概率猶豫模糊集的再定義及其在群決策中的應(yīng)用

朱國(guó)成

( 廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院 人文教育學(xué)院, 廣東 東莞 523960 )

0 引言

由于概率猶豫模糊集(probabilistic hesitant fuzzy sets,PHFS)[1]能夠更加細(xì)致地刻畫(huà)決策者的心理偏好,因此近年來(lái)受到許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.例如:文獻(xiàn)[2]和[3]的作者分別給出了PHFS中的元素(概率猶豫模糊元,probabilistic hesitant fuzzy elements,PHFE)運(yùn)算法則和相似性測(cè)度,并對(duì)PHFS的相關(guān)理論進(jìn)行了初步研究;文獻(xiàn)[4]的作者研究了一種概率猶豫模糊偏好問(wèn)題,并以MAGDM問(wèn)題為例做了驗(yàn)證分析;文獻(xiàn)[5]的作者針對(duì)概率猶豫模糊集多屬性群決策(PHFS MAGDM)問(wèn)題中的屬性重要性程度具有不確定的情形,提出了一種基于累積前景理論的決策算法;文獻(xiàn)[6]的作者給出了一種確定專家權(quán)重和計(jì)算屬性權(quán)重(利用概率猶豫模糊熵)的決策方法;文獻(xiàn)[7]的作者基于加權(quán)的Maclaurin幾何對(duì)稱平均算子的集結(jié)屬性信息構(gòu)建了一種新的MAGDM算法.但目前為止,在PHFS MAGDM問(wèn)題的研究中仍存在以下3個(gè)問(wèn)題:①在研究PHFE的測(cè)度問(wèn)題時(shí),通常做法是將隸屬度及其對(duì)應(yīng)的概率(2個(gè)不同維度的信息數(shù)據(jù))直接相乘[8],由此易使方案的綜合決策信息失真;②隨著PHFE中的元素(概率猶豫模糊數(shù),probabilistic hesitant fuzzy numbers,PHFN)數(shù)量的增加,概率信息數(shù)據(jù)的運(yùn)算結(jié)果會(huì)快速趨向于0;③在計(jì)算PHFE的綜合值時(shí),由于所有決策者的權(quán)重被默認(rèn)為是相同的,所以容易造成決策結(jié)果與事實(shí)不符.對(duì)此,本文從維度的角度出發(fā)建立了一個(gè)能夠比較各個(gè)方案綜合屬性值大小的決策模型,并通過(guò)具體案例驗(yàn)證了該決策模型的可行性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 二維視域下PHFS的再定義及其相關(guān)理論

1)若s(h1(px))

2)若s(h1(px))>s(h2(px)), ?h1(px)?h2(px);

3)若s(h1(px))=s(h2(px)),則有:①D(h1(px))>D(h2(px)), ?h1(px)h2(px);②D(h1(px))

為了能夠以二維變量的形式給出PHFN的隸屬度γl和與之相對(duì)應(yīng)的概率pl,本文在此按點(diǎn)坐標(biāo)的形式對(duì)其進(jìn)行描述.另外,本文中考慮的概率信息是全概率信息,即PHFE的概率之和為1.

定義4定義集合H中的元素PHFEh(p)的二維幾何距離e=e(h(p)),其計(jì)算方法為:

(1)

由式(1)易知,PHFE的二維幾何距離e=e(h(p))是關(guān)于隸屬度γl和概率pl單調(diào)遞增的,且PHFN的最終結(jié)果可根據(jù)min{γl,pl}中的值進(jìn)行度量.e=e(h(p))的單調(diào)性說(shuō)明,PHFEh(p)值隨著PHFN(γl,pl)值的增大而增大.這與定義2中PHFE的得分函數(shù)類似,因此可以用式(1)近似表示PHFE的綜合值.

性質(zhì)1PHFEh(p)的二維幾何距離e(h(p))的取值范圍為e(h(p))∈[0,1].

定義5根據(jù)定義3,將PHFEh(p)內(nèi)部元素的二維離差程度系數(shù)(d=d(h(p)))定義為:

(2)

由定義2可知,影響PHFEh(p)值的因素為隸屬度γl和與其對(duì)應(yīng)的概率pl.由此進(jìn)一步可知:利用定義2的規(guī)則比較2個(gè)PHFE的大小時(shí),由PHFE的綜合值(得分函數(shù))即可確定其大小;當(dāng)2個(gè)PHFE的綜合值相等時(shí),可通過(guò)其內(nèi)部元素的離差程度(方差)決定其大?。?dāng)PHFN以二維坐標(biāo)的形式給出時(shí),則定義2中的比較規(guī)則不再適用,需采用新的方法進(jìn)行測(cè)度比較;為此,依據(jù)定義2—5給出定義6.

定義6定義e(h1(p))和e(h2(p))分別為PHFEh1(p)、h2(p)的二維幾何距離,d(h1(p))和d(h2(p))分別為PHFEh1(p)、h2(p)的二維離差程度系數(shù),定義判斷2個(gè)PHFEh1(p)、h2(p)大小的準(zhǔn)則為:

1)若e(h1(p))>e(h2(p)), ?h1(p)?h2(p);

2)若e(h1(p))

3)若e(h1(p))=e(h2(p)),則有:①d(h1(p))>d(h2(p)), ?h1(p)h2(p);②d(h1(p))

定義7在定義3的基礎(chǔ)上,將計(jì)算PHFEh(p)加權(quán)綜合值的方法定義為:

(3)

其中ω為PHFEh(p)對(duì)應(yīng)的權(quán)重.

根據(jù)定義8,再結(jié)合定義4、定義5和定義7有如下擴(kuò)展定義:

定義9在MAGDM問(wèn)題中,定義PHFEhij(pij)的二維幾何距離模型為:

(4)

式中:k=1,2,…,#hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

定義10在MAGDM問(wèn)題中,定義PHFEhij(pij)的二維離差程度系數(shù)模型為:

(5)

式中:k,k′=1,2,…,#hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

定義11在MAGDM問(wèn)題中,定義PHFEhij(pij)的加權(quán)綜合值為:

(6)

1.2 三維點(diǎn)坐標(biāo)刻畫(huà)下的PHFS

本文在定義3的基礎(chǔ)上考慮PHFS中的評(píng)審專家權(quán)重,并將隸屬度、概率、評(píng)審專家權(quán)重用三維點(diǎn)坐標(biāo)的形式表示.

在MAGDM問(wèn)題中,三維坐標(biāo)條件下的PHFE的三維幾何距離模型、三維離差程度系數(shù)模型可類似于定義9—11進(jìn)行定義.

定義13在MAGDM問(wèn)題中,設(shè):決策專家集為Z= {z1,z2,…,zλ,…,zT},其權(quán)重用ωzλ表示(已知);方案集為A= {a1,a2,…,ai,…,aM};屬性集為G= {g1,g2,…,gj,…,gN},其屬性權(quán)重用ωgj表示且未知;評(píng)審專家組給予第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)信息用PHFEHij(pij)表示(如果在某個(gè)屬性上的數(shù)據(jù)信息只有隸屬度和認(rèn)可該隸屬度的專家人數(shù),則采用文獻(xiàn)[1]中的方法將屬性信息轉(zhuǎn)化為PHFE數(shù)據(jù)信息).這里定義PHFE為:

Hij(pij)=

根據(jù)定義13,再結(jié)合定義9、定義10、定義11有以下擴(kuò)展定義:

定義14在MAGDM問(wèn)題中,定義PHFEHij(pij)的三維幾何距離為:

E(Hij(pij))=

(7)

式中:k=1,2,…,#Hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

定義15在MAGDM問(wèn)題中,定義PHFEHij(pij)的三維離差程度系數(shù)為:

(8)

式中:k,k′=1,2,…,#Hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

根據(jù)定義6和定義12—15,本文給出如下比較2個(gè)用三維坐標(biāo)刻畫(huà)的PHFE大小的方法.

定義16設(shè)E(h1(p))和E(h2(p))分別為PHFEh1(p)、h2(p)的三維幾何距離,D(h1(p))和D(h2(p))分別為PHFEh1(p)、h2(p)的三維離差程度系數(shù)．定義判斷2個(gè)PHFEh1(p)、h2(p)大小的準(zhǔn)則為:

1)若E(h1(p))>E(h2(p)), ?h1(p)?h2(p);

2)若E(h1(p))

3)若E(h1(p))=E(h2(p)),則有:①D(h1(p))>D(h2(p)), ?h1(p)h2(p);②D(h1(p))

以下利用實(shí)例驗(yàn)證定義6和定義16可用于比較2個(gè)PHFEh1(p)、h2(p)的大小.

例1比較PHFEh1(p)={(0.6|0.5),(0.4|0.5)},h2(p)={(0.6|0.6),(0.5|0.4)}的大小.

解根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的比較規(guī)則可得PHFEh1(p)、h2(p)的得分函數(shù)值分別為s(h1(p))= 0.5和s(h2(p))= 0.56,因此可得h1(p)h2(p).若將PHFEh1(p)、h2(p)以二維坐標(biāo)形式給出,并按照定義4進(jìn)行測(cè)度可得PHFEh1(p)、h2(p)的二維幾何距離為e(h1(p))= 0.4549和e(h2(p))= 0.5402,由此根據(jù)定義6得h1(p)h2(p).若在PHFEh1(p)、h2(p)中添加評(píng)審專家的平均權(quán)重,并按照本文定義的三維點(diǎn)坐標(biāo)形式表達(dá)PHFN(取h1(p)={(0.6,0.5,0.5),(0.4,0.5,0.5)},h2(p)={(0.6,0.6,0.5),(0.5,0.4,0.5)},則根據(jù)定義14可得E(h1(p))= 0.4533,E(h2(p))= 0.4699,由此再根據(jù)定義16可得h1(p)h2(p).若在PHFEh1(p)、h2(p)中不添加評(píng)審專家的平均權(quán)重,并按照本文定義的三維坐標(biāo)形式表達(dá)PHFN(取h1(p)={(0.6,0.5,0.6),(0.4,0.5,0.4)},h2(p)={(0.6,0.6,0.3),(0.5,0.4,0.7)}),則根據(jù)定義14可得E(h1(p))= 0.4566,E(h2(p))= 0.3625,由此再根據(jù)定義16可得h1(p)?h2(p).

由例1可知,利用定義6對(duì)2個(gè)PHFE的大小進(jìn)行判別是可行的.若對(duì)評(píng)審專家沒(méi)有偏好,則利用定義6與定義16對(duì)2個(gè)PHFE的大小進(jìn)行排序的結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的排序結(jié)果是一致的;若對(duì)評(píng)審專家有偏好,則根據(jù)定義16得出的排序結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的排序結(jié)果相反.上述結(jié)果說(shuō)明,評(píng)審專家的偏好對(duì)方案的排序結(jié)果具有很大的影響,不可忽略.

定義17在MAGDM問(wèn)題中,定義PHFEHij(pij)的加權(quán)綜合值為:

(9)

定義18令ai(i=1,2,…,n)為一組非負(fù)實(shí)數(shù),且有r=1,2,…,n.若

(10)

由式(10)可知,Maclaurin對(duì)稱平均算子有以下性質(zhì):

1)對(duì)于任意的i,若ai=a≥0,則MSM(r)(a1,a2,…,an)=a;

2)對(duì)于任意的i,若0≤ai≤bi,則MSM(r)(a1,a2,…,an)≤MSM(r)(b1,b2,…,bn);

3)對(duì)于任意的ai≥0,有min(a1,a2,…,an)≤MSM(r)(a1,a2,…,an)≤max(a1,a2,…,an).

2 主要方法與結(jié)果

2.1 二維坐標(biāo)定義下的PHFS決策算法(算法1)

2.1.1屬性權(quán)重的計(jì)算方法

本文根據(jù)定義8,利用PHFE的二維幾何距離和熵值法計(jì)算屬性權(quán)重.具體計(jì)算方法和過(guò)程為:

2.1.2決策算法

本文在定義8的基礎(chǔ)上設(shè)置決策算法,其具體步驟為:

步驟6 依據(jù)f(ai)值按從大到小的順序?qū)Ψ桨高M(jìn)行排序,f(ai)越大方案ai越優(yōu).

2.2 三維點(diǎn)坐標(biāo)定義下的PHFS決策算法(算法2)

2.2.1屬性權(quán)重的計(jì)算方法

本文利用PHFE的三維幾何距離和熵值法計(jì)算屬性權(quán)重,具體計(jì)算方法和過(guò)程為:

2.2.2決策算法

本文在定義13的基礎(chǔ)上設(shè)置決策算法,其具體步驟為:

步驟3 計(jì)算PHFEHij(pij)的三維幾何距離E(Hij(pij))與三維離差程度系數(shù)D(Hij(pij));

步驟6 依據(jù)F(ai)值按從大到小的順序?qū)Ψ桨高M(jìn)行排序,F(ai)越大方案ai越優(yōu).

3 數(shù)值算例

例2以某父母在某平臺(tái)擇婿案例為例對(duì)本文算法進(jìn)行驗(yàn)證分析.根據(jù)女方家庭對(duì)男方的要求,平臺(tái)給該家庭提供了3名符合要求的男方資料.女方家庭從8個(gè)屬性指標(biāo)(財(cái)產(chǎn)、工作、家庭出身、健康、學(xué)歷、才能、相貌、興趣等)考察男方,用符號(hào)gj(j= 1,2,…,8)表示.女方家庭有4名成員,依次為女兒、母親、父親及弟弟,用符號(hào)分別刻畫(huà)為zλ(λ= 1,2,3,4).女方家庭各成員(決策專家)對(duì)男方的評(píng)價(jià)權(quán)重依次為ωz1= 0.6,ωz2= 0.25,ωz3= 0.10,ωz4= 0.05.3名相親男士用符號(hào)ai(i= 1,2,3)表示,其在8個(gè)指標(biāo)上滿足女方要求程度的測(cè)評(píng)信息見(jiàn)表1.表中用0至1之間的數(shù)表示滿足程度,其中1表示百分之百滿足要求,0表示完全不滿足要求.

表1 3名相親男士在8個(gè)指標(biāo)上滿足女方要求程度的測(cè)評(píng)信息

運(yùn)用算法1和算法2對(duì)3名男士進(jìn)行排序的結(jié)果如下:

1)算法1.首先,根據(jù)文獻(xiàn)[1]中計(jì)算隸屬度及其對(duì)應(yīng)概率的方法以及本文中的定義3和表1可得如下決策矩陣:

([[hij(pij)]i×j]3×8)T=

2)算法2.首先,根據(jù)文獻(xiàn)[1]中計(jì)算隸屬度及其對(duì)應(yīng)概率的方法以及定義13和表1可得決策矩陣:

([[hij(pij)]i×j]3×8)T=

8個(gè)指標(biāo)的權(quán)重和3名相親男士的排序結(jié)果見(jiàn)表2.由表2可知:2種算法計(jì)算出的8個(gè)指標(biāo)的權(quán)重和排序結(jié)果存在很大不同.若采用本文算法1中的8個(gè)指標(biāo)權(quán)重與文獻(xiàn)[9]中的算法1進(jìn)行排序,則得到的3名男士的排序結(jié)果與本文算法1的排序結(jié)果相同;若采用本文算法2中的8個(gè)指標(biāo)權(quán)重與文獻(xiàn)[9]中的算法1進(jìn)行排序,則得到的3名男士的排序結(jié)果與本文算法2的排序結(jié)果相同.該結(jié)果表明,8個(gè)指標(biāo)的權(quán)重對(duì)3名男士的排序具有決定性作用.由8個(gè)指標(biāo)權(quán)重的計(jì)算過(guò)程可知,影響8個(gè)指標(biāo)權(quán)重的唯一因素是家庭成員的權(quán)重.在算法2中,4名家庭成員的權(quán)重均參與了計(jì)算,且女兒對(duì)3名相親男士評(píng)價(jià)的權(quán)重最大,因此算法2的排序結(jié)果(a1?a3?a2)優(yōu)于算法1(算法1中默認(rèn)4名家庭成員的權(quán)重相等,且4名家庭成員的權(quán)重均沒(méi)有參與計(jì)算).

表2 不同算法的各指標(biāo)權(quán)重值及其決策結(jié)果

4 結(jié)論

研究表明,本文利用2種維度分別定義的PHFE幾何距離都能快速計(jì)算出方案的屬性權(quán)重,且在2種維度下建立的決策算法都可以對(duì)方案進(jìn)行排序,同時(shí)在決策過(guò)程中不存在因元素PHFN增多而使概率信息數(shù)據(jù)快速衰減的問(wèn)題.數(shù)值算例分析表明,三維定義下的決策算法(算法2)兼顧了評(píng)審專家的權(quán)重,因此其決策結(jié)果相對(duì)更優(yōu).在整個(gè)決策過(guò)程,若對(duì)評(píng)審專家無(wú)偏好,則可以直接使用算法1進(jìn)行計(jì)算.在今后的研究中,筆者將考慮在PHFS中給予隸屬度賦予相應(yīng)的評(píng)審專家權(quán)重,并在此基礎(chǔ)上建立決策算法,以此來(lái)更好地解決概率猶豫模糊集多屬性群決策問(wèn)題.