高中數(shù)學(xué)立體幾何綜合問題解題策略

李春霞

摘? ?要：黨的教育方針是把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，要全面實(shí)施素質(zhì)教育，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。立體幾何綜合問題的解決，全面體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生具備創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，對(duì)于發(fā)散學(xué)生思維、開拓學(xué)生視野、提高學(xué)生解決問題的能力等方面有很大的幫助。

關(guān)鍵詞：傳統(tǒng)方法；空間向量；邏輯推理；直觀想象

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2023）05-0034-06

從近幾年的高考試題來看，立體幾何是歷年高考考查的重點(diǎn)，約占整個(gè)試卷的15%，通常以中、低檔難度為主，以一大兩小的模式命題。考查的重點(diǎn)內(nèi)容是簡單幾何體的表面積與體積，點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與證明，空間角和空間距離的計(jì)算，前者命題多以客觀題形式出現(xiàn)，后者主要以解答題的形式出現(xiàn)，注重對(duì)推理論證能力和空間想象能力的考查。

一、立體幾何知識(shí)體系和常用解題方法

（一）利用傳統(tǒng)方法解決立體幾何解答題的知識(shí)體系和常用方法

1.證明線線平行和線線垂直的常用方法

（1）證明線線平行：①利用平行線的傳遞性；②利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；③利用三角形、梯形的中位線定理；④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理等。

（2）證明線線垂直：①利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)；②利用勾股定理和逆定理；③利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)等。

2.證明線面平行和線面垂直的常用方法

（1）證明線面平行：①利用線面平行的判定定理；②利用面面平行的性質(zhì)。

（2）證明線面垂直：①利用線面垂直的判定定理；②利用面面垂直的性質(zhì)定理。

3.證明面面平行和面面垂直的常用方法

（1）證明面面平行最常用的方法是利用面面平行的判定定理。

（2）證明面面垂直最常用的方法是利用面面垂直的判定定理。

4.求幾何體的表面積或體積

（1）對(duì)于規(guī)則幾何體，可利用公式直接計(jì)算。

（2）不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解。

（3）求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，要注意應(yīng)用軸截面。

（4）對(duì)于三棱錐，可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解。

（二）利用空間向量解決立體幾何解答題的知識(shí)體系和常用方法

1.利用空間向量證明平行與垂直

2.利用空間向量求空間角

3.利用傳統(tǒng)方法和空間向量求距離

（三）利用空間向量解決立體幾何解答題的步驟

向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取。

1.建：建立空間直角坐標(biāo)系（盡可能使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或者坐標(biāo)平面內(nèi)）；

2.設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需要的向量坐標(biāo)；

3.求：求出所需直線的方向向量和平面的法向量；

4.算：運(yùn)用公式計(jì)算所求的量；

5.取：根據(jù)題意確定取值范圍得出答案。

二、立體幾何解答題常見題型的解題策略

（一）空間位置關(guān)系的證明

例1 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB=1，AD=DC=PA=2，AB∥DC，E為PC的中點(diǎn)。

求證：（1）BE⊥PD

（2）BE∥平面PAD

（3）平面PCD⊥平面PAD

證明： （方法一）

（1）如圖，取PD的中點(diǎn)F，

連接AF、EF，因?yàn)镋為

PC的中點(diǎn)，所以FE∥DC，且FE=1/2DC，又因?yàn)镈C=2AB，AB∥DC，所以FE∥AB，且FE=AB，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以BE∥AF.

又因?yàn)镻A=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，所以AF⊥PD，所以BE⊥PD.

（2）由（1）知BE∥AF，AF? ? 平面PAD，BE? ?平面PAD，所以BE∥平面PAD.

（3）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.

又因?yàn)锳D⊥AB，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD.

又因?yàn)锳B∥DC，所以DC⊥平面PAD.

又因?yàn)镈C? ?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.

（方法二）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AD⊥AB，所以AP、AB、AD兩兩互相垂直。

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示

方法總結(jié)：證明平行、垂直關(guān)系的方法可以運(yùn)用傳統(tǒng)方法也可以運(yùn)用空間向量。

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法：

（1）證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可。

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明平面內(nèi)存在一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明平面內(nèi)存在兩個(gè)不共線向量來線性表示直線的方向向量。

（3）證明面面平行的方法：①證明兩個(gè)平面的法向量平行；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行的問題。

（4）證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直。

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。

（6）證明面面垂直的方法：①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題。

（二）利用空間向量求線面角

例2如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，? DC=2，AA1=3，AB=BC=AD=1，AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在側(cè)棱AA1、CC1上，且A1E=CF=1.

（1）求證：BC∥平面D1EF

（2）求直線AD與平面D1EF所成角的正弦值

名師點(diǎn)析：利用向量法確定二面角平面角大小的常用方法。

（1）找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，結(jié)合實(shí)際圖形通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小。

（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角等于二面角的平面角。

確定二面角的平面角的大小，方法有：①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角；②依據(jù)“同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等”求解；③在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P做另一個(gè)半平面所在平面的垂線，若垂足在另一個(gè)半平面內(nèi)，則所求二面角為銳二面角，若垂足在另一個(gè)半平面的反向延長面上，則所求二面角為鈍二面角。

（四）應(yīng)用空間向量求空間距離

三、解決立體幾何解答題注意的問題

立體幾何中常用解題方法有傳統(tǒng)幾何法、空間向量基底法、空間向量坐標(biāo)法。

證明空間中的平行、垂直關(guān)系，均可利用兩種方法：一是幾何法，二是向量法。在實(shí)際應(yīng)用中可靈活處理，如果題目給出的空間圖形適合建立空間直角坐標(biāo)系，那么可建系后利用坐標(biāo)運(yùn)算來證明位置關(guān)系。如果不適合建立空間直角坐標(biāo)系，可用傳統(tǒng)幾何法或者向量基底法。

通過對(duì)以上內(nèi)容的總結(jié)和分析，可以看出學(xué)生在立體幾何的學(xué)習(xí)中，能夠不斷提高自己的空間想象能力、數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力的同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系。