借題發(fā)揮 以點帶面
——“兩線合一得等腰”教學實錄與評析

廣東省廣州市真光中學(510380) 蘇國東

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合,這個結(jié)論簡稱為“三線合一”,是等腰三角形的重要性質(zhì);反之,三角形一邊上的中線、高和其對角的平分線中,任意兩條相互重合,則可得出此為等腰三角形.學生往往記住了“三線合一”的字面含義,但對其與其逆命題容易產(chǎn)生混淆,或?qū)ζ淠婷}產(chǎn)生理所當然的想法,缺乏嚴謹?shù)乃急孢^程.在一次“全等三角形”中考復習課上,學生就遇到了此問題,教師順理成章地引導學生開展了探索證明,取得了意想不到的效果.

1 教學實錄

1.1 問題緣起

問題1如圖1, 在ΔABC中,∠BAD= ∠CAD,AD ⊥ BC, 求證:AB=AC.

圖1

此題按教學預設是作為本課復習全等三角形判定方法的一道基礎題.但當筆者呈現(xiàn)題目,讓學生動筆作答時,大部分學生卻不約而同地說到:“用三線合一就可以證明”.

有個別學生指出:“這節(jié)課是復習全等三角形,所以要用全等三角形的判定來證明.”

教師先是感到詫異,但細想,在八年級上學期學習等腰三角形時,確實有學生對此產(chǎn)生過混淆,沒想到在中考復習階段,大部分學生都仍未辨別清楚,此處有必要補上缺漏.

師: 能詳細說說這題怎樣用三線合一嗎?

生1: 因為AD是ΔABC的角平分線和高,根據(jù)三線合一可得ΔABC是等腰三角形,所以AB=AC.

師;但這里只有兩線呀?

生1: 兩線合一就必然三合一,任意兩線合一都可以證出等腰.

師: 按這么說,三線合一是等腰三角形的判定?

生1: 也可以由等腰三角形推出三線合一.

師: 你還記得在八年級學習這個內(nèi)容時,是怎樣表述的嗎?

生1: 不太記得.

另一位學生舉手回答.

生2: 我剛翻閱了八年級上冊教材,三線合一指的是已知等腰三角形,則有頂角平分線、底邊上的中線和高相互重合,是等腰三角形的性質(zhì),而非判定,教材上給出的等腰三角形的判定應該是“等角對等邊”.

生1: 噢! 我想起來了.

師: 三線合一這個性質(zhì)非常實用,在字面上也易于記憶,但卻容易與其逆命題混淆.

生3: 我記得當時學習三線合一時, 是通過證明左右兩個三角形全等而得到的.問題1 雖然逆過來了, 不是三線合一, 但由已知條件和公共邊AD, 可用ASA證明ΔABD∽= ΔACD,從而得到AB=AC.

師: 正確.我們在下一節(jié)課正準備要復習等腰三角形,為了讓大家對三線合一這個問題有更全面的理解,這節(jié)課我們就緊接著問題1 進行一系列的探究.

1.2 分類探索

師: 三線合一逆過來,即“如果三角形一邊上的高、中線及其對角的平分線相互重合, 那么這個三角形是等腰三角形”.按照剛剛生1 的說法,只需兩線合一即可得等腰三角形,我們一起來探究其是否正確.兩線合一有哪幾種情況? 又該如何證明呢?

生4: 第一種即問題1 的“角平分線和高合一”,生3 通過全等已證明正確.第二種是“中線和高合一”,第三種是“角平分線和中線合一”,應該同樣用全等就可以證明吧.

師: 我們先看看第二種情況.

問題2如圖1,在ΔABC中,AD⊥BC,BD=DC,求證:AB=AC.

生4: 根據(jù)已知條件和公共邊AD, 用SAS即可證明ΔABD∽= ΔACD,所以AB=AC.

生5: 不需要全等,因為AD⊥BC,BD=DC,所以AD是BC的垂直平分線,故AB=AC.

師: 非常好,第一位同學能類比第一種情況來證明,第二位同學想到利用垂直平分線的性質(zhì),更為簡潔.再看第三種情況.

問題3如圖1,在ΔABC中,∠BAD=∠CAD,BD=DC,求證:AB=AC.

生6: 同樣根據(jù)已知條件和公共邊AD,滿足兩邊一角相等,所以ΔABD∽= ΔACD,AB=AC.

生7: 不對,三個條件的排列是SSA,證不出全等.

師: 有時類比思想很重要,但要具體情況具體分析,此處不能證出全等.那這種兩線合一的情況是否仍成立呢?

1.3 一題多證

生8: 老師,現(xiàn)有的圖形和條件不能直接證出,應該要構造輔助線.

師: 說說你的想法?

生8: 根據(jù)中線這一條件,可以嘗試用倍長中線的方法.如圖2,延長AD至點E,使得DE=AD.因為BD=DC,易證ΔABD∽= ΔECD, 所以∠BAD= ∠CED,AB=CE.因為∠BAD=∠CAD,所以∠CED=∠CAD,AC=CE=AB.

圖2

生9: 輔助線也可以通過旋轉(zhuǎn)的方式構造.因為BD=DC, 可將ΔABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到ΔECD.

師: 非常好, 聯(lián)想到中線常用的輔助線.還有其他方法嗎?

生10: 由中線聯(lián)想到中點, 由中點可以聯(lián)想到構造中位線.如圖3, 延長BA至點E, 使得AE=BA, 連接EC.因為BD=DC, 所以AD為ΔEBC的中位線,AD//EC,所以∠BAD= ∠AEC,∠CAD= ∠ACE.因為∠BAD= ∠CAD,所以∠AEC= ∠ACE,AE=AC.因為AB=AE,所以AB=AC.

圖3

師: 很好,同樣利用了“倍長”的思想.

生11: 還有不同的構造中位線的方法.如圖4,記AC的中點為點E,連接DE.因為BD=DC,所以DE為ΔABC的中位線,DE//AB,,∠BAD= ∠ADE.因為∠BAD=∠CAD,所以∠ADE=∠CAD,AE=DE.所以,AB=AC.

圖4

生12: 也可以根據(jù)AE=DE=EC,得出ΔABC是直角三角形,所以AD是BC的垂直平分線,故AB=AC.

生13: 還可以根據(jù)DE=EC得到∠EDC=∠C,因為DE//AB,∠EDC=∠B,所以∠B=∠C,AB=AC.

師: 太棒了! 能調(diào)用不同的知識方法解決問題.

生14: 我還發(fā)現(xiàn)了,這是“平行+角平分線=等腰”的題型!

師: 是的,“兩平出等腰”正是證明兩線合一的方法之一!圖4 是其在內(nèi)部的情形,圖3 是其在外部的情形.

生15: 老師,上面的方法都是從中點的角度考慮的,我想到了從角平分線的角度入手.

師: 很好,說說你的想法?

生15: 聯(lián)想到構造角平分線常用的輔助線, 如圖5,作DE⊥AB于點E, 作DF⊥AC于點F.因為∠BAD=∠CAD,所以DE=DF.因為BD=DC,根據(jù)HL可證明RtΔBDE∽= RtΔCDF.所以∠B=∠C,AB=AC.

圖5

生16: 此處不證明全等也行.我聯(lián)想到中線可以平分三角形的面積,即SΔABD=SΔACD.因為DE,DF分別為兩三角形的高,DE=DF,所以AB=AC.

師: 非常好! 用到了等面積法.還有嗎?

生17: 我還想到構造輔助圓解題, 這樣圖形中的邊和角就轉(zhuǎn)化為圓中的弦和圓周角了.如圖6, 作ΔABC的外接圓, 延長AD交外接圓于點E.因為∠BAD= ∠CAD,所以=BE=CE.因為BD=DC, 根據(jù)SSS得ΔBDE∽= ΔCDE,∠BEA= ∠CEA所以=,AB=AC.

圖6

生18: 后面可以不用證明全等,在得到BE=CE后,因為BD=DC,所以DE是BC的垂直平分線,故AB=AC.

師: 非常精彩! 結(jié)合了圓的性質(zhì)來解題,這樣看問題又有了新的高度.至此,我們通過嚴格的證明得知“等腰三角形三線合一”的結(jié)論反過來依然成立,即“兩線合一得等腰”.

2 教學評析

2.1 借題發(fā)揮,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

三線合一雖是八年級上學期的學習內(nèi)容,但學生初學新知時多少會積存疑惑與漏洞,在后續(xù)的學習中逐漸暴露.本課作為中考復習課,精準捕捉學生學習薄弱點,聚焦學生認知沖突的細微問題,通過小專題的教學形式,以小見大,查漏補缺,完善學生的知識架構.學生在初中三年學到的各種新知識和新方法,又為舊知的解決提供了新觀點和新方向.本節(jié)課學生在不能直接證明全等的情況下,圍繞已知條件探尋不同的解題路徑,得到了構造輔助線、輔助圓等多種解題方法,促使思維不斷地向縱橫發(fā)散.

2.2 以點帶面,深化整合知識與技能

中考復習需要重視知識與技能的關聯(lián)性和整體性.本節(jié)課通過精選萃取,“以題帶點”引出相關知識專題,“以點帶面”引發(fā)學生全面復習.以學生熟悉的三線合一問題貫通相關的知識點,在師生的互動交流中,有效梳理了中線、平行線、中位線、角平分線、圓等有關性質(zhì),熟練了倍長中線、等面積法、“兩平出等腰”等解題方法, 滲透了分類討論、類比聯(lián)想、轉(zhuǎn)化與化歸、建模等數(shù)學思想,實現(xiàn)了初中模塊知識與技能的深化整合.

2.3 思維碰撞,提升問題解決的創(chuàng)造性

數(shù)學課堂應豐富教學互動形式,及時評價鼓勵,關注師生之間思維情感的交流與碰撞,促進學生創(chuàng)造性地解決問題.本節(jié)課教師適時創(chuàng)設問題情境,引導學生質(zhì)疑探索,打破思維定勢,找到思考的切入口,發(fā)現(xiàn)和提出問題;通過設問啟發(fā),師生對話,鼓勵學生別出心裁地思考問題,獨辟蹊徑地解決問題,揭示知識背后的數(shù)學本質(zhì);學生多人次參與互動,提煉觀點,互助完善,思維品質(zhì)在解決問題的過程中得到了創(chuàng)新和發(fā)展.