)函數(shù)的半線性橢圓方程.文獻(xiàn)[11]的作者用變分原理和山路引理討論了如下無(wú)界區(qū)域上的半線性橢圓方程解的存在性:

(2)

(3)

當(dāng)問(wèn)題(1)中的Ω為包含原點(diǎn)的區(qū)域時(shí)(系數(shù)有奇性),稱問(wèn)題(1)是帶有Hardy項(xiàng)的半線性橢圓方程的邊值問(wèn)題.文獻(xiàn)[13]的作者研究了如下無(wú)界區(qū)域上的一類帶Hardy項(xiàng)且具有臨界指數(shù)的半線性橢圓方程非平凡解的存在性:

(4)

(5)

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)任意的u∈H(Ω),問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函為:

引理5[16](偶泛函臨界點(diǎn)定理)設(shè)E是一個(gè)無(wú)限維的Banach空間,偶泛函I∈C1(E,R)滿足PS條件和以下條件:

Γm={K?E;K關(guān)于0是緊對(duì)稱的且?h∈Γ1,ψ(K∩h(?B1))≥m}.

1)當(dāng)0

2)若對(duì)某個(gè)m∈{1,2,…,k}有bm=bm+1成立,則對(duì)于每個(gè)bm,泛函I有無(wú)窮多個(gè)臨界點(diǎn).

2 主要結(jié)果及其證明