擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法在求解Chen-Lee-Liu方程精確解中的應用

趙雁楠

( 山西工商學院 計算機信息工程學院, 太原 030000 )

0 引言

由于非線性發(fā)展方程可用來描述自然界的許多復雜現(xiàn)象,因此近年來許多學者對求解其精確解進行了研究.目前,求解非線性發(fā)展方程精確解的方法主要有齊次平衡法[1]、雙曲函數(shù)法[2]、反散射方法[3]、sine-cosine方法[4]、Backlund方法[5]、Darboux變換法[6]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法和擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法[7-11]等.

Chen-Lee-Liu(CLL)方程(方程(1))又被稱作DNLSE-Ⅱ方程,它可用于描述光脈沖在介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象.近年來,許多學者對CLL方程進行了求解.例如:文獻[12]的作者通過F展開法得到了方程(1)的包絡孤立波解和包絡正弦波解;文獻[13]的作者通過擴展的tanh展開法得到了方程(1)的多種光孤子解,如暗孤子解、奇異孤子解、暗奇異孤子解、奇異周期波解等;文獻[14]的作者利用奇數(shù)階Darboux變換法得到了方程(1)的精確周期波解和怪波解;文獻[15]的作者利用Jacobi橢圓函數(shù)展開法獲得了方程(1)的一些新的孤立波解;文獻[16]的作者利用擴展的直接代數(shù)法得到了方程(1)的一些新解,如暗、亮、組合暗-亮、組合亮奇異和周期奇異孤子解等.為了獲得更多的CLL方程的精確解,本文將利用擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法研究CLL方程的精確解.

iqt+αqxx+iβqq*qx= 0.

(1)

其中:q(x,t)為光孤子的分布函數(shù),q*為q(x,t)的共軛函數(shù),α為群速度的色散系數(shù),β為非線性系數(shù),且α和β均為實常數(shù).

1 擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法

擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法的一般計算步驟為:

第1步 將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程,即將PDE化為ODE.考慮如下非線性偏微分方程PDE:

F(φ,φ2,φx,φt,φxx,…)= 0.

(2)

為構造方程(2)的Jacobi橢圓函數(shù)解的形式,本文引入如下變換:

φ(x,t)=Φ(ξ),ξ=ax-ct.

(3)

將式(3)代入方程(2)可得非線性常微分方程ODE為:

L(Φ(ξ),Φ2(ξ),Φ′(ξ),Φ″(ξ),…)= 0,

(4)

其中a和c為實常數(shù).

第2步 設定解的形式.假設方程(4)的解可展開為Jacobi橢圓函數(shù)的有限級,即:

(5)

其中:Y(ξ)有3種情況,分別為Y(ξ)=sn(ξ,m),Y(ξ)=cn(ξ,m),Y(ξ)=dn(ξ,m)(0

第3步 確定M值.利用方程(4)中非線性項的最高階數(shù)和導數(shù)項的最高階數(shù)來求得M值.非線性項和導數(shù)項的最高階數(shù)為:

(6)

第4步 求解待定系數(shù)bj(j=-M,…,M).將式(5)代入方程(4)可得關于Jacobi橢圓函數(shù)Y(ξ)的方程.化簡該方程后令Y(ξ)的各次冪系數(shù)為零可得到一個關于bj(j=-M,…,M)的方程組,由此再借助Mathematica軟件求解該方程組即可求得bj(j=-M,…,M)值．

第5步 確定方程(1)的周期解.將在第4步中求得的bj(j=-M,…,M)代入式(5)即可求得方程(1)的新周期解．

注記1為了便于應用擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法,本文給出如下3種關系式[17]:

1)恒等形式:sn2(ξ,m)+cn2(ξ,m)= 1,dn2(ξ,m)+m2sn2(ξ,m)= 1,m2cn2(ξ,m)+1-m2=dn2(ξ,m),cn2(ξ,m)+(1-m2)sn2(ξ,m)=dn2(ξ,m).

2)導數(shù)形式:sn′(ξ,m)=cn(ξ,m)dn(ξ,m),cn′(ξ,m)=-sn(ξ,m)dn(ξ,m),dn′(ξ,m)=-m2sn(ξ,m)cn(ξ,m).

3)極限形式:m→1,sn(ξ,m)→tanhξ,cn(ξ,m)→sechξ,dn(ξ,m)→sechξ;m→0,sn(ξ,m)→sinξ,cn(ξ,m)→cosξ,dn(ξ,m)→1.

2 擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法在CLL方程中的應用

假定方程(1)解的形式為:

q(x,t)=Q(ξ)eiφ,ξ=μ(x-ct),φ=ax-wt,

(7)

其中μ、c、a、w為實常數(shù).將式(7)代入方程(1)可得:

由上式可得ODE的實數(shù)和虛數(shù)部分分別為:

αμ2Q″+(w-αa2)Q-βaQ3= 0,

(8)

(c-2αa-βQ2)μQ′= 0,

(9)

其中“′”表示Q對ξ的導數(shù).

根據(jù)齊次平衡法[17]平衡式(8)中的Q″和Q3可得Jacobi橢圓函數(shù)的有限級數(shù)M= 1,于是方程(1)的解可設為:

Q(ξ)=b-1Y-1(ξ)+b0+b1Y(ξ).

(10)

將式(10)代入方程(8)可得關于Jacobi橢圓函數(shù)Y(ξ)的方程,再利用注記1化簡該方程后令Y(ξ)的各次冪系數(shù)為零可得到一個關于bj(j=-1,0,1)的方程組,由此再借助Mathematica軟件求解該方程組即可求得bj(j=-1,0,1)值．

2.1 CLL方程的周期波解

情形1 當取Y(ξ)=sn(ξ,m)時,借助Mathematica軟件可得到式(7)、(10)中b-1、b0、b1、w的值:

exp[i(ax-α(a2+μ2+6mμ2+m2μ2)t)].

(11)

exp[i(ax-α(a2+μ2-6mμ2+m2μ2)t)].

(12)

(13)

(14)

情形2 當取Y(ξ)=cn(ξ,m)時,借助Mathematica軟件可得到式(7)、(10)中b-1、b0、b1、w的值:

(15)

(16)

(18)

情形3 當取Y(ξ)=dn(ξ,m)時,借助Mathematica軟件可得到式(7)、(10)中b-1、b0、b1、w的值:

(19)

(20)

(22)

2.2 周期波解的退化形式

1)當m→1時,由Jacobi橢圓函數(shù)的定義可知sn(ξ,m)→tanhξ,cn(ξ,m)→sechξ,dn(ξ,m)→sechξ,且有如下情形:

情形1 當sn(ξ,m)→tanhξ時,方程(11)、(12)、(13)、(14)可化簡為如下形式:

exp[i(ax-α(a2+8μ2)t)].

(23)

exp[i(ax-α(a2-4μ2)t)].

(24)

(25)

(26)

情形2 當cn(ξ,m)→sechξ時,方程(15)、(16)、(18)可化簡為如下形式:

(27)

情形3 當dn(ξ,m)→sechξ時,方程(19)、(20)、(22)可化簡為如下形式:

(28)

2)當m→0時,由Jacobi橢圓函數(shù)的定義可知sn(ξ,m)→sinξ,cn(ξ,m)→cosξ,且有如下情形:

情形1 當sn(ξ,m)→sinξ時,方程(11)、(12)、(13)可化簡為如下形式:

(29)

情形2 當cn(ξ,m)→cosξ時,方程(15)、(16)、(17)可化簡為如下形式:

(30)

為了更加直觀地描述CLL方程的孤波解,本文通過選取特定的參數(shù)給出了CLL方程解(26)、(27)、(29)、(30)的孤波圖,如圖1—圖4所示.從圖1和圖2中的3D圖可以看出,當取相同的參數(shù)和退化形式(α= 2,β= 2,a= 2,c= 0.1,μ= 1),而Y(ξ)取不同的函數(shù)時,CLL方程的孤波方向發(fā)生了改變;從圖2和圖3中的3D圖可以看出,當取相同的參數(shù)(α= 2,β= 2,a= 2,c= 0.1,μ= 1),而取不同的退化形式和Y(ξ)函數(shù)時,CLL方程的孤波形狀發(fā)生了顯著變化.從圖1—圖4中的2D圖可以看出,孤立波的振幅不隨時間的變化而發(fā)生變化,但其空間位置發(fā)生了變化.這表明光孤子在傳播中不隨時間而改變其形狀、大小和方向,即其具有很好的穩(wěn)定性.

圖1 式(26)的3D和2D孤波圖(α=2,β=2,a=2,c=0.1,μ=1,m=1)

圖2 式(27)的3D和2D孤波圖(α=2,β=2,a=2,c=0.1,μ=1,m=1)

圖3 式(29)的3D和2D孤波圖(α=2,β=2,a=2,c=0.1,μ=1,m=0)

圖4 式(30)的3D和2D孤波圖(α=2,β=1,a=4,c=0.6,μ=0.01,m=0)