以數(shù)學史帶動學生內(nèi)驅(qū)力,為課堂思政添磚加瓦*
——以“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”為例

長江大學信息與數(shù)學學院學科(434023) 孫 浩 劉彩云

1 引言

美國著名的教育心理學家奧蘇貝爾提出:“內(nèi)驅(qū)力是指學生學習的社會性需求.這種需求一旦產(chǎn)生,學生便對學習表現(xiàn)出一定程度的興趣、主動積極的情感態(tài)度、良好的注意和克服困難的意志努力, 從而發(fā)動并維持學習行為的進行,使其積極投入到學習活動中去.”簡言之,內(nèi)驅(qū)力就是內(nèi)部動力,也就是動機.因此要想學生主動投入到數(shù)學學習中,就要采取各種有效措施激發(fā)學生內(nèi)驅(qū)力.法國數(shù)學家亨利·龐加萊曾說:“如果我們想要預測數(shù)學的未來,那么適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門學科的歷史和現(xiàn)狀.”[1]毫無疑問,數(shù)學的跌宕發(fā)展歷史可以吸引學生,激發(fā)學生的好奇心,使其產(chǎn)生積極主動的態(tài)度.

課程思政主要形式是將思想政治教育元素融入到各門課程中去,潛移默化地對學生的思想意識、行為舉止產(chǎn)生影響.課程思政首先展現(xiàn)的是一種科學思維;其次是創(chuàng)新思維,在課程思政建設(shè)的過程中,也需要創(chuàng)新思維來實現(xiàn)課程思政的創(chuàng)新發(fā)展.[2]目前全國盛行課程思政,可以以數(shù)學史為載體進行課堂思政,從新的方向探索課堂思政的途徑,使課堂思政蓬勃發(fā)展.

本文以人教版高中數(shù)學必修二第七章第一節(jié)“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”為例,探討如何在課堂中用數(shù)學史帶動學生內(nèi)驅(qū)力,如何用數(shù)學史豐富課堂思政.

2 教學設(shè)計與實施

2.1 情境引入

師: 同學們,大家好.很高興和大家共同學習必修二第七章第一節(jié)的有關(guān)內(nèi)容,數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念.首先請同學們跟隨老師回顧一下我們從小到大的數(shù)是如何產(chǎn)生的.數(shù)這一概念源于事物個數(shù)的表示,在社會發(fā)展中,逐步學會了以對應的方法來表示事物的個數(shù),如“屈指”計數(shù),“結(jié)繩”計數(shù)、“堆石子”計數(shù)等,然后人們從計數(shù)過程中抽象出數(shù)字0、1、2、3、4......并將它們稱為自然數(shù).接著是哪個數(shù)產(chǎn)生了呢?

生: 隨著生產(chǎn)生活的發(fā)展,人們意識到僅用數(shù)量表示一個事物是不全面的,還應加上表示方向的符號,因此為了表示相反意義的量,負數(shù)產(chǎn)生了.

師: 是的,看來同學們對數(shù)的歷史發(fā)展都有一定的了解.漸漸地,人們發(fā)現(xiàn)僅僅有整數(shù)是不夠的,例如在等額分配問題中,三個人分兩個蘋果,每個人應分得多少呢? 該結(jié)果無法用整數(shù)表示,于是......

生: 分數(shù)出現(xiàn)了!

師: 沒錯.早在五百年前,畢達哥拉斯學派的優(yōu)秀弟子發(fā)現(xiàn)在邊長為1 的正方形中,其對角線長無法用整數(shù)之比,也就是無法用有理數(shù)來表示,他的這一發(fā)現(xiàn)使無理數(shù)第一次出現(xiàn)在人們面前,而且求得邊長為1 的正方形的對角線長引發(fā)了第一次數(shù)學危機, 同學們有興趣可以課后了解一下.現(xiàn)在相信每一位同學都可以靈活的運用根號進行無理數(shù)的相關(guān)運算,但同學們知道嗎? 從公元前500年無理數(shù)的第一次發(fā)現(xiàn),到17 世紀法國數(shù)學家笛卡爾引入根號這一符號再到19 世紀無理數(shù)體系的完全確立,整整經(jīng)歷了2300 多年.

生: 原來數(shù)學史的發(fā)展這么曲折,我們現(xiàn)在學習的一個小知識都可能是數(shù)學家們經(jīng)歷上百年近千年創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的.

師: 是啊,這是一個長期且艱難的過程.那么總結(jié)一下數(shù)系的擴充過程是怎樣的呢?

生: 由自然數(shù)系擴充到整數(shù)系,再擴充到有理數(shù)系,最后擴充到實數(shù)系.

師: 很好,我們也可以用Venn 圖進行表示.其實數(shù)系的擴充中有兩個字一直推動著數(shù)系的發(fā)展,那就是運算.在自然數(shù)集中,加乘封閉;接著引入整數(shù)是我們減法的需要;在有理數(shù)集中可以進行加減乘除;在實數(shù)集中運算就已經(jīng)完備了.那同學們有沒有發(fā)現(xiàn)在運算過程中什么是一直不變的呢?

生: 是運算律.

師: 對,在數(shù)系擴充過程中運算律是保持不變的,這也是數(shù)系擴充的一大特點.同學們還能不能發(fā)現(xiàn)其他的特點呢?

生: 老師,我發(fā)現(xiàn)擴充后的數(shù)集仍然包括原來的數(shù)集.

師: 很好,這樣我們就總結(jié)出了數(shù)系擴充的兩大特點.

生: 老師,數(shù)系擴充到實數(shù)就結(jié)束了嗎? 還能不能繼續(xù)擴充呢?

師: 同學們提出的這個問題很有價值,很多數(shù)學家們之所以成為數(shù)學家,其原因就在于他們能勤于思考,勤于提問題,勤于發(fā)現(xiàn)數(shù)學中不完備的地方,勤于探究數(shù)學的新領(lǐng)域.大家想知道數(shù)系能否繼續(xù)擴充,咱們先看這樣一個問題.

設(shè)計意圖課堂開始帶領(lǐng)同學們回顧數(shù)的發(fā)展歷史,既可以讓學生感受數(shù)學發(fā)展的艱辛歷程,又可以讓學生融入數(shù)學史,激發(fā)學生內(nèi)驅(qū)力;同時通過啟發(fā)學生,讓學生站在數(shù)學家的角度提出問題,推動課堂進展.

2.2 探究新知

師: 有沒有兩個數(shù)和為10,積為40 呢?

生: 設(shè)這兩個數(shù)分別為x,y,可得方程即x2-10x+4=0,Δ＜0,所以無解.

師: 看來同學們都是用咱們學過的知識求得無解.其實這個問題是1545年,意大利數(shù)學家、物理學家、醫(yī)學家卡爾達諾(又稱卡丹、卡爾丹)在他的《重要的藝術(shù)》一書中提出的,但是卡爾達諾并不是求得無解,而是得到結(jié)果為和

(學生疑惑)

師: 其實當時的卡爾達諾也像同學們一樣疑惑,負數(shù)怎么能開根號呢? 但是咱們先拋開疑惑算一下這兩個數(shù)的和是否為10,積是否為40 呢?

師: 沒錯,可以說卡爾達諾是受著良心的譴責寫出了這兩個在當時并不被人們接受的數(shù),他雖然是歷史上第一個把負數(shù)平方根寫進公式中的數(shù)學家,但是他并不承認它的存在,卡爾達諾心想這數(shù)太詭異了,所以稱它為“詭辯式的數(shù)”,也因此與數(shù)學的一大發(fā)現(xiàn)失之交臂.

生: 那太遺憾了,老師,我相信肯定還有其他數(shù)學家繼續(xù)研究負數(shù)平方根.

師: 是的,1572年,意大利數(shù)學家拉斐爾·邦貝利在他的《代數(shù)》一書中討論了三次方程的根,他首先利用因式分解求解方程x3+15x+4=0,得到三個實數(shù)解為這是在當時看起來很正常的三個實數(shù)解;但是這個方程并沒有這樣結(jié)束,而是邦貝利又用卡爾達諾發(fā)明的用于解一元三次方程的卡爾達諾公式求解了一下,卡爾達諾公式就是對形如x3+px+q= 0(p ＞0,q ＞0)方程求解的其中一個求根公式:那么利用求根公式求出來的其中一個解是什么呢?

師: 沒錯,那它對應通過因式分解求出來的三個根中的哪個呢?

生: 好像都不是,是卡爾達諾公式出錯了嗎?

細胞胞漿可見的棕黃色顆粒為β-catenin蛋白的陽性表達，棕黃色顆粒越多，表達越明顯。高脂造模后，模型組中β-catenin蛋白表達明顯高于正常組（P＜0.01）；與模型組相比，三種藥物均能降低β-catenin ，Wnt抑制劑WIF降低作用較強（P＜0.01），護心康組和阿托伐他汀組也有明顯的降低作用（P＜0.05）；WIF降低β-catenin的作用較阿托伐他汀強（P＜0.05），圖2、表2。

師: 當時邦貝利也和同學們有相同的疑問,他多次檢查公式并計算,發(fā)現(xiàn)這個結(jié)果是正確的,他想這個結(jié)果是兩項相加,還能不能繼續(xù)化簡呢? 這兩項的區(qū)別是什么呢?

生: 只相差一個符號.

(學生思考)

設(shè)計意圖以數(shù)學史中的數(shù)學問題等為線索,以具體的數(shù)學史情境為背景,讓學生走進數(shù)學史,以數(shù)學家的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,一改直接教授知識的課堂,利用數(shù)學史激發(fā)學生的好奇心,使學生產(chǎn)生認知沖突,從而主動積極探究,烘托了課堂氣氛.

2.3 新知構(gòu)建,例題講解

師: 不知道同學們心中是否有了自己的解決方法.為了解決負數(shù)開平方問題,我們可設(shè)想引入一個新數(shù)i,并規(guī)定:i2=-1 且實數(shù)可以與i 進行四則運算,運算時滿足加、乘的運算律(交換、結(jié)合、分配律),這個i 最早是在1777年,歐拉首次提出的,我們稱之為虛數(shù)單位[3].

生: 為什么用i 這個字母而不用其他的呢?

師: i 是取自笛卡爾創(chuàng)立的虛數(shù)imaginary 一詞的首字母,原義是它只存在于虛幻之中,這樣同學們就能更加清晰地記住這個字母了.實數(shù)可以與i 進行四則運算,實數(shù)a與i 相加可以寫為...

師: 實數(shù)a與i 相乘可以寫為...

生:bi.

師: 實數(shù)a和實數(shù)b與i 的積相加,結(jié)果記作...

生:a+bi.

師: 很好,那同學們思考并小組討論能否用一個統(tǒng)一的形式來表示這些結(jié)果呢?

(小組討論)

生: 可以用a+bi 表示.

師: 同學們的思維都非?；钴S,但是這個結(jié)果是不是缺少什么東西呢?a和b有沒有范圍呢?

生:a,b ∈R.

師: 對,那么這個統(tǒng)一的形式或者說這個新數(shù),我們就寫為a+bi(a,b ∈R).其實從虛數(shù)單位的引入到新數(shù)系的完全確立,其中經(jīng)歷了200 多年,一個新數(shù)系想要確立的最大難點在于突破人們的認知障礙,隨著虛數(shù)單位的引入、新數(shù)a+bi(a,b ∈R)的構(gòu)造,為了確定新數(shù)系,我們還應該確定哪些相關(guān)概念呢? 帶著這個問題我們將進行接下來的學習.

首先是復數(shù)的有關(guān)概念: 形如a+bi(a,b ∈R)的數(shù)叫做復數(shù),通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b ∈R),這一表達形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式,其中a叫做復數(shù)的實部,b叫做復數(shù)的虛部;全體復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集,一般用C表示,即C={a+bi|a,b ∈R}[4].

例1寫出復數(shù)

的實部和虛部(學生回答).

師: 在之前學實數(shù)的過程中,確定完實數(shù)概念后對實數(shù)進行了一系列分類,同學們能否類比實數(shù)的分類對復數(shù)的分類提出自己的想法呢?

師: 從Venn 圖中可以看出實數(shù)集是復數(shù)集的什么呢?

生: 子集.

師: 具體來說是...

生: 真子集.

例2說明這些數(shù)中,哪些是實數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù)? (學生回答)

師: 由剛剛學習的概念,我們不難發(fā)現(xiàn)一個復數(shù)其實是由它的實部、虛部共同決定的,如果我們在復數(shù)集中任取兩個復數(shù),如何判斷這兩個復數(shù)是否相等呢?

在復數(shù)集C={a+bi| a,b ∈R}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),我們規(guī)定:a+bi=c+di ?a=c且b=d.

生: 也就是如果兩個復數(shù)相等,則這兩個復數(shù)的實部對應相等,虛部對應相等.

師: 很好,那兩個復數(shù)能比較大小嗎?

生: 虛數(shù)帶i 怎么比較大小呢?

師: 復數(shù)帶i 是無法比較大小的,只有兩個復數(shù)都為實數(shù)時才能比較大小,虛數(shù)和實數(shù)、虛數(shù)和虛數(shù)之間不能比較大小.

例3若4+bi=a-2i,求實數(shù)a,b的值(學生回答).

設(shè)計意圖在知識的講解中仍然穿插數(shù)學史的內(nèi)容,同時在每個知識點后安排習題,及時鞏固內(nèi)容.

2.4 課堂小結(jié),延伸課堂

師: 以上就是我們今天學習的新內(nèi)容,接下來請同學們跟隨老師的思路一起回顧今天的學習內(nèi)容.今天我們通過數(shù)字發(fā)展的片段了解了數(shù)系的擴充過程,并且跟隨著數(shù)學史的發(fā)展站在數(shù)學家的角度通過解決一系列問題引入了虛數(shù)單位i,并構(gòu)造新數(shù)a+bi(a,b ∈R);為了得到完整的數(shù)系定義,我們對復數(shù)、復數(shù)集及復數(shù)的代數(shù)形式給出了數(shù)學解釋;同時我們類比實數(shù)得到了復數(shù)的分類、復數(shù)相等的概念.同學們在學習的過程中有沒有體會到用了什么數(shù)學思想呢?

生: 類比推理.

師: 很好.復數(shù)在實際生活中應用非常廣泛,可以用在量子力學、流體力學信號分析等領(lǐng)域.

生: 老師,數(shù)系還能再擴充嗎?

師: 同學們能提出這個問題說明確實認真思考過了,其實現(xiàn)在也有數(shù)學家在研究這個問題,希望同學們經(jīng)過本節(jié)課的學習,能夠根據(jù)數(shù)系擴充的特點尋找數(shù)學中的矛盾,說不定有一天你們也能建立一個新的數(shù)系.

2.5 作業(yè)布置

必修二第70 頁練習1、2、3 和研究性作業(yè): 借助信息網(wǎng)絡,探究復數(shù)在生產(chǎn)生活中的應用,并寫一份研究小報告.

3 教學反思

3.1 追隨數(shù)學步伐,沐浴課堂思政

在數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念這一節(jié)的教學中,是在數(shù)學史的基礎(chǔ)上實施數(shù)學教學活動,也就是在具體的數(shù)學教學中,根據(jù)數(shù)學史的發(fā)展歷程進行設(shè)計,從而讓學生站在數(shù)學家的角度,引導學生重復數(shù)系擴充的關(guān)鍵步驟,進一步加深學生對數(shù)學思想的理解.數(shù)學史作為課程思政的一種形式有助于學生理解數(shù)學的發(fā)展,將數(shù)學知識和數(shù)學思想結(jié)合起來,使學生更好的把握數(shù)學發(fā)展的脈絡,理解數(shù)學的本質(zhì),開闊學生的數(shù)學眼界,增強其創(chuàng)造性和創(chuàng)新性,知道一些數(shù)學知識從何而來,為何而來,是誰歷經(jīng)了困難將其證明出來提供給世人學習,在經(jīng)歷數(shù)學史的過程中進行知識的建構(gòu),使抽象的數(shù)學知識和方法變得更加靈活生動[5].在本節(jié)課中,教師將復數(shù)的發(fā)展脈絡呈現(xiàn)給學生,讓學生親身體驗虛數(shù)單位等的由來、復數(shù)體系的建構(gòu);同時,也能讓學生了解數(shù)學家的故事,從而給學生樹立正面榜樣,激勵學生直面挫折,例如數(shù)學家卡爾達諾發(fā)現(xiàn)了負數(shù)平方根但沒有承認,從而錯失了機會,邦貝利勇于探索負數(shù)平方根,進而解決了負數(shù)平方根與實數(shù)之間的矛盾,啟發(fā)學生在數(shù)學的學習中要有創(chuàng)新思維,勇于突破原有數(shù)學知識的禁錮.

3.2 追隨數(shù)學步伐,激發(fā)學生內(nèi)驅(qū)力

課堂如果枯燥無味,學生必然對所學知識毫無興趣,因此,數(shù)學課堂不能只是數(shù)學知識的講解以及練習的循環(huán)往復,而是應該讓學生真正對數(shù)學產(chǎn)生興趣.因此可以在教學中融入數(shù)學史,首先數(shù)學史本身就是人類探索的過程,在老師的啟發(fā)指導下,這些過程很容易被學生接受;其次根據(jù)歷史發(fā)展脈絡講解知識可以加深學生對知識的的體驗性,提高學生對數(shù)學知識的親近感;最后,數(shù)學家的事跡有助于培養(yǎng)學生學習數(shù)學的態(tài)度,激發(fā)學生的動機[6].將數(shù)學史穿插在課堂中,能夠激發(fā)學生的好奇心和求知欲,激發(fā)學生內(nèi)驅(qū)力,從而提高課堂教學效率,增強課堂氛圍.