全Fock 空間中生成子的譜研究*

耿德文，閆 成

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

1932 年, 物理學(xué)家Fock 給出了Fock 空間, 用來解決全同粒子系統(tǒng)中玻色子的表示問題[1].隨著算子代數(shù)理論的發(fā)展, Fock 空間被推廣為全Fock 空間(參閱文獻[2] , 當時不稱為全Fock 空間).二十世紀九十年代Voiculescu 等[3]提出了自由概率理論, 半圓元(見文獻[4], 29頁) 是自由概率理論中用于計算的核心工具, 恰好Fock 空間中生成子與湮滅子的和是半圓元.這使得全Fock 空間成為自由概率理論中的一個重要例子.近年來,q-Fock 空間是全Fock 空間的最新進展[5].此外, Zhu[6]指出Fock 空間在量子物理學(xué)、海森堡群調(diào)和分析以及偏微分方程中有廣泛的應(yīng)用.

半圓元生成的von Neumann 代數(shù)被稱為自由von Neumann 代數(shù), 自由von Neumann 代數(shù)給出了一個非交換概率空間.自由概率理論給出了非交換概率空間中的中心極限定理等一系列重要定理[3].Cuntz 代數(shù)[7]是C*-代數(shù)的一個基本例子, 由全Fock 空間中的生成子生成的C*-代數(shù)是Cuntz 代數(shù)[3].這意味著單獨研究生成子的性質(zhì)也是有必要的.

Voiculescu 等[3]利用半圓元的譜及概率分布給出了由全Fock 空間中的半圓元生成的非交換概率空間高階矩的表示.但對于生成子的譜研究還沒有相應(yīng)的結(jié)果.因此, 本文主要對全Fock 空間中的生成子的近似點譜進行研究.

1 預(yù)備知識

設(shè)H 是一個實Hilbert 空間的復(fù)化, 即H=HR+iHR[8], B(H)是H 上的有界線性算子.對任意的X ∈B(H),X:=ReX+iImX, 其中ReX:=(X+X*)/2 稱為X 的實部, ImX:=(X-X*)/2i 稱為X 的虛部.對算子X 的譜集分類如下: σp(X)表示算子X 的點譜的全體, σc(X)表示算子X 的連續(xù)譜的全體, σr(X)表示算子X 的剩余譜的全體.特別的, σp(X),σc(X),σr(X)是互不相交的集合, 并且σ(X)=σp(X)∪σc(X)∪σr(X).進一步, 在文獻[9]中, 算子X 的聯(lián)合點譜是滿足如下條件的λ 的全體, 記為σjp(X): 若存在一個ReX 和ImX 的非零公共特征向量f ∈H, 使得

算子X 的近似點譜是滿足如下條件的λ 的全體, 記為σa(X): 若存在一個單位向量序列{fn}?H, 使得

算子X 的聯(lián)合近似點譜是滿足如下條件的λ 的全體, 記為σja(X): 若存在一個單位向量序列{fn}?H, 使得

在文獻[3]中, H 上的全Fock 空間定義如下:

F(H) 是Hilbert 空間, 其中H?0:= C1 是一個一維的Hilbert 空間, 這里1 := 1 ⊕0 ⊕0 ⊕···是一個單位向量, 稱為真空向量.任意的η ∈F(H), 在全Fock 空間中對應(yīng)的向量形式如下: η = (c,ξ11,ξ21?ξ22,···), 其中c ∈C,{ξij}i,j∈I?H, I 是指標集.對任意的ξ ∈H, 有關(guān)系式ξ(0,ξ,ˉ0?ˉ0,···), 因此H 可以嵌入到F(H)中.B(F(H))上的跡態(tài)τH(X)由F(H)上的真空向量和內(nèi)積定義, 即τH(X):=〈X1,1〉,X ∈B(F(H)), 我們稱之為真空期望態(tài).

對于ξ ∈H, 其對應(yīng)的左生成算子(后面簡稱為生成子) l(ξ):F(H)→F(H) 定義為

其中: {ξij}i,j∈I?H.l(ξ)的共軛算子l(ξ)*滿足以下條件

2 生成子譜的性質(zhì)

首先給定ξ ∈H, 已知l(ξ)∈B(F(H)).為了方便, 我們簡記l(ξ)為l.

定理1 生成子是hyponormal 算子.

證明對任意的ξ1,···,ξn∈H 有

由此可得, l*l-ll*≥0, 結(jié)論得證.

對生成子的研究我們需要借助文獻[9]中的以下性質(zhì).

性質(zhì)2[9]令T 是semi-hyponormal 算子, 則

性質(zhì)3[9]設(shè)T ∈H, 則z ∈σjp(T)當且僅當存在一個非零向量f, 使得

定理2 當ξ 是H 中的單位向量時, σjp(l(ξ))=σp(l(ξ))?{z||z|2=1}.

證明由定理1 知, 生成子l 是hyponormal 算子, 則由性質(zhì)1 和2 得σjp(l)=σp(l).設(shè)z ∈σjp(l), 則由性質(zhì)3 知, 存在f ∈F(H), 有l(wèi)f=zf, l*f=ˉzf.又l(ξ)*l(ξ)=〈ξ,ξ〉I=I, 這里I 是恒等映射.由l(ξ)*l(ξ)f=zˉzf=f知, |z|2=1.所以σjp(l)?{z||z|2=1}, 結(jié)論得證.

記πx,πy分別表示從復(fù)平面到x 軸與y 軸的投影，即對任意的復(fù)數(shù)z=x+iy, 有

性質(zhì)4[9]令X+iY 是hyponormal 算子, 其中X, Y 是自共軛的, 則有

令l(ξ)=X+iY 是生成子, 其中X:=Rel=(l+l*)/2, Y :=Iml=(l-l*)/2i, ξ 是H 中的單位向量.由文獻[4,168頁]知σ(X)=[-1,1].下面是我們的主要定理.

定理3 令l=X+iY 是生成子, 其中X=(l+l*)/2, Y =(l-l*)/2i, 則有

證明根據(jù)性質(zhì)4 我們直接得到πx(σa(l))=σ(X), πy(σa(l))=σ(Y).下面我們借助文獻[10,定理6.6.3]中的方法來計算Y 的譜.因為H 中的基向量可以看成HR中的基向量,所以我們可以在HR中考慮這一問題.對任意的ξ1,···,ξn∈HR, 我們給出類似Wick 積的定義,

取ξ 為H 中的任意一個標準正交基, W′(ξ?n)是關(guān)于2Y 的n 階多項式:

由W′的定義及l(fā)*l=I 可以得到

這就說明{W′(ξ?n)}n≥0是L2(Γ(HR))的正交系.

由Y 是自伴的, 可知對任意的λ ∈σ(Y)有|λ|≤‖Y‖.又‖Y‖≤1, 所以σ(Y)?[-1,1].又由Riesz 表示定理,存在唯一的σ(Y)上的測度μ 使以下等式成立,