“立四基,強(qiáng)四能”人教版新舊教材比較分析*
——以“等腰三角形”為例

新疆昌吉學(xué)院(831199) 胡冬麗 祝麗萍

新疆烏魯木齊68中(830011) 王云英

人教版第十一套教材(本文統(tǒng)稱為新版教材)和第十套教材(本文統(tǒng)稱為舊版教材)分別依據(jù)教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(本文統(tǒng)稱為新課標(biāo))和《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》所編寫.由于新課標(biāo)將傳統(tǒng)的“雙基雙能”拓展為“四基四能”,新教材也發(fā)生了很大的調(diào)整.但目前許多教師對(duì)新課標(biāo)的解讀不夠深入,來不及揣摩新教材,教師對(duì)教材的認(rèn)識(shí)還有待深化[1].而作為教師只有用心進(jìn)行新、舊教材對(duì)比分析,體會(huì)編者意圖,才能用好教材,有效地落實(shí)新課標(biāo).本文以等腰三角形內(nèi)容為例,運(yùn)用文本分析法和比較研究法,從結(jié)構(gòu)編排、內(nèi)容展現(xiàn)、例習(xí)題等方面對(duì)人教版新、舊教材進(jìn)行比較分析,從而為教師理解教材、分析教材、進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考.

1 導(dǎo)入比較

舊版教材直接引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行剪紙環(huán)節(jié),由觀察得出等腰三角形的概念,而新版教材開宗明義,回顧“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”.新版教材此處這樣處理主要原因是由于新版教材在八年級(jí)上冊(cè)三角形章節(jié)對(duì)等腰三角形的概念以及等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角的概念已經(jīng)做了鋪墊,舊版教材之前并未涉及等腰三角形的概念.由此可見,新版教材從體系結(jié)構(gòu)編排上更注重螺旋式上升地呈現(xiàn)重要的概念和思想,持續(xù)發(fā)展提高,更符合學(xué)生循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)規(guī)律[2].

2 “探究”與“思考”比較

在引入三角形性質(zhì)之前,舊版教材的“思考”讓學(xué)生回答“剪出的等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?”,沒有軸對(duì)稱概念的鋪墊,也沒有對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊的引導(dǎo),會(huì)導(dǎo)致學(xué)生概念模糊.而新版教材的“探究”除了相同的“思考”之外,增加了讓學(xué)生找出重合的線段和角的要求,還設(shè)置了第三個(gè)探究活動(dòng)“在一張白紙上任意畫一個(gè)等腰三角形,把它剪下來,請(qǐng)你試著折一折,你的猜想仍然成立嗎?”.顯然,新版教材除了讓學(xué)生通過親身體驗(yàn)得到對(duì)折線就是對(duì)稱軸,所剪兩邊相等,紙片展開后的三角形必然是等腰三角形,所剪兩邊就是兩腰,強(qiáng)化對(duì)稱軸和等腰三角形的概念,發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和空間觀念,將發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)情境抽象成數(shù)學(xué)命題[3],同時(shí)也為后續(xù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)做了感官鋪墊;此外,通過尋找重合的線段和角,引導(dǎo)學(xué)生從觀察中猜想出等腰三角形的“等邊對(duì)等角”的性質(zhì),體會(huì)從特殊到一般的歸納過程,并在等腰三角形性質(zhì)1和2的證明中經(jīng)歷“觀察——實(shí)驗(yàn)——猜想——證明”,完成“感性”到“理性”的認(rèn)識(shí)過程[4],提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,正如波利亞所言:幾何學(xué)就是在不準(zhǔn)確的圖形上進(jìn)行正確推理的藝術(shù)[5].

新版教材在處理“等角對(duì)等邊”的判定定理時(shí),首先“思考”等腰三角形的“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)后,進(jìn)一步再追問等角對(duì)應(yīng)的邊有什么關(guān)系,“等角對(duì)等邊”的判定定理猜想呼之欲出,讓學(xué)生從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)判定定理的合理猜想,在證明中引導(dǎo)學(xué)生將此定理的角相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊相等關(guān)系,滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,并有效地訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維能力,也為后續(xù)證明做好鋪墊,充分體現(xiàn)了新課標(biāo)中提出的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力[4].但是對(duì)“等角對(duì)等邊”的判定以純數(shù)學(xué)問題的形式呈現(xiàn)出來后,僅僅引導(dǎo)學(xué)生作角平分線進(jìn)行證明還需要進(jìn)一步改進(jìn),建議此處添加問題:“還可以通過作高或者中線進(jìn)行證明嗎?請(qǐng)各位同學(xué)試著證明”,可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性數(shù)學(xué)思維.舊版教材的“思考”先結(jié)合實(shí)際引入了“救生船”的例題,再?gòu)睦}中直接提出角與邊關(guān)系問題,還是由觀察而來,沒有加入逆向思維的訓(xùn)練以及轉(zhuǎn)化思想的滲透.

新版教材在等邊三角形性質(zhì)和判定方法引入前的“思考”中對(duì)問題添加了“三個(gè)內(nèi)角”的限制條件,表述上更為精準(zhǔn),問題直達(dá)核心,引導(dǎo)學(xué)生往角的方面去思考問題,后面引出來的結(jié)論都是與角相關(guān)的性質(zhì)和判定方法,更有利于學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)的學(xué)習(xí).

3 性質(zhì)、定理及其證明比較

新版教材對(duì)等腰三角形性質(zhì)的課程目標(biāo)要求從舊版教材的“探索并掌握”提升到了“探索并證明”,要求學(xué)生不僅要掌握三線合一,還要能夠嚴(yán)格證明,三線相互推導(dǎo),對(duì)邏輯思維能力提出更高的要求.

新版教材相對(duì)于舊版教材對(duì)等腰三角形的性質(zhì)2進(jìn)行了總結(jié)“三線合一”,強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)2中的“相互重合”的掌握.所謂的“相互”,即可以通過頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高任意一個(gè)都可以推導(dǎo)出其它兩個(gè),加強(qiáng)學(xué)生對(duì)性質(zhì)2證明的理解.建議新教材在性質(zhì)2下面的證明題中添加問題:“請(qǐng)問此題還可以作?ABC的高或者角平分線進(jìn)行證明嗎?”,基于學(xué)生已掌握的以角平分線為輔助線證明的基本技能,引導(dǎo)學(xué)生舉一反三寫出以高和以角平分線為條件推導(dǎo)三線合一的過程,在此體會(huì)“相互”即互相推導(dǎo)的思想.從而讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)鞏固——技能發(fā)展——思想滲透的過程,在學(xué)生理清思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論時(shí)發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)[5].

新版教材通過對(duì)等腰三角形性質(zhì)1的證明引導(dǎo)學(xué)生對(duì)性質(zhì)2的證明,如書中提到的“用類似的方法,還可以證明等腰三角形頂角的平分線......這也就證明了性質(zhì)2”,該引導(dǎo)符合學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯的循序漸進(jìn),學(xué)生通過合情推理類比出“三線合一”的猜想,并用演繹推理證明了該猜想[6],培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).舊版教材在該“思考”中提問學(xué)生能否證明等腰三角形的性質(zhì)2,并未給出相應(yīng)的引導(dǎo)以及學(xué)生應(yīng)基于何種基礎(chǔ)知識(shí)前提,學(xué)生可能會(huì)對(duì)等腰三角形性質(zhì)2的證明無從下手.

新版教材通過例4利用圖形更加直觀觀察,引導(dǎo)學(xué)生利用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”的判定方法,并提問學(xué)生“本題還有其他證法嗎?”進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用另一條判定方法即“有一個(gè)角是60?的等腰三角形是等邊三角形”并結(jié)合兩直線平行同位角相等的定理進(jìn)行等邊三角形的判定.新版教材相對(duì)于舊版教材此處的例4具有積極的引導(dǎo)性,能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生一題多解的思考習(xí)慣以及創(chuàng)新意識(shí).

4 例、習(xí)題的比較

表1 例、習(xí)題的比較

(3)學(xué)生也能回顧先前學(xué)習(xí)的垂直平分線的尺規(guī)作圖,經(jīng)歷作圖的過程也同時(shí)突出本節(jié)重點(diǎn).練習(xí)P79練習(xí)(1)在舊版教材的基礎(chǔ)上增加了一題“求證:如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.”(2)此題將等腰三角形的“等邊對(duì)等角”與學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識(shí)“三角形的內(nèi)角和為180?”、設(shè)未知數(shù)求解角度結(jié)合起來,讓學(xué)生在熟練運(yùn)用舊知識(shí)的基礎(chǔ)上,也能更好的理解等腰三角形的等邊對(duì)等角.(3)為等邊三角形小節(jié)中的定理“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30?,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”做鋪墊.(4)建議在這題中建議讓學(xué)生自主畫出不同的直角三角形,并提問學(xué)生:“量一量所畫的所有直角三角形都能使一條邊上的中線等于這條邊的一半嗎?如果不能,那什么樣的直角三角形才可以達(dá)到呢?”P80練習(xí)(1)新版教材的“練習(xí)”中讓學(xué)生“試畫出等邊三角形的三條對(duì)稱軸,你能發(fā)現(xiàn)什么?”,而舊版教材的“練習(xí)”則是讓學(xué)生判斷“等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,指出它的對(duì)稱軸”.(2)新版教材基于學(xué)生已有的等腰三角形是軸對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)知識(shí),學(xué)生能夠類比歸納出等邊三角形是特殊的等腰三角形,因此新版教材的問法更加合理,更符合知識(shí)邏輯順序,拓展學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納的數(shù)學(xué)思想.4(1)新版教材將舊版教材中∠BAC度數(shù)由100?改為120?,使得底角為30?構(gòu)成一個(gè)含30?的直角三角形,綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)考察學(xué)生本節(jié)學(xué)的內(nèi)容.(2)建議新版教材在此處給邊AB添加長(zhǎng)度為100m,求AD的長(zhǎng)度,可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30?,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”定理的理解與掌握,提高學(xué)生對(duì)多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)融合貫通的基本技能,形成一題多維考察的數(shù)學(xué)意識(shí).5新版教材將舊版教材的“?CEB是等腰三角形嗎?”改為“求證:?CEB是等腰三角形”,新版教材在問題的問法上省略了學(xué)生的判斷過程,更注重學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的判定過程,這種編排更有利于提高教學(xué)效率.8(1)新版教材增加了一題“尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線.”,以更多樣化的方式引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)繪制圖形,掌握垂線的作法,鞏固已有的基礎(chǔ)知識(shí)與本節(jié)“例3”作垂直平分線相輔相成.10(1)新版教材將舊版教材中的第9題替換為該題,是對(duì)“等角對(duì)等邊”知識(shí)點(diǎn)的掌握,新版教材在學(xué)生已有的“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”基礎(chǔ)知識(shí)上考察,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的融合.11(1)新版教材的第11題相對(duì)于舊版教材在單位的處理上更細(xì)節(jié),解釋了nmile與m之間的關(guān)系,讓學(xué)生對(duì)自己不熟悉的單位有了概念,表述更為精準(zhǔn),便于學(xué)生對(duì)該距離有一定的空間感.

13(1)新版教材將舊教材中第13題替換為第14題,主要是讓學(xué)生能夠綜合運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)“等邊對(duì)等角”、等邊三角形的性質(zhì)“三個(gè)角都相等”、設(shè)未知數(shù)綜合進(jìn)行求解,運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯在一個(gè)圖中突出本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn),是新版教材“練習(xí)”中三個(gè)習(xí)題的綜合考察,也是對(duì)該練習(xí)的總結(jié)升華.總結(jié)(1)新版教材習(xí)題13.3相對(duì)于舊版教材的變化,難度由淺入深,層層遞進(jìn),同時(shí)與本節(jié)的性質(zhì)、定理以及練習(xí)的銜接更為緊密,考察目的性更為精準(zhǔn),對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想的考察更為全面,提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).(2)就如《新課標(biāo)》所寫:學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中,通過獨(dú)立思考、合作交流,逐步感悟數(shù)學(xué)思想.而數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.學(xué)生要學(xué)會(huì)在具體情境中從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),提高實(shí)踐能力[7].

5 章末小節(jié)的對(duì)比

新舊教材均是從軸對(duì)稱——等腰三角形——等邊三角形進(jìn)行學(xué)習(xí),不過新版教材的“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”將作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸、畫軸對(duì)稱圖形和關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系三個(gè)分支歸于軸對(duì)稱中,相對(duì)于舊版教材的同級(jí)歸類更為清晰明了.

新版教材相對(duì)舊版教材在章末的“回歸與思考”對(duì)本章節(jié)的學(xué)習(xí)邏輯及順序進(jìn)行了總結(jié),有利于學(xué)生梳理本章的學(xué)習(xí)思路,鞏固學(xué)習(xí)過的基礎(chǔ)知識(shí).

6 研究結(jié)論

通過人教版新、舊教材在“等腰三角形”內(nèi)容的比較分析,可見新教材的編寫上做了很大的調(diào)整,在內(nèi)容編排上充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教育理念,以問題為導(dǎo)向,以探究活動(dòng)為載體,強(qiáng)化了積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),滲透數(shù)學(xué)思想,有效引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題,注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀感知、動(dòng)靜態(tài)轉(zhuǎn)化、合情推理、演繹推理、互逆思維、發(fā)散思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng),充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的基本理念和目標(biāo)要求.今后,我們應(yīng)更多的關(guān)注新教材的變化,更深刻的分析教材,才能更好落實(shí)新課標(biāo)的基本要求.