圓錐曲線中一類面積為定值問題的探究

江蘇省常州市第二中學(213000) 王強

《數(shù)學通報》2022年第6 期“數(shù)學問題解答”第2662 號問題如下:

問題如圖1,設E1:m(n >m >0),在E1上取一點D(x0,y0),向E2取作兩切線,切點為A,B,證明:?DAB上的面積為定值.

圖1

問題給出了具有相同離心率的兩個共軸橢圓的一個美妙結論,文[1]中利用解析法證明了這一結論,即?DAB上的面積為定值那么共軸同率橢圓(雙曲線、拋物線)還有類似的面積為定值的結論嗎? 筆者對此進行了研究,借助GeoGebra 軟件先直觀呈現(xiàn)再推理論證,得到了更多類似的面積為定值的結論,整理出來與讀者共享.

性質一如圖2,設E1:m(n >m >0),在E1上取一點P向E2取作兩切線,切點為A,B兩切線與E1分別交于C,D兩點,則?PCD的面積為定值.

圖2

由文[2]中的性質一和性質四可得點A,B分別為線段PC,PD的中點且AB//CD,則?PCD的面積為?PAB面積的4 倍,結合圖1 中的結論可得定值.

性質二如圖3,設E1:m(n >m >0),過E2上任一點P引E2的切線交E1于A,B兩點,則?ABO的面積為定值.

圖3

由文[2]中的性質三可得性質一中?ABO的面積為定值.

性質三如圖4,設E1:m(n >m >0),過E2上任一點P引E2的切線交E1于A,B兩點,設E1上A,B兩點處的切線交于點C,則?ABC的面積為定值.

圖4

證明設P(x0,y0)(y00)是E2上任意一點,A(x1,y1),B(x2,y2),則切線AB的方程為將其與橢圓方程聯(lián)立消去y得

因為切線AC及切線BC的方程分別為

設切線AC與BC的交點C(x3,y3),聯(lián)立②③可得x3=再求點C到直線AB的距離因為

則?ABC的面積為又當y0=0 時,綜上所述,?ABC的面積為定值.

注在性質三的推理論證中還意外收獲一個美妙結論,即交點C的軌跡方程為,表示交點C始終在另一個共軸同率的橢圓上.

性質四如圖5,設E1:m(n>m>0),在E2上取一點P,向E1取作兩切線,切點為A,B,兩切線與E2分別交于C,D兩點,則?PAB的面積為定值.

圖5

性質四和下面的性質五、性質六,可以參照性質三的證明過程進行論證,此處從略.

如圖(5),由文[2]知共軸同率雙曲線具有性質切點A,B分別是PC,PD的中點,再結合性質四可得到?PCD的面積為定值.

性質五如圖6,設E1:m(n >m >0),過E1上任一點P引E1的切線交E2于A,B兩點,則?ABO的面積為定值.

圖6

性質六如圖7,設E1:m(n >m >0),過E1上任一點P引E1的切線交E2于A,B兩點,設E2上A,B兩點處的切線交于點C,則?ABC的面積為定值.

圖7

利用GeoGebra 動態(tài)數(shù)學軟件進一步探索,筆者發(fā)現(xiàn)共軸同距(對稱軸相同、焦點到準線的距離相同)的兩拋物線也有類似的面積為定值的性質.

性質七如圖8,設E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p >0,m >0),在E2上取一點P,向E1取作兩切線,切點為A,B,兩切線與E2,分別交于C,D兩點,則?PAB的面積為定值.

圖8

證明設P(x0,y0)是E2上任意一點,A(x1,y1),B(x2,y2),則切線AB的方程為yy0=p(x+x0). 將其與y2=2px聯(lián)立并消去x得y2?2y0y+ 2px0=0,因為所以AB=因為點P到直線AB的距離所以?PAB的面積為.

推論如圖8,設E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p>0,m >0),在E2上取一點P,向E1取作兩切線,切點為A,B,兩切線與E2分別交于C,D兩點,則?PCD的面積為定值.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),則點A處的切線方程為yy1=p(x+x1),由消去x得y2?2y1y+2px1?m=0.設C(x3,y3),P(x0,y0),由韋達定理得y0+y3=2y1,所以點A為線段PC的中點.同理可得點B為線段PD的中點,則線段AB是?PCD的中位線,從而?PCD的面積為?PAB的面積的4 倍,結合性質七推論得證.

以下兩個性質的證明可類比前面的方法,此處從略.

性質八如圖9,設E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p >0,m >0),過E1上任一點P引E1的切線交E2于A,B兩點,設E2上A,B兩點處的切線交于點C,則?ABC的面積為定值.

圖9

經(jīng)過GeoGebra 輔助驗證發(fā)現(xiàn),多個共軸同率橢圓(雙曲線、拋物線)也有類似的面積為定值的結論,如性質九.

性質九如圖10,設在E1上取一點P向E2取作兩切線,切點為A,B,過點P向E3取作兩切線,切點為C,D,則P,A,B,C,D,O這六個點中任意三個不共線的點構成的三角形的面積均為定值.

圖10

共軸同率橢圓、雙曲線和共軸同距拋物線一定還有很多優(yōu)美的性質等待我們去探究,本文僅當拋磚引玉.