基于圖像平移的指對函數(shù)公切線問題課堂微設計
——從一道導數(shù)壓軸題講起

廣東省佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(528300) 劉穎孌

1 問題的起源

2022年5月底,筆者所帶的2022 屆高三學生參加了廣東省佛山市順德區(qū)的仿真沖刺考試, 其中一道導數(shù)壓軸題(節(jié)選)及其參考答案如下:

引例1已知函數(shù), 其中x ＞0,a ∈R.當a= 2 時,設x0是f(x)的一個零點,過點A(x0,ln(x0+1))作曲線y=ln(x+1)的切線l,試證明直線l也是y=ex+1的切線.

解法當a= 2 時, 不難證明f(x) 在定義域上單調(diào)遞增且有唯一零點, 設該零點為x0, 所以f(x0) =即由y=ln(x+1)得到,由y=ex+1得到y(tǒng)′=ex+1.所以過點A(x0,ln(x0+1))作y=ln(x+1)的切線l的方程為

假設曲線y= ex+1在點B(x1,y1)處的切線與l的斜率相等,所以,即

所以點B(x1,y1)也在切線l上,即l也是曲線y= ex+1的切線.

以上解法的思路是先求曲線y=f(x)在點A處的切線方程l(用x0表示),再通過假設進行等量代換,將x0換成x1,從而證明點B也在直線l上.毫無疑問,這種解法是完整且嚴謹?shù)?但如果直接按照這種思路給學生講解,學生將錯過這道題目中包含的豐富內(nèi)涵.

事實上,這是一道以同底數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的公切線為背景的題目.把這道題目與2019年全國ⅠⅠ卷20 題放在一起看:

引例2已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點;

(2)設x0是f(x)的一個零點,證明: 曲線y=f(x)在點(x0,lnx0)處的切線也是y=ex的切線.

不難發(fā)現(xiàn),引例2 的核心是求解曲線y= ex和y= lnx的公切線問題,而引例1 不過是在引例2 的基礎上進行了圖像平移,因此相應的切點、切線方程自然也是平移可得.為了能夠讓學生更好地理解公切線的定義,熟練掌握公切線的求法, 并且學會利用圖像變換的思想處理較復雜的導數(shù)問題,筆者在試卷講評課上重新設計了這道題的講評環(huán)節(jié).

2 課堂微設計及實錄

2.1 題目再現(xiàn),對比思考

例1已知函數(shù)其中x ＞0.設x0是f(x) 的一個零點, 過點A(x0,ln(x0+1)) 作曲線y=ln(x+1)的切線l,試證明直線l也是y=ex+1的切線.

例2已知函數(shù)設x0是f(x)的一個零點,證明: 曲線y=f(x)在點(x0,lnx0)處的切線也是y=ex的切線.

師: 請同學們觀察這兩道題目,尋找它們之間的相同點和不同點.

生1: 相同點是兩個題目都是求解公切線,且都需證明切點剛好是函數(shù)f(x)的一個零點.

師追問: 是哪兩個曲線的公切線? 兩題之間的曲線有什么關(guān)系?

學生很快反應: 例1 是求曲線y=ln(x+1)和y=ex+1的公切線,例2 是求曲線y= lnx和y= ex的公切線,這兩組函數(shù)圖像是左右平移關(guān)系.

師追問: 圖像發(fā)生左右平移,那么它們的公切線如何變化? 切點又如何變化?

生2: 公切線和切點也同時左右平移相同的量即可.

設計意圖通過對兩個題目條件的比較,讓學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)——平移關(guān)系,這對學生來說并不困難,但正像是打開了一個新的世界,成功激發(fā)了學生的學習興趣與探索欲望.這個環(huán)節(jié)主要培養(yǎng)了學生直觀觀察和表達,比較和發(fā)現(xiàn)問題的能力.

2.2 探究曲線y =ln x 和y =ex 的公切線

師: 因此,我們只要研究好曲線y= lnx和y= ex的公切線,然后進行左右平移即可獲得例1 的結(jié)論.下面請同學們進行求解.

學生動筆求解: 設l為曲線y= lnx和y= ex的公切線, 點A(x1,ex1) 為y= ex上的切點, 點B(x2,lnx2)為y= lnx上的切點.所以y= ex在A處的切線方程為:y= ex1x -ex1x1+ ex1;y= lnx在B處的切線方程為:根據(jù)公切線的定義,有方程組:由第一個方程可得x1=-lnx2, 再代入第二個方程中, 若消去x2, 得到若消去x1,得到.因此有x1是方程的根,x2是方程的根.例2 證畢.

師: 我們可以稱直線l為關(guān)于e 的指對公切線.下一個問題是,這樣的公切線有多少條?

師: 請同學們進行探究.

師點評: 這兩位同學的做法都是先作差構(gòu)造函數(shù),然后綜合運用單調(diào)性、零點存在性定理以及特殊值估算等方法判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的零點個數(shù),有異曲同工之妙.

學生3 補充: 還可以通過畫圖尋找交點的方式判斷根的個數(shù).通過圖像可以發(fā)現(xiàn)曲線y= ex和, 曲線y= lnx和都分別有兩個交點, 所以方程和都有兩個根.

圖1 曲線y=ex 和 的交點

圖2 曲線y=ln x 和 的交點

師點評: 這位同學利用圖像找交點,直接明了,減少了運算量,在小題中應該作為首選方法.

師總結(jié): 到此為止, 我們已經(jīng)解決了曲線y= lnx和y= ex的公切線有關(guān)切點和切線條數(shù)的問題,請同學們將剛才的探究結(jié)果進行小結(jié).

學生總結(jié).

結(jié)論1已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx,則存在兩條不同的直線l為f(x)和g(x)的指對公切線.設f(x)的切點為(x1,ex1),g(x)的切點為(x2,lnx2),則x1=-lnx2,且x1是方程的根,x2是方程的根.

設計意圖曲線y= lnx和y= ex的公切線探究是本微設計的重點, 也是所有變式的起點.探究過程分為兩步:①求解指對公切線方程; ②探究同一條切線上兩個切點之間的關(guān)系; ③討論公切線條數(shù).通過整個探究過程,學生重溫了公切線的求解過程,利用等量代換等方式獲得切點橫坐標的特征以及它們之間的關(guān)系式,主要鞏固了學生的基礎技能以及運算能力.而公切線條數(shù)的討論,既可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)零點個數(shù)的談論,也可以直觀地使用圖像獲得結(jié)論,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想,對提升學生的綜合運用能力有很好效果.

2.3 左右平移對公切線的影響

師: 我們已經(jīng)解決了例2,下面請同學們探究一下,當曲線y=lnx和y=ex均向左平移1 個單位時,剛才的結(jié)論該如何變化?

學生齊答: 切點和切線方程均向左平移1 個單位.

追問: 此時的兩個切點的橫坐標滿足什么關(guān)系式?

學生在紙上簡單運算后回答: 設f(x) 的切點為(x1,ex1+1),g(x) 的切點為(x2,ln(x2+ 1)), 則x1+ 1 =-ln(x2+ 1), 其中x1是方程的根,x2是方程的根.

學生4: 這不就是例1 的結(jié)論嗎?

其他同學紛紛點頭.

師: 請同學們課后完成考卷中例1 的訂正.下面我們繼續(xù)推廣,更一般地,若左右平移|k|個單位,你能得出什么結(jié)論?

學生組內(nèi)討論后,總結(jié):

結(jié)論2已知函數(shù)f(x) = ex+k,g(x) = ln(x+k),則存在兩條不同的直線l為f(x)和g(x)的指對公切線.設f(x)的切點為x1,g(x)的切點為x2,則x1=-ln(x2+k)-k,其中x1是方程的根,x2是方程ln(x+k)=的根.

學生5 補充:

結(jié)論3如果上下平移, 也可以得到一個新的結(jié)論: 已知函數(shù)f(x) = ex+m,g(x) = lnx+m, 則存在兩條不同的直線l為f(x)和g(x)的指對公切線.設f(x)的切點為x1,g(x) 的切點為x2, 則x1=-lnx2, 其中x1是方程的根,x2是方程的根.

師: 非常好,看來你們已經(jīng)找到了推廣的鑰匙,歡迎同學們在課后探索更多的結(jié)論!

設計意圖教師只做簡單地引導,學生通過簡單的平移變換和運算就能將2.2 中的結(jié)論1 進行推廣,真正體驗了一把數(shù)學的研究與推廣,也發(fā)現(xiàn)了其實很多看起來復雜的題目不過是基礎模型的簡單變形,大大地點燃了探究的熱情.

2.4 進一步的推廣

例3已知函數(shù),且t ＞0, 問:是否存在直線l為f(x)和g(x)的指對公切線?

師: 請同學們進一步探究.

演算到此很多學生都停筆了: 老師,這個方程組代換太麻煩了,算不下去.

師: 是的,如果按照常規(guī)思路,這個方程組的運算比之前的要復雜一點.那么我們能不能換一個角度先分析一下這兩個函數(shù)和我們剛才研究的內(nèi)容有何關(guān)聯(lián)?

學生觀察并思考.

學生七嘴八舌地回答, 有的說一定存在, 有的說如果f(x)和g(x)相交則沒有公切線.

師: 我們不妨利用GeoGebra 軟件做個演示看看.(利用GeoGebra 演示不同底數(shù)下兩條曲線的形狀).

圖3

函數(shù)f(x) =ax和g(x) = logax的公切線,從左到右依次為:

師: 從圖形變化中我們可以直觀感覺到a的取值范圍對公切線條數(shù)的影響.剛才這位同學的猜想是正確的,當然要嚴格的證明有一定的難度,老師把證明過程放在課后材料中,有興趣的同學可以自行閱讀研究.另外,我們不能忽視還有a ＜1 的情況,有能力的同學可以模仿材料中的做法進行探究.

設計意圖繼平移變換之后,對y= ex和y= lnx的圖像進行伸縮變換.該變換的本質(zhì)是對底數(shù)作一般化的推廣,但無論是對a的分類討論,還是后面的函數(shù)構(gòu)造、等量代換運算都不簡單,所以在教學設計上采取了分層式教學——在課堂上,利用現(xiàn)代畫圖工具,直觀形象地展示了在變化下兩條同底函數(shù)曲線的位置關(guān)系,從而獲得公切線條數(shù)的基本判斷,而嚴格的證明過程,放在課后補充材料,由學有余力的學生自學探究.這樣的安排,既突出了重點,也減輕了難點對學生的負擔.

2.5 課堂小結(jié)

師: 本節(jié)課我們以同底指對函數(shù)的公切線問題為主線,重點研究了曲線y= lnx和y= ex的公切線存在性、數(shù)量、兩個切點坐標關(guān)系等問題,并以此為起點進行變形(主要是平移變換),獲得了更一般性的結(jié)論.最后,我們還直觀感知了一般的y=logax和y=ax的交點個數(shù)以及公切線條數(shù).

2.6 課后來自學生的思考

下課后,有學生提出問題:y= logax和y=ax互為反函數(shù),圖像關(guān)于直線y=x對稱,所以它們的交點和公切線都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美與統(tǒng)一美.如果換一組同樣關(guān)于直線y=x對稱的直線呢? 例如:y=x2和y2=x,是否也可以得到的一些漂亮的結(jié)論呢?

師: 這個想法非常好,不僅是y=x2和y2=x,還可以是y=x2+k和y2=x-k,y= (kx)2和(ky)2=x等等的變形,你可以模仿我們這節(jié)課的研究思路作新的探究.

2.7 課后反饋訓練

基礎夯實題設,y=f(x)在處的切線平行于y=10x+1.

①求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

②設直線l為g(x) = lnx圖像上任一點A(x0,y0)處的切線,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是否存在x0使得直線l與曲線h(x)=ex也相切,若存在,x0有幾個?

能力提升題(2018年高考天津卷第20 題) 已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax,其中a ＞1.

①求函數(shù)h(x)=f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間;

②若曲線y=f(x) 在點(x1,f(x1)) 處的切線與曲線y=g(x) 在點(x2,f(x2)) 處的切線平行, 證明:

③證明: 當a≥時,存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線.

2.8 課外拓展閱讀

參考文獻[1]第233-236 頁和參考文獻[2]第6-9 頁.

3 教學反思

3.1 加深學生對數(shù)學本質(zhì)的理解

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 版)》中指出:“數(shù)學應注重數(shù)學本質(zhì),通法通性,淡化解題技巧”.本微設計從一道導數(shù)壓軸題出發(fā),以指對函數(shù)的公切線為核心研究對象,注重通法,剖析實質(zhì),不斷地變換視角,加強內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系,讓學生在動態(tài)的探究中把握事物的本質(zhì),化繁為簡,進而激發(fā)學生學習的積極性,養(yǎng)成一般性思考問題的習慣,并在持續(xù)的探究中深化學習,提升數(shù)學思維與素養(yǎng).

3.2 問題驅(qū)動,引導探究

導數(shù)是高中數(shù)學重要的內(nèi)容,作為與導數(shù)的幾何意義相關(guān),函數(shù)圖像的切線問題是歷年高考的必考點.本教學設計以兩個非常相似的題目為起點,在教師的啟發(fā)下,學生很容易就發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系, 從而激發(fā)學生探尋本質(zhì)的興趣.通過層層深入的問題設計,教師幫助學生建立起完整的探究路線,同時在遇到較抽象問題時使用計算機輔助教學,幫助學生直觀感知變化的規(guī)律,從而猜想出更一般性的結(jié)論.具體到課堂操作,老師引導學生思考問題,表達要規(guī)范、準確和到位,要讓學生先說清楚解決問題的思路,然后在紙上演算細化過程,最終形成結(jié)論并以數(shù)學符號表達出來.

3.3 借助可視化工具,提升教學有效性

數(shù)學可視化是將抽象的數(shù)學學習對象用可看見的表征形式清楚直白地呈現(xiàn)出來,使得學生對數(shù)學學習對象有一個形象、直觀、整體的認知和理解.這節(jié)課研究的對象是同底指對數(shù)函數(shù)的公切線,當?shù)讛?shù)為e 時,學生較容易畫出圖像,求解公切線也很順利,但當?shù)讛?shù)一般化后,尤其是涉及到兩條曲線是否有交點的討論時,學生不容易想象和推導出底數(shù)的變化范圍,考慮到學生的數(shù)學能力水平,以及該推導過程并非該節(jié)課的重點,這里借助了GeoGebra 軟件畫出函數(shù)圖像和公切線,學生可以清晰地看到底數(shù)變化對兩條曲線位置關(guān)系的影響,從而歸納猜想公切線條數(shù)與底數(shù)之間的關(guān)系,提高課堂效率.

3.4 突出“微”設計,照顧層次需要

所謂的微設計, 是將常規(guī)課堂教學與微課結(jié)合在一起, 重點突出, 難點分層.高三后期的課堂分分秒秒都是寶貴的, 要精準選材, 基礎鞏固, 重點突出, 敢于舍去“偏”、“難”、“怪”,力求將每一道題目的講解做成有系統(tǒng)、有連結(jié)、有上升的微設計.如本設計重點是解決的y= ex和y= lnx的公切線問題,對于大部分學生來說是必須要掌握的;而一般的曲線y=ax和y=log2x的公切線問題則是難點,需分層處理,基礎薄弱點的同學通過數(shù)學軟件的演示可以直觀地感知結(jié)論,基礎較好的同學則可以在課后利用教師補充的材料進行探究論證.在課后訓練的布置中也采取相應的分層處理,既夯實了基礎性,也兼具挑戰(zhàn)性.

3.5 預留空白,插上“想象”的翅膀

在研究y=ax和y=log2x的公切線問題時,通過畫圖軟件的展示,學生能直觀感受到曲線、直線在變化中的動態(tài)美, 同時也不難發(fā)現(xiàn)在變化中一直保持不變的對稱性——兩個互為反函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱.由此很自然地聯(lián)想到,對于任意互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像,其公切線是否也有類似的結(jié)論? 教師在課堂上沒有針對該問題展開, 但通過點撥, 讓有興趣的同學自主探究, 既開闊了視野,更提升了本節(jié)課學習的效果.